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数学参考答案及解析
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
A D B D C A B C ABC ACD BC
.【答案】
1 A
【解析】B x Z x A B x Z x 故选 .
={∈ |-3< <1}, ∩ ={∈ |-1≤ <1}={-1,0}, A
【答案】
2 D
【解析】z- x y z z- 2 y2z z- x 即y2 1x 所以复数z在复平面内对应的点的轨迹为抛
= - i,∴| - |=4 ,+ =2 , = ,
2
物线 故选 .
, D
.【答案】
3 B
【解析】由已知 x 1x2 x2 x 解得x 或x 7 舍 故选 .
5 +28=6× ,3 -5 -28=0, =4 =- ( ), B
2 3
.【答案】
4 D
【解析】事件B中ab
, =1×1,1×2,1×3,1×4,1×5,1×6,2×1,2×2,2×3,2×4,2×5,2×6,3×1,3×2,
所以P B 25P AB 11
3×3,3×4,3×5,4×1,4×2,4×3,5×1,5×2,5×3,6×1,6×2, ( )= , ( )= ,
36 36
PAB
PAB 11 故选 .
∴ (| )=PB = , D
25
.【答案】
5 C
θ
θ 2tan
【解析】由 1 得 θ 2 4
tan =- , tan = θ=- ,
2 2 2 3
1-tan
2
3θ θ
θ
cos
θ = θ
cos
θ ·cos
2θ
= θ
1
·
1
2θ=-
27
,
故选
C
.
sin +cos sin +cos tan +1 1+tan 25
.【答案】
6 A
f f f
【解析】令x f y 1 f y 1 f y 1 -1fy 1- 1
=-1,∴ - = y - - -y,∴ - = y , = y ,
2 2
令x y f f f f 1fx 1 故选 .
= =-1,∴ (1)=- (1)- (1)+1,(1)= ,()= x, A
3 3
.【答案】
7 B
A A A
【解析】 S S S 1bc A 1b AD 1c AD 解得 6
∵ △ ABC= △ ABD+ △ ACD,∴ sin = ∙ sin + ∙ sin , cos = ,
2 2 2 2 2 2 3
A
A 2 1 a2 1 a 1 AH 1 22 AH
cos =2cos -1= ,∴ =9+4-2×2×3× =9,=3, ×3× = ×3×2× , =
2 3 3 2 2 3
42 故选 .
, B
3
.【答案】
8 C
【解析】设Mx y Nxy MN→ x x y y aλa x x ay y λa 则点N 的
(0,0), (,),∴ =( - 0,- 0)=(, ),0= - ,0= - ,
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1 6
{#{QQABCQQUoggAAJAAARgCAQGACgIQkBAACIoGgFAIIAIASRFABAA=}#}轨迹方程为x a2 y λa2 a2 其公共弦方程为 x λy λ2a λ 1a 故选 .
(- )+(- )= , 2 +2 -(1+ )=0,∴ = ,=4, C
2
.【答案】
9 ABC
【解析】由图知 πω φ 1 5πω φ 3 π与5π在同一个周期内 πω φ π
sin + = ,sin + =- ,∵ ,∴ + = +
4 2 6 2 4 6 4 6
π
k 5 4π k 所以ω φ π 故 正确 正确 由 π x π π得该函数的一个单
2π, ω+φ= +2π, =2,=- , A ,B ; - ≤2 - ≤
6 3 3 2 3 2
调递增区间为 π 5π
- ,
1212
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2 6
故 正确 不正确 故选
, C ,D . ABC.
.【答案】
10 ACD
【解析】对于 a αb β ab所成角与αβ 所成角相等或互补 而α与 β 所成锐二面角为θab
A,∵ ⊥ ,⊥ ,∴ , , , ,,
所成角为锐角或直角 正确 对于 画图使aα且旋转a 显然错误 对于 使a α 且a在α内
,∴A ; B, ∥ , ; C, ⊂ ,
旋转 观察知 正确 对于 由线面所成角的定义知正确.故选
, C ; D, ACD.
.【答案】
11 BC
b a2
【解析】如图 AB方程为y 3x a 与y x联立解得x -
, = (+ ), =-a M=a b ,
3 + 3
a2 a2 a2 a2
同理x - AM MN - a - - 解得b ae 故 不正
N=a b ,∵| |=| |,∴a b+ =a b-a b , = 3 ,=2, A
- 3 + 3 - 3 + 3
确 由以上分析知 AOM π AMO π AB OM 正确 将y 3x a 代入曲线C中整
; ∠ = ,∴∠ = ,∴ ⊥ ,B ; = ( + )
3 2 3
a3 a3
理得x x 2 由以上知x x 2 AB与MN 的中点重合 AM BN
A+ B=b2 a2 , M+ N=b2 a2 ,∴ ,∴| |=| |,
3 - 3 -
S S 正确 由以上分析知 AF a OA AB AM BF OM BF AB
∴ △ OAM= △ OBN,C ; | |=3 =3| |,| |=3| |,∴ ∥ , ⊥ ,
∴|
BF
|=
3a
,|
AB
|=
33a
,∴
S
△ ABF=
1
|
AB
|·|
BF
|=
93a2
,D
不正确
.
故选
BC.
2 2 2 8
y
B
M N
A O F x
.【答案】1
12
3
【解析】 ab x2 x 解得x 或 x x 1.
∵ ∥ ,∴ -3-2 =0, =3 -1,∴| -1|=2,∴log8| -1|=
3
.【答案】 2
13
3
【解析】以该四面体的六个边为面对角线构造长方体 则长方体的体对角线为外接球的直径.设长方体
,
{#{QQABCQQUoggAAJAAARgCAQGACgIQkBAACIoGgFAIIAIASRFABAA=}#}的体对角线与其共顶点的三条面对角线所成角为αβγ 则 2α 2β 2γ 代入 α 2
、、, sin +sin +sin =1, sin = ,
3
β 3 解得 γ 2.故填 2.
sin = , sin =
3 3 3
.【答案】
14 4 342732
n n n n n n
【解析】当n 时 1 1 1 当n 时 2 1 1 当n
=1 , = , = , = ; =2 , = , = , = ; =3
3 3 4 4 6 6 3 3 4 2 6 3
n n n n n n
时 3 1 当n 时 1 2 满足条件.第一空填 .
, =0, = , = ;∴ =4 , = , =0, = , 4
3 4 4 6 2 3 3 4 6 3
同理n 也满足条件 但n 不满足条件 由同余原理知 n n 满足条件 n不满足条
=8 , =12 , 12 -8,12 -4 ,12
件 即 的倍数中去掉 的倍数 S 506× 4+2024
, 4 12 ,∵2024=506×4,2024=168×12+8, = -
2
168× 12+2016 .
=342732
2
.【解析】 方法一 插空法 将所有芯片视为不相同的 先将三件正品全排列有
3
种 分
15 (1) : : , A3 , …………… 1
将两件次品插入三件正品的空档中有 种 分
2
A4 ,…………………………………………………………… 2
所以检测过程中两件次品不相邻时有 种 分
3 2
A3A4 ,………………………………………………………… 3
3 2
故两件次品不相邻的概率为P A3A4 3. 分
= 5 = …………………………………………………………… 4
A5 5
方法二 将所有芯片视为不相同的 当两件次品相邻时有 种排法 分
2
: , A2 ,………………………………… 1
这两件次品相邻与其他三件正品全排列有 种排法 分
4
A4 ,………………………………………………… 2
2 4
故两件次品相邻的概率为P A2A4 2 分
= 5 = ,……………………………………………………………… 3
A5 5
故两件次品不相邻的概率为 2 3. 分
1- = ……………………………………………………………… 4
5 5
由题设X .
(2) =0,1,2,3
2 3
PX A2A3 1 分
∴ ( =3)= 5 = ,………………………………………………………………………………… 5
A5 10
2 3
PX 2A2A3 2 分
( =2)= 5 = ,………………………………………………………………………………… 7
A5 10
2 3
PX 3A2A3 3 分
( =1)= 5 = ,………………………………………………………………………………… 9
A5 10
2 4
PX A2A4 4 分
( =0)= 5 = ,………………………………………………………………………………… 11
A5 10
其分布列为
X
0 1 2 3
分
…………………………… 12
P 4 3 2 1
10 10 10 10
EX 4 3 2 1 . 分
( )=0× +1× +2× +3× =1 ………………………………………………………… 13
10 10 10 10
.【解析】 当a 时fx x2 x xx
16 (1) =1 ,()= -ln||+ ,∈(-∞,0)∪(0,+∞),
( x )(x )
f'x x 1 2 -1 +1 分
()=2 -x+1= x , ………………………………………………………………… 1
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3 6
{#{QQABCQQUoggAAJAAARgCAQGACgIQkBAACIoGgFAIIAIASRFABAA=}#}由f'x 解得x 1 分
()>0, ∈(-1,0)∪ ,+∞ , ………………………………………………………… 3
2
由f'x 解得x 1 分
()<0, ∈(-∞,-1)∪ 0, , ………………………………………………………… 5
2
fx 在 和 1 上单调递增
∴ () (-1,0) ,+∞ ,
2
在 和 1 上单调递减 分
(-∞,-1) 0, ,…………………………………………………………………… 6
2
由以上分析可知
,
fx 在x 处取得极小值f
() =-1 (-1)=0,
在x 1处取得极小值f 1 3 无极大值. 分
= = +ln2, ………………………………………………… 8
2 2 4
分情况讨论fx 也可给分
( () )
ax2 x
f'x 2 + -1 分
(2) ()= x ,………………………………………………………………………………… 9
设gx ax2 x
()=2 + -1,
fx 在 和 上均为单调函数
∵ () (-∞,0) (0,+∞) ,
gx 或gx 分
∴ ()≤0 ()≥0,………………………………………………………………………………… 10
g
∵ (0)=-1<0,
gx 分
∴ ()≤0,……………………………………………………………………………………………… 11
a a
<0,即 <0, 分
∴Δ a . ………………………………………………………………………………… 13
≤0, 1+8 ≤0
解得a 1 所以实数a的取值范围为 1
≤- , -∞,-
8 8
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4 6
. 分
……………………………………………… 15
.【解析】 由题意得BC BC BC 平面OBC BC 平面OBC BC 平面OBC 分
17 (1) ∥ 1 1, ⊄ 1 1 1,1 1⊂ 1 1 1,∴ ∥ 1 1 1,… 1
又平面OBC 平面OBC lBC 平面OBC
1 ∩ 1 1 1= , ⊂ 1 ,
BCl 分
∴ ∥ ,…………………………………………………………………………………………………… 3
又l 平面ABCDBC 平面ABCD
⊄ , ⊂ ,
l 平面ABCD. 分
∴ ∥ ………………………………………………………………………………………… 5
取BCBC 的中点EF 连接EF
(2) 、1 1 、 , ,
则由对称性知内切球O 与侧面BCCB 的切点M 在EF上 分
1 1 1 ,……………………………………… 6
与上下底面的切点分别是上下底面的中心O O.
2、
由已知得OF FM OE MEOM EF
2 =1= , =2= ,1 ⊥ ,
OM OO . 分
∴ 1 = 2, 2=22 ………………………………………………………………………………… 7
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
[
%
$
0 '
" # .
0
% $
0 & Z
"
#
Y
{#{QQABCQQUoggAAJAAARgCAQGACgIQkBAACIoGgFAIIAIASRFABAA=}#}则A B B C .
1(1,-1,22),1(1,1,22), (2,2,0), (-2,2,0)
AB→ BB→ BC→ 分
1 1=(0,2,0),1 =(1,1,-22),1 =(-3,1,-22),……………………………………… 9
设平面BAAB 的法向量为m x y z
1 1 =(1,1,1),
m AB→ y
· 1 1=0, 即 2 1=0,
∴
m BB→ x y z
· 1 =0, 1+ 1-22 1=0,
令z m . 分
1=1,∴ =(22,0,1) …………………………………………………………………………… 11
设平面ABCD的法向量为n x y z
1 1 =(2,2,2),
n AB→ y
· 1 1=0, 即 2 2=0,
∴
n BC→ x y z
· 1 =0, -3 2+ 2-22 2=0,
令x n 分
2=22,∴ =(22,0,-3),……………………………………………………………………… 13
mn 5 5 17.
cos< ,>= =
3 17 51
平面ABBA 与平面ABCD夹角的余弦值为5 17. 分
∴ 1 1 1 1 ………………………………………… 15
51
.【解析】 当n 时S b b S
18 (1) =1 ,1= 1,31= 1+1,
b 1. 分
∴ 1= ………………………………………………………………………………………………… 2
2
当n ≥2 时 ,3 b 1+3 2b 2+…+3 n -1b n -1= S n -1+( n -1) 2 ,…………………………………………… 4 分
n
与题中等式作差得 nb b n b 2 -1 分
3 n= n+2 -1,n= n , …………………………………………………… 6
3-1
当n 也适合上式
=1 ,
n
b 2 -1. 分
∴ n= n ……………………………………………………………………………………………… 7
3-1
n n n
由题意得b 2 -1 2 -1+1 2 分
(2) n= n < n = n, …………………………………………………………… 9
3-1 3-1+1 3
n
S b b b 1 4 2 分
∴ n= 1+ 2+…+ n≤ + 2+…+ n,…………………………………………………………… 11
2 3 3
n
设M 4 2
= 2+…+ n,
3 3
n n
1M 4 2 -2 2 分
∴ = 3+…+ n + n +1 ,……………………………………………………………………… 13
3 3 3 3
n n
2M 4 2 2 2 5 2 +3 5 分
∴ = 2+ 3+…+ n- n +1= - n +1 < ,………………………………………………… 15
3 3 3 3 3 9 3 9
M 5
∴ < ,
6
S 1 5 4 当n 时S 1 4 综上S 4. 分
∴ n< + = , =1 ,1= < , ,n< ………………………………………… 17
2 6 3 2 3 3
.【解析】 PA→ PC→ AC→ PA→ PC→ PC→ PA→
19 (1)∵ + · = + · - =0,
PC→ 2 PA→ 2 PC→ PA→ . 分
∴ = , = …………………………………………………………………… 2
OB OC CM MA OM 1AB 分
∵| |=| |,| |=| |,∴ =2, ………………………………………………… 3
2
PB PC PB PA AB BC 分
| |+| |=| |+| |=| |=4>| |,…………………………………………………… 4
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5 6
{#{QQABCQQUoggAAJAAARgCAQGACgIQkBAACIoGgFAIIAIASRFABAA=}#}x2 y2
点P轨迹是以BC为焦点的椭圆 其方程为 . 分
∴ , , + =1 ………………………………………… 6
4 3
设Q y Gx y Hx y
(2) (1,0), (1,1), (2,2),
y y
由QGD 三点共线得 0 1 分
、 、 1 =x ,…………………………………………………………………… 7
3 1+2
y
由Q H D 三点共线得 y 2 分
、 、 2 - 0=x ,………………………………………………………………… 8
2-2
y y
3 1 2 即y x y x . 分
∴-x =x , 2(1+2)+3 1(2-2)=0 ………………………………………………… 9
1+2 2-2
设GH 的方程为ty x m
= + ,
代入E的方程中整理得 t2 y2 tmy m2
:(3 +4) -6 +3( -4)=0,
tm m2
y y 6 yy 3 -4
∴ 1+ 2=t2 ,1 2= t2 ,
3 +4 3 +4
m2
tyy -4y y . 分
2 1 2= m (1+ 2) ……………………………………………………………………………… 10
由y x y x 得y ty m y ty m
2(1+2)+3 1(2-2)=0 2( 1- +2)+3 1( 2- -2)=0,
tyy m y m y 分
4 1 2-( -2)2-3( +2)1=0,………………………………………………………………… 11
m2
2 -4 y y m y m y
∴ m (1+ 2)-( -2)2-3( +2)1=0,
m m y m y m . 分
( +4)[( -2)2-( +2)1]=0, =-4 ……………………………………………………… 12
由Δ 得t2 .
>0 >4
t2
GH t2 y y 2 yy t2 12 -4 分
∴| |= 1+ · 1+ 2 -4 1 2= 1+ · t2 ,………………………………… 13
3 +4
原点O到GH 的距离d 4 分
= t2 , …………………………………………………………………… 14
1+
t2 t2
S 1 GH d 24 -4 -4 1 24
∴ △ OGH= | |∙ = t2 =24∙ t2 =24∙ ≤ = 3, ……
2 3 +4 3 -4 +16 t2 16 83
3 -4+ t2
-4
分
………………………………………………………………………………………………………… 16
当且仅当
3
t2
-4= t
1
2
6
,
即t
=±
2
3
21时
,
S
△ OGH
取得最大值
3
.
…………………………… 17
分
-4
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6 6
{#{QQABCQQUoggAAJAAARgCAQGACgIQkBAACIoGgFAIIAIASRFABAA=}#}
