文档内容
数学答案与解析
１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ｂ
６．【答案】Ｂ
→ → →
【解析】由ＡＰ＝λＡＢ＋μＡＤ，当 Ｐ在直线 ＢＤ上时，λ＋μ＝１，当
圆Ｃ与ＤＢ的切点在ＤＢ延长线上时，圆Ｃ落在四边形ＡＢＣＤ内
π
部部分与直线 ＤＢ没有公共点，此时 λ＋μ＞１，得∠ＤＢＣ＞ ，
２
π π
０＜∠Ｃ＜ ，故答案为（０， ）．
３ ３
７．【答案】Ｄ
【解析】ｆ（ｘ）为偶函数，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ），ｆ′（ｘ）＝－ｆ′（－ｘ）ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ），
所以ｇ（ｘ）为奇函数．
３ ３ ３ ３ ３
ｇ（０）＝０．因为ｆ（ －２ｘ）为奇函数，所以ｆ（ －２ｘ）＝－ｆ（ ＋２ｘ），得ｆ（ －ｘ）＝－ｆ（ ＋ｘ），
４ ４ ４ ４ ４
３ ３ ３
即ｆ（ｘ）关于点（ ，０）对称，所以ｆ′（ ＋ｘ）＝ｆ′（ －ｘ），
４ ４ ４
３ ３ ３
即ｇ（ ＋ｘ）＝ｇ（ －ｘ）ｇ（ｘ）＝ｇ（ －ｘ）， ①
４ ４ ２
３ ３
所以ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ）＝ｇ（ －ｘ）ｇ（ｘ）＝－ｇ（ｘ＋ ）， ②
２ ２
得ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），ｇ（ｘ）的周期为３．
故ｇ（ｘ）为周期为３的奇函数．ｇ（０）＝ｇ（３）＝０．
又２是ｆ（ｘ）的极值点，得ｇ（２）＝０，ｇ（５）＝０，ｇ（－２）＝０，ｇ（１）＝０，ｇ（４）＝０．
ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），又ｇ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），得－ｇ（－ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），
３ ３ ３ ９
所以ｇ（ｘ）关于点（ ，０）对称，故ｇ（ ）＝０，且ｇ（ ＋３）＝ｇ（ ）＝０，
２ ２ ２ ２
３ ３ １ １ １ ７
由①ｇ（ｘ）＝ｇ（ －ｘ）ｇ（１）＝ｇ（ －１）＝ｇ（ ）＝０，又ｇ（ ）＝ｇ（ ＋３）＝ｇ（ ）＝０
２ ２ ２ ２ ２ ２
３ ３ ５ ５ ５ １１
由②ｇ（ｘ）＝－ｇ（ｘ＋ ）ｇ（１）＝－ｇ（１＋ ）＝－ｇ（ ）＝０，又ｇ（ ）＝ｇ（ ＋３）＝ｇ（ ）＝０
２ ２ ２ ２ ２ ２
１ ３ ５ ７ ９ １１
故ｇ（ｘ）＝０在（０，６）内解最少有 ，１， ，２， ，３， ，４， ，５， ，最少有１１个．
２ ２ ２ ２ ２ ２
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
书书书８．【答案】Ｃ
ａ ｎ＋１
【解析】由ｎａ ＝（２ｎ＋２）ａ，得 ｎ＋１＝２ ，
ｎ＋１ ｎ ａ ｎ
ｎ
ａ ｎ ａ ｎ－１ａ ｎ－２ ａ ２
所以 ｎ ＝２ ，ｎ－１＝２ ，ｎ－２＝２ ，…，２＝２ （ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）
ａ ｎ－１ａ ｎ－２ａ ｎ－３ ａ １
ｎ－１ ｎ－２ ｎ－３ １
ａ ｎ
ｎ＝２ｎ－１ ，得ａ＝ｎ２ｎ－１．
ａ １ ｎ
１
设Ｓ＝ａ＋ａ＋ａ＋…＋ａ ＝１·２０＋２·２１＋３·２２＋４·２３＋…＋１００·２９９ ①
１ ２ ３ １００
则２Ｓ＝１·２１＋２·２２＋３·２３＋４·２４＋…＋１００·２１００ ②
①－②得－Ｓ＝１＋２＋２２＋２３＋…＋２９９－１００·２１００
１－２１００
－Ｓ＝ －２１００·１００＝－９９·２１００－１
１－２
Ｓ＝９９·２１００＋１
ａ １００·２９９ ５０
１００ ＝ ＝ ．
ａ＋ａ＋ａ＋…＋ａ ９９·２１００ ９９
２ ３ ４ １００
９．ＢＤ
１０．【答案】ＡＣＤ
ｘ ｘ
【解析】【法一】由槡１＋ｃｏｓｘ＋槡１－ｃｏｓｘ＝槡２ｃｏｓ２ ＋槡２ｓｉｎ２ ＝槡ｋ得
２ ２
( ｘ ｘ )
槡２ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝槡ｋ
２ ２
( ｘ ｘ )２ ｋ－２
２ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝ｋ２＋２ｓｉｎｘ＝ｋ ｓｉｎｘ＝ ．
２ ２ ２
ｋ－２ 槡２
由ｙ＝ ｓｉｎｘ的图象可知， 的值为０，１， 时，
２ ２
槡１＋ｃｏｓｘ＋槡１－ｃｏｓｘ＝槡ｋ的正根构成等差数列，得ｋ＝２，４，２＋槡２，故选ＡＣＤ．
ｘ ｘ ( ｘ ｘ )
【法二】ｙ＝槡１＋ｃｏｓｘ＋槡１－ｃｏｓｘ＝槡２ｃｏｓ２ ＋槡２ｓｉｎ２ ＝槡２ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ
２ ２ ２ ２
其周期为π，设ｘ∈［０，π］
( ｘ ｘ )
则ｙ＝槡２ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ｘ∈［０，π］，
２ ２
其图象如右图所示．
( ｘ ｘ )
ｙ＝槡２ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝槡ｋ的正根构成等
２ ２
差数列，得槡ｋ＝２、槡ｋ＝槡２时成立，故ＣＤ正确；
π ３π ５π ７π
且ｘ＝ ，ｘ＝ ，ｘ＝ ，ｘ＝ ，…ｙ值也满足题意，
４ ４ ４ ４
( π π) π π π π π π
槡２ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝槡２槡（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）２＝槡２槡ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ
８ ８ ８ ８ ８ ８ ８ ８
π 槡２
＝槡２槡１＋ｓｉｎ ＝槡２槡１＋ ，
４ ２
得ｋ＝２＋槡２，故Ａ正确．
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}１１．【答案】ＢＣＤ
１
【解析】ｆ（ｘ）＝ ｘ４－ｂｘ２＋ｃｘ有三个不同极值点ｘ，ｘ，ｘ，
４ １ ２ ３
则ｆ′（ｘ）＝ｘ３－２ｂｘ＋ｃ＝０有三个不等实根为ｘ，ｘ，ｘ，则ｘ３－２ｂｘ＝－ｃ定有三个解．
１ ２ ３
设ｇ（ｘ）＝ｘ３－２ｂｘｇ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｂ，
当ｂ≤０，ｇ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ｂ≥０，得ｇ（ｘ）单调递增，
２ｂ
ｘ３－２ｂｘ＝－ｃ不会有三个解，所以ｂ＞０，ｇ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｂ＝０ｘ±槡，
３
２ｂ ２ｂ ２ｂ ２ｂ
得ｇ（ｘ）在（－∞，－槡）单调递增，在（－槡，槡）单调递减，在（槡，＋∞）单调递增．
３ ３ ３ ３
２ｂ
ｘ３－２ｂｘ＝－ｃ定有三个解ｇ（－槡）＞－ｃ恒成立，
３
２ｂ
因为－ｃ∈（０，１］，所以ｇ（－槡）＞１恒成立．
３
３
即ｇ（－槡
２ｂ
）＝（－槡
２ｂ
）３＋２ｂ槡
２ｂ
＞１，得ｂ＞
３槡２
，故Ａ错误；
３ ３ ３ ４
设ｘ３－２ｂｘ＋ｃ＝（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
１ ２ ３
＝ｘ３－（ｘ＋ｘ＋ｘ）ｘ２＋（ｘｘ＋ｘｘ＋ｘｘ）ｘ－ｘｘｘ，
１ ２ ３ １２ １３ ２３ １２３
故ｘ＋ｘ＋ｘ＝０，ｘｘ＋ｘｘ＋ｘｘ＝－２ｂ，ｘｘｘ＝－ｃ，故ｘｘｘ∈（０，１］，故Ｄ正确；
１ ２ ３ １２ １３ ２３ １２３ １２３
又（ｘ＋ｘ＋ｘ）２＝ｘ２＋ｘ２＋ｘ２＋２ｘｘ＋２ｘｘ＋２ｘｘ＝０
１ ２ ３ １ ２ ３ １２ １３ ２３
ｘ２＋ｘ２＋ｘ２＝－（２ｘｘ＋２ｘｘ＋２ｘｘ）＝４ｂ＞３槡 ３ ２，故Ｂ正确；
１ ２ ３ １２ １３ ２３
又ｘ３＋２ｂｘ＋ｃ＝０，ｘ３＋２ｂｘ＋ｃ＝０，ｘ３＋２ｂｘ＋ｃ＝０，
１ １ ２ ２ ３ ３
则ｘ３＋ｘ３＋ｘ３＝－２ｂｘ－ｃ－２ｂｘ－ｃ－２ｂｘ－ｃ＝－３ｃ，
１ ２ ３ １ ２ ３
又ｃ∈［－１，０），故－３ｃ∈（０，３］，
ｘ３＋ｘ３＋ｘ３的最大值为３，故Ｃ正确．
１ ２ ３
３９２π
１２．３ １３．
９
槡２（ｅ２＋１）
１４．
４ｅ２
ｙ
【解析】由 ｙ≤ ≤ ｌｎｘ，得０＜ｘ≤１，
ｘ
ｙ
又 ≤ ｌｎｘ，
ｘ
当ｙ≥０时，ｙ≤－ｘｌｎｘ，
当ｙ＜０时，ｙ≥ｘｌｎｘ，
由函数ｙ＝ｘｌｎｘ与ｙ＝－ｘｌｎｘ图象可知点 Ｐ位于
图中阴影部分区域，
则点Ｐ到直线ｘ－ｙ－ｍ＝０（ｍ∈Ｒ）最大距离的
最小值为函数ｙ＝－ｘｌｎｘ上切线斜率为１的点到直线ｘ－ｙ－１＝０的距离的一半．
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}ｙ＝－ｘｌｎｘｙ′＝－ｌｎｘ－１，
设－ｌｎｘ－１＝１，得ｘ＝ｅ－２，
０ ０
点（ｅ－２，２ｅ－２）到ｘ－ｙ－１＝０的距离为
ｅ－２－２ｅ－２－１
＝
ｅ－２＋１
＝
槡２（ｅ２＋１）
．
槡２ 槡２
２ｅ２
槡２（ｅ２＋１）
故答案为 ．
４ｅ２
四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１５．解：（１）因为Ｓ＝１－２－ｎ
ｎ
１
当ｎ≥２时，ａ＝Ｓ－Ｓ ＝１－２－ｎ－（１－２－ｎ＋１）＝ !!!!!!!!!!!!!! ２分
ｎ ｎ ｎ－１ ２ｎ
１
又因为ｎ＝１时，ａ＝Ｓ＝１－２－１＝ 也满足上式 !!!!!!!!!!!!!!! ３分
１ １ ２
１
所以当ｎ∈Ｎ时，ａ＝ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
ｎ ２ｎ
１
ｂ
ｎ
＝ｌｏｇ１
２
ａ
ｎ
＝ｌｏｇ１
２２ｎ
＝ｎ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分
１ １ １ １
（２）由ｂ＝ｎ，得 ＝ ＝ －
ｎ ｂｂ ｎ（ｎ＋１） ｎ ｎ＋１
ｎ ｎ＋１
１ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
Ｔ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ － ＋ － ＋…＋ － ＝１－ !! ８分
ｎ ｂｂ ｂｂ ｂｂ ｂ ｂ １ ２ ２ ３ ｎ ｎ＋１ ｎ＋１
１２ ２３ ３４ ｎ－１ ｎ
１ １ １ １ ２ｎ－（ｎ＋１）
Ｓ－Ｔ＝（１－ ）－（１－ ）＝ － ＝ !!!!!!!!!!! １０分
ｎ ｎ ２ｎ ｎ＋１ ｎ＋１ ２ｎ （ｎ＋１）２ｎ
当ｎ＝１时，２ｎ＝ｎ＋１
当ｎ≥２时，２ｎ＝Ｃ０＋Ｃ１＋Ｃ２＋…＋Ｃｎ＝１＋ｎ＋Ｃ２＋…＋Ｃｎ＞ｎ＋１，Ｓ＞Ｔ．!!!! １２分
ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ
综上所述：当ｎ＝１时，Ｓ＝Ｔ，当ｎ≥２时，Ｓ＞Ｔ． !!!!!!!!!!!!!! １３分
ｎ ｎ ｎ ｎ
１６．解：（１）等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，得∠ＡＢＣ＝９０°
点Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，ＥＦ∥ＢＣ，
所以ＥＦ⊥ＡＢ．!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分
将△沿ＥＦ翻折到△ＤＥＦ位置后，ＥＦ⊥ＥＤ，ＥＦ⊥ＥＢ，
ＥＤ面ＢＤＥ，ＥＢ面ＢＤＥ，ＤＥ∩ＥＢ＝Ｅ，
所以ＥＦ⊥面ＢＤＥ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
又ＥＦ∥ＢＣ，得ＢＣ⊥面ＢＤＥ，又ＢＣ面ＢＣＤ，所以平面ＢＣＤ⊥平面ＢＤＥ !!!!! ６分
（２）【法一】由（１）知ＢＣ⊥面ＢＤＥ，所以面ＡＢＣ⊥面ＢＤＥ．
又因为ＤＢ＝ＥＢ，所以△ＢＤＥ为等边三角形，
设ＥＢ的中点为Ｏ，则ＤＯ⊥面 ＡＢＣ，过 Ｏ作 ＯＭ⊥ＡＢ交 ＡＣ
于Ｍ．以Ｏ为坐标原点，ＯＭ，ＯＢ，ＯＤ所在直线分别为 ｘ，ｙ，ｚ
轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设ＡＢ＝ＢＣ＝４，
得Ｄ（０，０，槡３），Ｅ（０，－１，０），Ｆ（２，－１，０），Ｃ（４，１，０）
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}→ → →
所以ＥＤ＝（０，１，槡３），ＥＦ＝（２，０，０），ＥＣ＝（４，２，０）!!!!!!!!!!!!!!! ９分
设平面ＤＥＦ的一个法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
１ １ １
→
{ｍ·ＥＤ＝０ {ｙ＋槡３ｚ＝０
则 １ １
→
ｍ·ＥＦ＝０ ｘ＝０
１
可取ｍ＝（０，３，－槡３），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
设平面ＤＥＣ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
２ ２ ２
→
{ｎ·ＥＤ＝０ {ｙ＋槡３ｚ＝０
则 ２ ２
→
ｎ·ＥＣ＝０ ４ｘ＋２ｙ＝０
２ ２
３
可取ｎ＝（－ ，３，－槡３），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
２
ｍ·ｎ １２ ４槡１９
则ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ ＝ ＝ ，
ｍ · ｎ 槡５７ １９
２槡３·
２
４槡１９
平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ夹角的余弦值为 ．!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
１９
【法二】点Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，ＥＦ∥ＢＣ，ＢＣ⊥面ＤＥＢ，
所以ＥＦ⊥面ＤＥＢ，
面ＤＥＦ⊥面ＤＥＢ，且面ＤＥＦ∩面ＤＥＢ＝ＤＥ，
不妨设ＡＢ＝ＢＣ＝４，则点Ｂ到面ＤＥＦ的距离为槡３，!!! ８分
故点Ｃ到面ＤＥＦ的距离为槡３．
设ＥＢ的中点为Ｏ，则ＤＯ⊥面ＡＢＣ，
∠ＯＢＣ＝９０°，ＢＤ＝４，ＯＢ＝１ＯＣ＝槡１７，ＢＥ＝２ＥＣ＝２槡５ !!!!!!!!!! １０分
△ＤＯＣ中∠ＤＯＣ＝９０°，ＯＣ＝槡１７，ＯＤ＝槡３ＤＣ＝２槡５ !!!!!!!!!!!! １１分
所以△ＤＥＣ为等腰三角形，ＤＣ＝ＥＣ＝２槡５且ＤＥ＝２，得点Ｃ到ＤＥ的距离为槡１９，
又Ｃ到面ＤＥＦ的距离为槡３，
槡３
所以平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ夹角的正弦值为 ， !!!!!!!!!!!!!! １３分
槡１９
４槡１９
得平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ夹角的余弦值为 ．!!!!!!!!!!!!!!! １５分
１９
１７．解：（１）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为４０％．
设抽取的三人中满分人数为Ｘ，则Ｘ＝０，１，２，３．
２ ２７
则Ｐ（Ｘ＝０）＝（１－ ）３＝ ，
５ １２５
２ ３ ５４
Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１ （ ）２＝ ，
３５ ５ １２５
２ ３ ３６
Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２（ ）２ ＝ ，
３ ５ ５ １２５
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}２ ８
Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３（ ）３＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分
３ ５ １２５
则Ｘ的分布列为
Ｘ ０ １ ２ ３
２７ ５４ ３６ ８
Ｐ
１２５ １２５ １２５ １２５
２
∵Ｘ～Ｂ（３， ），
５
２ ６
∴数学期望Ｅ（Ｘ）＝３× ＝ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
５ ５
（２）【法一】设该校总人数为Ｎ人，则体育项目测试满分的有 Ｎ×４０％ ＝０４Ｎ人，每天运动
时间超过两个小时的人数有Ｎ×２０％＝０２Ｎ人，!!!!!!!!!!!!!!! ５分
超过两个小时的人体育项目测试满分率约为５０％，则其中测试满分的有个０２Ｎ×５０％ ＝
０．１Ｎ个人，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６分
因此每天运动时间不超过两个小时的学生有Ｎ×（１－２０％）＝０８Ｎ个人中，测试满分的有
０．３Ｎ ３
０．４Ｎ－０．１Ｎ＝０．３Ｎ个人，任取１名学生，他体育测试满分的概率为Ｐ＝ ＝ ． !!
０．８Ｎ ８
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分
【法二】用Ａ表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，
则Ｐ（Ａ）＝２０％，Ｐ（珔Ａ）＝１－２０％＝８０％．
用Ｂ表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，
则Ｐ（Ｂ）＝４０％，且Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝５０％．
又Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝２０％·５０％＝１０％ !!!!!!!!!!!!!!!! ６分
Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（珔ＡＢ）＝１０％＋Ｐ（珔ＡＢ）＝４０％
故Ｐ（珔ＡＢ）＝３０％． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８分
Ｐ（珔ＡＢ）
３０％ ３
Ｐ（Ｂ｜珔Ａ）＝ ＝ ＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分
Ｐ（珔Ａ） ８０％ ８
（３）【法一】记Ａ表示事件“经过ｎ次传球后，球在乙的手中”，
ｎ
设ｎ次传球后球在乙手中的概率为ｐ，ｎ＝１，２，３，…，ｎ，
ｎ
１ —
则有ｐ＝ ，Ａ ＝Ａ·Ａ ＋Ａ·Ａ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分
１ ２ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１
—
所以ｐ ＝Ｐ（Ａ·Ａ ＋Ａ·Ａ ）
ｎ＋１ ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１
—
＝Ｐ（Ａ·Ａ ）＋Ｐ（Ａ·Ａ ）
ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１
— —
＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ａ ｜Ａ）＋Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ａ ｜Ａ）
ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ ｎ＋１ ｎ
１
＝（１－ｐ）· ＋ｐ·０
ｎ ２ ｎ
１
＝ （１－ｐ），
２ ｎ
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}１ １
即ｐ ＝－ ｐ＋ ，ｎ＝１，２，３，…，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分
ｎ＋１ ２ ｎ ２
１ １ １ １ １
所以ｐ － ＝－ （ｐ－ ），且ｐ－ ＝ ，
ｎ＋１ ３ ２ ｎ ３ １ ３ ６
{ １} １ １
所以数列 ｐ－ 表示以 为首项，－ 为公比的等比数列，!!!!!!!!!! １４分
ｎ ３ ６ ２
１ １ １
所以ｐ－ ＝ ×（－ ）ｎ－１，
ｎ ３ ６ ２
１ １ １ １ １
所以ｐ＝ ×（－ ）ｎ－１＋ ＝ ［１－（－ ）ｎ］．
ｎ ６ ２ ３ ３ ２
１ １
即ｎ次传球后球在乙手中的概率是 ［１－（－ ）ｎ］．!!!!!!!!!!!!! １６分
３ ２
【法二】记Ａ表示事件“经过ｎ次传球后，球在甲的手中”，
ｎ
设ｎ次传球后球在甲手中的概率为ｐ，ｎ＝１，２，３，…，ｎ，
ｎ
—
则有ｐ＝０，Ａ ＝Ａ·Ａ ＋Ａ·Ａ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０分
１ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１
—
所以ｐ ＝Ｐ（Ａ·Ａ ＋Ａ·Ａ ）
ｎ＋１ ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１
—
＝Ｐ（Ａ·Ａ ）＋Ｐ（Ａ·Ａ ）
ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１
— —
＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ａ ｜Ａ）＋Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ａ ｜Ａ）
ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ ｎ＋１ ｎ
１
＝（１－ｐ）· ＋ｐ·０
ｎ ２ ｎ
１
＝ （１－ｐ），
２ ｎ
１ １
即ｐ ＝－ ｐ＋ ，ｎ＝１，２，３，…，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分
ｎ＋１ ２ ｎ ２
１ １ １ １ １
所以ｐ － ＝－ （ｐ－ ），且ｐ－ ＝－ ，
ｎ＋１ ３ ２ ｎ ３ １ ３ ３
{ １} １ １
所以数列 ｐ－ 表示以－ 为首项，－ 为公比的等比数列，
ｎ ３ ３ ２
１ １ １
所以ｐ－ ＝（－ ）×（－ ）ｎ－１，
ｎ ３ ３ ２
１ １ １ １ １
所以ｐ＝（－ ）×（－ ）ｎ－１＋ ＝ ［１－（－ ）ｎ－１］!!!!!!!!!!!! １４分
ｎ ３ ２ ３ ３ ２
１ １
即ｎ次传球后球在甲手中的概率是 ［１－（－ ）ｎ－１］，因为由甲先传球，则 ｎ次传球后球
３ ２
１ １
１－ ［１－（－ ）ｎ－１］
３ ２ １ １
在乙和丙手中的概率相等为 ＝ ［１－（－ ）ｎ］!!!!!! １６分
２ ３ ２
１８．解：ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ａｘ）ｅｘｆ′（ｘ）＝［ｘ２＋（ａ＋２）ｘ＋ａ］ｅｘ !!!!!!!!!!!!! ２分
因为ｅｘ＞０，设ｇ（ｘ）＝ｘ２＋（ａ＋２）ｘ＋ａ，Δ＝（ａ＋２）２－４ａ＝ａ２＋４＞０，
－（ａ＋２）±槡ａ２＋４
则ｇ（ｘ）＝ｘ２＋（ａ＋２）ｘ＋ａ＝０ｘ ＝ !!!!!!!!!!! ４分
１，２ ２
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}－（ａ＋２）－槡ａ２＋４
当ｘ∈（－∞， ）时，ｇ（ｘ）＞０ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增．
２
－（ａ＋２）－槡ａ２＋４ －（ａ＋２）＋槡ａ２＋４
当ｘ∈（ ， ）时，ｇ（ｘ）＜０ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减．
２ ２
－（ａ＋２）＋槡ａ２＋４
当ｘ∈（ ，＋∞）时，ｇ（ｘ）＞０ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增．
２
－（ａ＋２）－槡ａ２＋４ －（ａ＋２）＋槡ａ２＋４
综上所述：ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－∞， ），（ ，
２ ２
－（ａ＋２）－槡ａ２＋４ －（ａ＋２）＋槡ａ２＋４
＋∞），单调递减区间为（ ， ）．!!!!!!! ６分
２ ２
（２）若ｆ（ｘ）＝ｘ即（ｘ２＋ａｘ）ｅｘ＝ｘ只有一个解，
因为ｘ＝０使方程成立，所以只有０是ｆ（ｘ）＝ｘ的解．
ｘ≠０时，（ｘ＋ａ）ｅｘ＝１无非零解．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
设ｈ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｅｘ－１，则ｈ′（ｘ）＝（ｘ＋ａ＋１）ｅｘ，
当ｘ＜－ａ－１，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）单调递减，
当ｘ＞－ａ－１，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调递增，
所以ｈ（ｘ）最小值为ｈ（－ａ－１）＝－ｅ－ａ－１－１＜０，
当ｘ→－∞时，ｈ（ｘ）→－１，当ｘ→＋∞时，ｈ（ｘ）→＋∞，故ｈ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｅｘ－１定有零点，又
因为（ｘ＋ａ）ｅｘ＝１无非零解，有零点应还是０．
所以ｈ（０）＝（０＋ａ）ｅ０－１＝０ａ＝１，则ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ｘ）ｅｘ，!!!!!!!!!!! １０分
ｆ（ｘ）
＞（ｋｘ－ｘ２）（ｅｘ－１）得ｘ２＋ｘ＞（ｋｘ－ｘ２）（ｅｘ－１）
ｅｘ
ｘ＋１ ｘ＋１
ｘ＞０，ｅｘ＞１， ＞ｋ－ｘ得ｋ＜ ＋ｘ
ｅｘ－１ ｅｘ－１
ｘ＋１
设Ｆ（ｘ）＝ ＋ｘ
ｅｘ－１
－１－ｘｅｘ ｅｘ（ｅｘ－ｘ－２）
Ｆ′（ｘ）＝ ＋１＝ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分
（ｅｘ－１）２ （ｅｘ－１）２
令Ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－２得Ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－１
因为ｘ＞０ｅｘ＞１Ｇ′（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－２在（０，＋∞）上单调递增，
又Ｇ（１）＝ｅ－３＜０，Ｇ（２）＝ｅ２－４＞０，
ｅｘ０（ｅｘ０－ｘ－２）
所以ｘ∈（１，２）使得Ｇ（ｘ）＝０ｅｘ０＝ｘ＋２，且Ｆ′（ｘ）＝ ０ ＝０．!! １４分
０ ０ ０ ０ （ｅｘ０－１）２
ｘ＋１
ｘ∈（０，ｘ）Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）＝ ＋ｘ单调递减，
０ ｅｘ－１
ｘ＋１
ｘ∈（ｘ，＋∞）Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）＝ ＋ｘ单调递增，
０ ｅｘ－１
ｘ＋１
所以Ｆ（ｘ）最小值Ｆ（ｘ）＝ ０ ＋ｘ
０ ｅｘ０－１ ０
ｘ＋１
且ｅｘ０＝ｘ＋２，得Ｆ（ｘ）＝０ ＋ｘ＝ｘ＋１!!!!!!!!!!!!!!!!! １６分
０ ０ ｘ＋１ ０ ０
０
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}ｘ＋１
又因为ｘ∈（１，２）ｘ＋１∈（２，３），所以ｋ＜ ＋ｘｋ＜ｘ＋１，
０ ０ ｅｘ－１ ０
故整数ｋ的最大值为２． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
１
１９．解：（１）函数ｙ＝ｘ＋ 的图象是圆锥曲线中的双曲线，
ｘ
且ｙ轴和直线ｙ＝ｘ是它的渐近线可知，对称轴为直线
３π ７π
ｙ＝ｔａｎ ·ｘ和ｙ＝ｔａｎ ·ｘ．!!!!!!!!! ２分
８ ８
π
２ｔａｎ
π π ８ π π
ｔａｎ ＝ｔａｎ（２· ）＝ ，得ｔａｎ２ ＋２ｔａｎ －１＝０
４ ８ π ８ ８
１－ｔａｎ２
８
π ３π π π
解得ｔａｎ ＝槡２－１， ＋ ＝ ，
８ ８ ８ ２
π ３π ３π
所以ｔａｎ ·ｔａｎ ＝１得ｔａｎ ＝槡２＋１，
８ ８ ８
７π π π
ｔａｎ ＝ｔａｎ（π－ ）＝－ｔａｎ ＝１－槡２，
８ ８ ８
所以对称轴ｌ的方程为ｙ＝（槡２＋１）ｘ和ｙ＝（１－槡２）ｘ．!!!!!!!!!!!!! ５分
（２）（ⅰ）【法一】在转轴下，设坐标轴的旋转角为 α，平面
上任一点Ｐ在旧坐标系 ｘＯｙ与新坐标系 ｘ′Ｏｙ′内的坐标
分别为（ｘ，ｙ）与（ｘ′，ｙ′），作 ＰＭ⊥Ｏｘ，ＰＮ⊥Ｏｘ′再设
∠ＰＯｘ′＝θ，则
ｘ′＝ＯＮ＝｜ＯＰ｜ｃｏｓθ，ｙ′＝ＮＰ＝｜ＯＰ｜ｓｉｎθ，
ｘ＝ＯＭ＝｜ＯＰ｜ｃｏｓ（α＋θ）＝｜ＯＰ｜（ｃｏｓαｃｏｓθ－ｓｉｎαｓｉｎθ）
＝ｘ′ｃｏｓα－ｙ′ｓｉｎα， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８分
ｙ＝ＭＰ＝｜ＯＰ｜ｓｉｎ（α＋θ）＝｜ＯＰ｜（ｓｉｎαｃｏｓθ＋ｃｏｓαｓｉｎθ）＝ｘ′ｓｉｎα＋ｙ′ｃｏｓα
３π １
由（１）可知将坐标轴逆时针旋转 ，函数ｙ＝ｘ＋ 将变为双曲线标准方程，由公式可得
８ ｘ
{ｘ＝ｘ′ｃｏｓ
３π
－ｙ′ｓｉｎ
３π ｘ＝ｘ′
１
－ｙ′
槡２＋１
ｘ＝
１
［ｘ′－（槡２＋１）ｙ′］
８ ８ 槡４＋２槡２ 槡４＋２槡２ 槡４＋２槡２
ｙ＝ｘ′ｓｉｎ
３π
＋ｙ′ｃｏｓ
３π
ｙ＝ｘ′
槡２＋１
＋ｙ′
１
ｙ＝
１
［（槡２＋１）ｘ′＋ｙ′］
８ ８
槡４＋２槡２ 槡４＋２槡２ 槡４＋２槡２
１ ｘ２ ｙ２
代入ｙ＝ｘ＋ 整理得 － ＝１．!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
ｘ ２槡２＋２ ２槡２－２
３π ３π
{ｘ＝ｘ′ｃｏｓ －ｙ′ｓｉｎ
８ ８ １
【或将 代入ｙ＝ｘ＋ ，
３π ３π ｘ
ｙ＝ｘ′ｓｉｎ ＋ｙ′ｃｏｓ
８ ８
３π ３π ３π ３π １
得ｘ′ｓｉｎ ＋ｙ′ｃｏｓ ＝ｘ′ｃｏｓ －ｙ′ｓｉｎ ＋
８ ８ ８ ８ ３π ３π
ｘ′ｃｏｓ －ｙ′ｓｉｎ
８ ８
３π ３π ３π ３π ３π ３π
（ｘ′ｓｉｎ ＋ｙ′ｃｏｓ －ｘ′ｃｏｓ ＋ｙ′ｓｉｎ ）（ｘ′ｃｏｓ －ｙ′ｓｉｎ ）＝１
８ ８ ８ ８ ８ ８
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}３π ３π ３π ３π ３π ３π
［ｘ′（ｓｉｎ －ｃｏｓ ）＋ｙ′（ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ）］（ｘ′ｃｏｓ －ｙ′ｓｉｎ ）＝１
８ ８ ８ ８ ８ ８
３π π ３π π ３π ３π
［槡２ｘ′ｓｉｎ（ － ）＋槡２ｙ′ｓｉｎ（ ＋ ）］（ｘ′ｃｏｓ －ｙ′ｓｉｎ ）＝１
８ ４ ８ ４ ８ ８
π ５π π ５π
［槡２ｘ′ｓｉｎ ＋槡２ｙ′ｓｉｎ ］［ｘ′ｓｉｎ －ｙ′ｓｉｎ ］＝１
８ ８ ８ ８
π ５π
槡２［ｘ′２ｓｉｎ２ －ｙ′２ｓｉｎ２ ］＝１
８ ８
π π
１－ｃｏｓ １＋ｃｏｓ
４ ４
槡２［ｘ′２ －ｙ′２ ］＝１
２ ２
ｘ２ ｙ２
得 － ＝１】!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
２槡２＋２ ２槡２－２
１ ３π
【法二】考虑将函数ｙ＝ｘ＋ 顺时针转 ，可得双曲线标准方程Ｃ．
ｘ ８
任取Ｃ上一点（ｘ，ｙ），ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，
３π ３π １
则点（ｒｃｏｓ（θ＋ ），ｒｓｉｎ（θ＋ ））在ｙ＝ｘ＋ 上．
８ ８ ｘ
３π ３π １
即ｒｓｉｎ（θ＋ ）＝ｒｃｏｓ（θ＋ ）＋ !!!!!!!!!!!!!!!! ８分
８ ８ ３π
ｒｃｏｓ（θ＋ ）
８
３π ３π ３π
（ｒｓｉｎ（θ＋ ）－ｒｃｏｓ（θ＋ ））ｒｃｏｓ（θ＋ ）＝１
８ ８ ８
３π ３π ３π ３π
ｒ２ｓｉｎ（θ＋ ）ｃｏｓ（θ＋ ）－ｒ２ｃｏｓ（θ＋ ）ｃｏｓ（θ＋ ）＝１
８ ８ ８ ８
ｒ２ ３π ３π
ｓｉｎ（２θ＋ ）－ｒ２ｃｏｓ２（θ＋ ）＝１
２ ４ ８
ｒ２ ３π ３π
［ｓｉｎ（２θ＋ ）－ｃｏｓ（２θ＋ ）－１］＝１
２ ４ ４
ｒ２ π ｒ２ １
［槡２ｓｉｎ（２θ＋ ）－１］＝１ ［槡２ｃｏｓ２θ－１］＝１ ［ｒ２ 槡２ｃｏｓ２θ－ｒ２］＝１
２ ２ ２ ２
１ １
［槡２ｒ２ｃｏｓ２θ－槡２ｒ２ｓｉｎ２θ－ｒ２］＝１ ［槡２ｘ２－槡２ｙ２－ｘ２－ｙ２］＝１
２ ２
ｘ２ ｙ２
得 － ＝１ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
２槡２＋２ ２槡２－２
ｘ２ ｙ２
（ⅱ）由题意知Ａ、Ｂ为双曲线 － ＝１的两个焦点
２槡２＋２ ２槡２－２
ＡＢ２
所以 ＝２槡２＋２＋２槡２－２＝４槡２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
２
又因为△ＰＡＢ为直角三角形，所以 ＰＡ２＋ ＰＢ２＝ ＡＢ２＝１６槡２
由双曲线性质可知 ＰＡ － ＰＢ ＝２槡２槡２＋２!!!!!!!!!!!!!!! １４分
得 ＰＡ２＋ ＰＢ２－２ＰＡ ＰＢ ＝８槡２＋８
所以２ＰＡ ＰＢ ＝８槡２－８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １６分
ＰＡ ＰＢ
得△ＰＡＢ的面积为 ＝２槡２－２ !!!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
２
（其他方法可酌情给分）
{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}
