数学答案(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题

★秘密·2024年2月16日17：00前 重庆市 2023-2024 学年（下）2 月月度质量检测 高三数学答案及评分标准 【命题单位：重庆缙云教育联盟】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．AC 10．ABD 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．(−∞,−3 ]∪[ 1,+∞) 6 6− 2 13． 2 2 14．12 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 1 2 1 15．（1）由题意得，X 的可能取值为1,2,3，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为 ，∴P(X =1)=  = ， 3 3 9 1 依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为 ， 4 P(X =2)=  1− 1 ×   1  2 = 1 ，易知P(X =3)=1− P(X =1)+P(X =2)  = 5 ，∴X 的分布列为：  9 4 18 6 X 1 2 3 1 1 5 P 9 18 6 1 1 5 49 ∴X 的数学期望E(X)=1× +2× +3× = . 9 18 6 18  1  1   1  1 （2）证明：当k ≥2时，不难知道P =1− 1−   1−  ⋅ ， k  32  42   (k+1)2  (k+2)2 高三数学 答案 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 1  1   1  1 1− 1−  1−  ⋅  32  42   (k+1)2  (k+2)2 2×4 3×5 k×(k+2) 1 2 1 = ⋅  ⋅ = × ， 32 42 (k+1)2 (k+2)2 3 (k+1)(k+2) 2 1 2 1 1  ∴P = × =  −  (k ≥2) ， k 3 (k+1)(k+2) 3k+1 k+2 1 1 2 1 1  由（1）可知P = ，又P = =  − ， 1 9 1 9 31+1 1+2 ∴P = 2 × 1 = 2  1 − 1   ( k∈N*) ， k 3 (k+1)(k+2) 3k+1 k+2 n 21 1 1 1 1 1  ∴P(n)=∑P =  − + − ++ −  k 32 3 3 4 n+1 n+2 k=1 1 2 1 1 = − < .即P(n)< . 3 3(n+2) 3 3 16．（1）连接OM,MN,BM ，因为M,N是底面半圆弧 上的两个三等分点， 所以有∠MON =∠NOB=60°，又因为OM =ON =OB=𝐴𝐴�𝐴𝐴2， 所以 都为正三角形，所以MN =NB=BO=OM，四边形OMNB是菱形， 记ON△与𝑀𝑀B𝑀𝑀M𝑀𝑀,的△交𝑀𝑀𝑀𝑀点𝐴𝐴为Q，Q为ON和BM 的中点，因为∠PON =60°,OP=ON， 1 所以三角形OPN 为正三角形，所以PQ= 3= BM ，所以PB⊥PM ， 2 因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥PA， 因为PM ∩PA=P，PM,PA⊂平面PAM ，所以PB⊥平面PAM ． （2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上， 由（1）知Q为ON的中点， 为正三角形，所以PQ⊥ON， 所以PQ⊥底面ABM ，因为四△边𝑀𝑀𝑂𝑂形𝑀𝑀OMNB是菱形，所以MB⊥ON， 即MB、ON、PQ两两互相垂直，以点Q为坐标原点，QM ，QN，QP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐 标系Q−xyz，如图所示， 高三数学 答案 第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司则O(0,−1,0),M ( 3,0,0 ) ,B ( − 3,0,0 ) ,N(0,1,0),P ( 0,0, 3 ) ，    ( ) ( ) ( ) 所以PM = 3,0,− 3 ，OP= 0,1, 3 ，OB= − 3,1,0 ，     m⋅OP=0   y+ 3z=0 设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，则  ，所以 ， m⋅OB=0 − 3x+y=0  ( ) 取x=1，则m= 1, 3,−1 ，设直线PM与平面PAB的所成角为θ，   3+ 3 10 10 所以sinθ= cos PM,m = = ，故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为 ． 6× 5 5 5 17．（1） f (x)=−cos2 x−cosx−a+1，令 f (x)=0，即cos2x+cosx=−a+1， π   1  当x∈ ,π时，令t =cosx∈(−1,0)，所以t2 +t∈  − ,0， 2   4  则 f (x)=0即t2+t =−a+1， 1 5 所以当−a+1≥0或−a+1<− 时，即a≤1或a> 时，t2+t =a+1无解； 4 4 1 5 当−a+1=− 时，即a= 时，t2+t =a+1仅有一解； 4 4 1 5 当− <−a+1<0即1 时， f (x)无零点；a= 时， f (x)有一个零点；10， 1 2 2  1 2 1 2 3π  所以cos2 x +cos2 x <1，所以cos2 x cos −x ，  2 2 1  2 2 π  3π 由y=cosx在 ,π递减，可得x < −x ， 2  1 2 2 3π 所以π0，满足直线与抛物线有两个交点， 所以直线BD的方程为x=−y+2，即x+y−2=0． （2）当直线AB,AD的斜率为0或不存在时，均不满足题意． y=x−4 x=2 x=8 由 得 或 （舍去），故A(2,−2)． y2 =2x y=−2 y=4 方法一：当直线AB,AD的斜率存在且不为0时，设直线AB:x−2=t(y+2)． x−2=t(y+2) 联立 得y2−2ty−4t−4=0，所以y +y =2t． y2 =2x A B 高三数学 答案 第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司所以B ( 2t2+4t+2,2t+2 ) ．同理得D   2 − 4 +2,− 2 +2  ． t2 t t  由BD的中点在直线y=x−4上， 1 2 4  1 2  得 2t2+4t+2+ − +2−4= 2t+2− +2， 2 t2 t  2 t  1  1 即t2+ +t− −4=0． t2  t 1 令t− = p，则 p2+ p−2=0，解得 p=−2或 p=1． t  2  2t+2−− +2  t  1 1 当p=1时，直线BD的斜率k = = = ； BD  2 4  1 3 2t2+4t+2− − +2 t− +2 t2 t  t 当p=−2时，直线BD的斜率不存在． 1 所以直线BD的斜率为 ． 3 方法二：设B(x,y ),D(x ,y )，线段BD的中点M(a,a−4)， 1 1 2 2 则x +x =2a,y +y =2(a−4)． 1 2 1 2 y +2 y +2 y +2 y +2 1 ⋅ 2 =−1 由AB⊥AD，得 1 ⋅ 2 =−1，即 y2 y2 ． x −2 x −2 1 −2 2 −2 1 2 2 2 所以y y −2(y +y )+8=0． 1 2 1 2 又y y = 1 (y +y )2− ( y2+y2)= 1  4(a−4)2−2(x +x ) 1 2 2  1 2 1 2  2  1 2  1 =  4(a−4)2−4a =2a2−18a+32，   2 故y y −2(y +y )+8=0可转化为2a2−18a+32−4(a−4)+8=0， 1 2 1 2 即a2−11a+28=0．解得a=7或a=4． y −y y −y 2 1 k = 2 1 = 2 1 = = 所以直线BD的斜率 BD x −x y2 y2 y +y a−4． 2 1 2 − 1 2 1 2 2 1 当a=4时，斜率不存在；当a=7时，斜率k = ． BD 3 1 所以直线BD的斜率为 ． 3 高三数学 答案 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司e2x−e−2x (ex−e−x)(ex+e−x) 19．（1）sinh(2x)= = =2sinh(x)cosh(x). 2 2 e2x+e−2x ex+e−x （2）依题意，∀x∈[−1,1]，不等式cosh2x+mcoshx≥0⇔ +m⋅ ≥0， 2 2 1 函数u=ex在[−1,1]上单调递增，u∈[e−1,e]，令t=ex+e−x =u+ ， u 1 显然函数t=u+ 在[e−1,1]上单调递减，在[1,e]上单调递增，t∈[2,e−1+e]， u t2−2 mt 又e2x+e−2x =(ex+e−x)2−2=t2−2，于是∀x∈[−1,1]，cosh2x+mcoshx≥0⇔ + ≥0， 2 2 2 2 因此∀t∈[2,e−1+e]，m≥ −t，显然函数y= −t在[2,e−1+e]上单调递减， t t 当t=2时，y =−1，从而m≥−1， max 所以实数m的取值范围是m≥−1. π 3π （3）∀x∈[ , ]，cosh(sinx)>sinh(cosx). 4 2 π 3π esinx+e−sinx ecosx−e−cosx 依题意，x∈[ , ]，cosh(sinx)−sinh(cosx)= − 4 2 2 2 1 = (esinx−ecosx+e−sinx+e−cosx)， 2 π 5π π π 当x∈[ , ]时，x− ∈[0,π]，sinx−cosx= 2sin(x− )≥0，即sinx≥cosx， 4 4 4 4 于是esinx−ecosx ≥0，而e−sinx+e−cosx >0，因此cosh(sinx)−sinh(cosx)>0， 5π 3π 当x∈( , ]时，cosx≤0，则−cosx≥cosx，ecosx ≤e−cosx， 4 2 即ecosx−e−cosx ≤0，而esinx+e−sinx >0，因此cosh(sinx)−sinh(cosx)>0， π 3π 于是∀x∈[ , ]，cosh(sinx)−sinh(cosx)>0，所以cosh(sinx)>sinh(cosx). 4 2 高三数学 答案 第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司