文档内容
高三数学考试参考答案
!!#!!解析"本题考查复数#考查数学运算的核心素养!
%!(&
因为$%"&’!(&!所以"’ ’%!%&!
%&
$!)!!解析"本题考查集合#考查数学运算的核心素养!
因为#"$中只有$个元素!则#"$’"*!!#!所以!#%$$!
+!,!!解析"本题考查统计#考查数据分析的核心素养!
由+*-"./’$$!.!可知样本的第".百分位数为第$+项数据!据此估计该学生最近+*天每
天走的步数数据的第".百分位数为!00$1!
0!#!!解析"本题考查函数的性质#考查逻辑推理的核心素养!
设&$’%’($’%%!!则&$’%(&$%’%’*!即($’%%!(($%’%%!’*!所以($!%(($%!%
’$!因为&$*%’($*%%!’*!所以($*%’!!($%!%(($*%(($!%’$(!’+!
.!)!!解析"本题考查概率#考查逻辑推理的核心素养!
#$#$ !
所求概率)’ $ $-$’ !
#0 +
0
1!,!!解析"本题考查双曲线#考查数学运算的核心素养!
解法一&不妨设&$%*!*%!&$*!*%!+$’!,%!且’%$!则&+&&$%&+&&$’$’(*%$(
! $ * * * ! $ *
,$%’$’%*%$(,$(’0*’%2*!所以2*’2槡1!解得*’槡1!-’槡$!故双曲线.的渐近线方
* * * *
槡$
程为,’3 ’!
$
解法二&&+&&$%&+&&$’$&+&&%&+&&%$&+&&(&+&&%’0$&+&&(&+&&%’
! $ ! $ ! $ ! $
0$0($&+&&%%0’0($$*%$%(’2*!所以2*’2槡1!解得*’槡1!-’槡$!故双曲线.的渐近
$
槡$
线方程为,’3 ’!
$
"!4!!解析"本题考查直线和圆的方程#考查直观想象及数学运 %
$
算的核心素养!
!
如图!在’/#.中!$0(/.!&$0&’ ! &/.&’ ! !567)/0$ #
$ $ ( ’ " &
&$0& ! !
’ ’ !567)./#’%567)/0$’% !&#.&’
&10& 0 0
槡1
槡&/.&$(&/#&$%$&/.&)&/#&)567)./#’槡1!所以&$.&’ !
$
2!4!!解析"本题考查平面向量#考查逻辑推理及数学运算的核心素养!
++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++*
)#))$’$)/(/#%)$)/(/$%’)/))/()/)/$(/#))/(/#)/$
! ! $ $ ! $ ! $ ! $ ! $
++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++*
’%!()/)$/$%/#%(/#)/$’%!!所以&/#)/$&’&)/)$/$%/#%&#
! $ ! ! $ ! $ ! $ !
++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++*
&/$%/#&!所以&/#)/$&$#&/$&$(&/#&$%$/#)/$!即&/#)/$&$(
$ ! ! $ $ ! ! $ ! $
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#"
{#{QQABSYSAggggQIBAARgCQQFgCgEQkBCACKoOwAAMMAAASBFABCA=}#}
书书书++* ++* ++* ++*
$/#)/$%$#*!解得%!%槡+#/#)/$#%!(槡+!
! $ ! $
++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++* ++*
&)#()$&$’&)/(/#()/(/$&$’&/#(/$&$’&/#&$(&/$&$($/#)
! ! $ $ ! $ ! $ !
++* ++* ++*
/$’$($/#)/$#$($-$%!(槡+%’$槡+!
$ ! $
8!#)4!!解析"本题考查三角函数#考查数学抽象的核心素养!
.! ! !
575 ’ ’%槡$!#正确!567!)7:5!’567!) ’!!)正确!
0 .! 567!
7&9
0
函数($’%’575’的定义域为"’&’,2!!2-!#!,错误!
! ! ! 0
7:5$!(7&9$!(575$!(567$!’!( ( ’!( ’!( %.!当7&9$!’
567$! 7&9$! 7&9$!567$! 7&9$$!
3!时!等号成立!4正确!
!*!#)4!!解析"本题考查立体几何初步#考查直观想象的核心素养!
因为平面#303&1.平面$.&1!平面#303&1"平面$.&1’1&!$1.1&!所以$1.平
面#303&1!所以$1.#303!#正确!
因为#31(03&!$1(.&!#31"$1’1!03&".&’&!所以平面#31$(平面03&.!)正确!
03& &.
因为 , !所以多面体#31$.03&不是三棱台!,错误!
#31 1$
延长#303!1&相交于点4$图略%!)#341为直线#303与平面$.&1所成的角!因为#31
03& 4& #31 !
(03&!所以 ’ !解得4&’!!41’+!;<9)#341’ ’!!则)#341’ !4
#31 4&(&1 41 0
正确!
!!!#,!!解析"本题考查基本初等函数#考查逻辑推理及直观想象的核心素养!
($’%’:&’(2&’/
0:’(2!’%%2!
5$’%’ ! :&’%2 $&’/
0!
$
:’%2 $!’% 2
$
!
1:%’%2!’$%2! $ ! :%’(2 $!’$ 2 !
1$ $
令:’(2% ! :’%2 $!解得2%% $=9$ ! ! !%&!$"
$ +
$=9$
当% #2$*时!作出函数($’%和5$’%的图象!如图!所示!
+
!"#!$"
此时!6$’%’5$’%!
’ $
$=9$
当2$% 时!作出函数6$’%的图象!如图$所示! 图!
+
2 ! !
($’% ’($%2%’!!5$’% ’5$ %’ !所以6$’%的
>&9 >&9 $ $
!%&!$" !"#!$"
!
最小值为 !#正确!
$
令:%’*%2’ !
$
:’*%2 $!解得’
*
’ !
$
$=9$% 2
$
%!:%’*%2’ " ) ’ $ ! () $
图$
!高三数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$% "!"#"
{#{QQABSYSAggggQIBAARgCQQFgCgEQkBCACKoOwAAMMAAASBFABCA=}#}:%! $ $=9$(+ $ 2%!若6$’%在’*!=9$(上单调递增!则’ * ’ ! $ $=9$% 2 $ %%=9$!解得2#%$=9$!
$=9$
因为当% #2$*时!6$’%在’*!(?%上单调递增!所以2的取值范围为$%?!
+
$=9$
%$=9$(2’% !*%!)错误!
+
2
若6$’%’7有+个不同的解’!’!’!则结合图象可得’(’(’’$- ($%$2%’%
! $ + ! $ + $ *
! +2 2
’% $=9$( %或’(’(’’$- %2’*!4错误!
$ $ ! $ + $
若6$’%’7有0个不同的解!则7-$!!:%!
$
$=9$(+
$
2%%!,正确!
!$!$!!解析"本题考查抛物线#考查数学运算及直观想象的核心素养!
由题意可得$%$%$’$8-!!解得8’$!则&$!!*%!直线)&与’轴垂直!#$!!$%!&#&&’$!
+槡+
!+! !!解析"本题考查正弦定理和余弦定理#考查数学运算的核心素养!
$
因为*$7&9#’17&9.!所以%*$’1*!即%*’1!因为$%(*%$’!2(-$!所以%$(*$%-$’!2%
%$(*$%-$ ! 槡+ ! +槡+
$%*’1!567$’ ’ !7&9$’ !故9 ’ %*7&9$’ !
$%* $ $ ’#$. $ $
!0!08!!解析"本题考查立体几何初步#考查直观想象的核心素养!
如图!将第!个实心球/ 靠近该圆柱形容器侧面放置!球/ 上的点到该圆
! !
柱形容器下底面的最大距离为$槡$!将第$个实心球/ 也靠近该圆柱形容
$
器侧面放置!过点/ 作/#垂直于该圆柱形容器的母线!垂足为#!过点
! !
/ 作/$垂直于该圆柱形容器下底面!垂足为$!设/#"/$’.!#.’
$ $ ! $
$.’槡$!./
!
’$!./
$
’槡/
!
/$
$
%./$
!
’$!
! !
球/
$
上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为$($槡$!
! #
同理可得球/ 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为0($槡$!
+
# !
由此规律可得!每多放一个球!最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的 " "
最大距离加$! $
因为02-$($槡$$!**$08-$($槡$!
所以该圆柱形容器内最多可以放入08个这种实心球!
!.!解&$!%当:’!时!%’9’!! ……………………………………………………………!分
! !
! !
当:%$时!%’9%9 ’ :$:(!%% :$:%!%’:! ………………………………+分
: : :%! $ $
当:’!时!也符合%’:!…………………………………………………………………0分
:
综上!%’:!………………………………………………………………………………….分
:
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$% "!"#"
{#{QQABSYSAggggQIBAARgCQQFgCgEQkBCACKoOwAAMMAAASBFABCA=}#}0!
$
!
%
!
%!:为奇数!
$$%-’/ $ : :($ …………………………………………………………"分
:
1$:!:为偶数!
则; ’$-(-(*(- %($-(-(*(- %………………………………………2分
$: ! + $:%! $ 0 $:
! ! ! ! ! ! ! !
’ ’$!% %($ % %($ % %(*($ % %(($$($0(*($$: …!*分
$ + + . . " $:%! $:(!
! ! 0$!%0:%
’ $!% %( ………………………………………………………………!$分
$ $:(! !%0
: 0:(!%0
’ ( ! ………………………………………………………………………!+分
$:(! +
!1!$!%证明&因为#$(1&!1&3平面).0!所以#$(平面).0!………………………!分
因为#$3平面#$.0!平面#$.0"平面).0’.0!所以#$(.0!………………$分
连接#.!因为)#.平面#$.0!所以)).#是).与平面#$.0的夹角!…………+分
)# $槡+ 槡+
则;<9)).#’ ’ ’ !解得#.’0!……………………………………………0分
#. #. $
因为#$’$!$.’$槡+!所以#$$($.$’#.$!所以#$.$.! ……………………….分
因为#$,.0!所以四边形#$.0是直角梯形!…………………………………………1分
$$%解&取.0的中点+!连接#+!以#为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系!
++* ++*
则)$*!*!$槡+%!0$$槡+!%$!*%!.$$槡+!$!*%!$$*!$!*%!#$’$*!$!*%!).’$$槡+!$!
++*
%$槡+%!)0’$$槡+!%$!%$槡+%!…………………………………………………………2分
++* ++* 0槡+ 0 $槡+ ++* 0槡+ !*$槡+
由)1’$10!得1$ !% ! %!则$1’$ !% ! %! ……………………8分
+ + + + + +
设平面).0的法向量为!’$’!,!"%!
++*
0!)).’$槡+’($,%$槡+"’*!
则/ 可取!’$!!*!!%!…………………………………!!分
++*
1!))0’$槡+’%$,%$槡+"’*!
同理可求得平面#$1的一个法向量为"’$!!*!%$%!…!$分 (
)
设二面角)<1&<$的平面角为"!
!)" 槡!* +槡!*
则&567"&’&567+!!",&’& &’ !7&9"’ !……
&!&&"& !* !* %
& ’
……………………………………………………………!0分
故二面角)<1&<$的正弦值为 +槡!* !……………………!.分 ! " $
!* #
$ . ! !
!"!解&$!%因为)$#&$%’ !)$$&#%’ !所以)$#&$%’ !)$$&#%’ !…………!分
+ 1 + 1
$ !
)$#&$%))$$%’)$$&#%))$#%!解得)$#%’ !所以)$#%’ !………………$分
+ +
!高三数学"参考答案!第!!!!0页#共"页$% "!"#"
{#{QQABSYSAggggQIBAARgCQQFgCgEQkBCACKoOwAAMMAAASBFABCA=}#}!
)$#%’)$$%))$#&$%()$$%))$#&$%!解得)$#&$%’ !………………………0分
1
$$%
期末统考中的数学成绩
个性化错题本 合计
及格 不及格
建立 $* 0 $0
未建立 0 2 !$
合计 $0 !$ +1
………………………………………………………………………………………………1分
零假设为= &学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关!
*
+1-$$*-2%0-0%$
根据列联表中的数据!经计算得到 # $’ $0-!$-!$-$0 ’84"!2"8’’ *!**. !……8分
根据小概率值!’*!**.的独立性检验!我们推断= 不成立!即认为学生期末统考中的数
*
学成绩与建立个性化错题本有关!此推断犯错误的概率不大于*!**.!………………!*分
2$%(-(*(>%$2%)2>%2-)2*%$ 2$%(-(*(>%$%>%-*%$
$+% #3$’
2$%(-%)2$*(>%)2$%(*%)2$-(>%
’
$%(-%$*(>%$%(*%$-(>%
!*!2$2
’82%!*!2$2!解得2% !…………………………………………………………!+分
8
要使新列联表中的数据都为整数!则需02-!!…………………………………………!0分
!*!2$2-0 .
又因为02% 50!2!所以02的最小值为.!故2的最小值是 !……………!.分
8 0
!2!$!%解&因为1$+!*%!所以0$%+!*%! ……………………………………………………!分
设$.与’轴的交点为&$%7!*%!由题意可得�&’$&1&&!即!+(+’$$7(+%!解得7
’.! …………………………………………………………………………………………+分
设$$%.!:%!因为&$1&’&!所以&$&&$(&1&&$’&$!
则$+(.%$(:$’$!+%+%$!解得:’1!
所以$$%.!1%! …………………………………………………………………………….分
$$%证明&因为0和1关于原点/对称!且#!0!1三点共线!所以#!0!1!/四点共线!即
点#!0!1!/都在’轴上!…………………………………………………………………1分
因为#0是’#$.的高!所以#0.$.!即$..’轴!
因为’#$.的外心为1!所以&$1&’&.1&!所以点$与点.关于’轴对称! ………"分
设$.与’轴的交点为&$%7!*%!$$%7!:%!.$%7!%:%!0$%?!*%!1$?!*%!
由题意可得�&’$&1&&!即!+(?’$$7(?%!化简得?’!+%$7! …………………8分
: : :
直线.0的斜率为 ’ !直线#$的斜率为% !
%?(7 +7%!+ !+(7
: :
所以 )$% %’%!!化简得:$’$+7%!+%$7(!+%"!…………………!!分
+7%!+ !+(7
!高三数学"参考答案!第!!!!.页#共"页$% "!"#"
{#{QQABSYSAggggQIBAARgCQQFgCgEQkBCACKoOwAAMMAAASBFABCA=}#}:
直线#$的方程为,’% $’%!+%!
!+(7
’$ ,$
椭圆;& ( ’!$%4-4*%与’#$.内切!所以%’7! ……………………………!$分
%$ -$
0 ,’% : $’%!+%!
!+(7
联立/
’$ ,$
( ’!!
17$ -$
得’-$$!+(7%$(7$:$(’$%$17$:$’(!187$:$%7$-$$!+(7%$’*! ………………!+分
$’$$17$:$%$%0’-$$!+(7%$(7$:$(’!187$:$%7$-$$!+(7%$(’*! ……………!0分
即!18:$$!+(7%$%-$$!+(7%0%7$:$$!+(7%$’*!
因为$!+(7%$,*!所以!18:$%-$$!+(7%$%7$:$’*!
即$!+(7%$!+%7%:$%-$$!+(7%$’*!即$!+%7%:$%-$$!+(7%’*!
结合"可得-$’$!+%7%$+7%!+%!……………………………………………………!1分
设椭圆;的焦距为$*!则*$’7$%-$’7$%$!+%7%$+7%!+%’$$7%!+%$’?$!
所以0!1为椭圆;的两个焦点!…………………………………………………………!"分
!8!解&$!%当%’*时!($’%’’567’!($*%’*!………………………………………………!分
(3$’%’567’%’7&9’!(3$*%’!!…………………………………………………………$分
故曲线,’($’%在点$*!($*%%处的切线方程为,’’! …………………………………0分
$$%因为($%’%’%($’%!所以($’%为奇函数!
又因为($*%’*!所以只需要讨论($’%在$*!!%上的零点! …………………………….分
(3$’%’$%(!%567’%’7&9’!(3$*%’%(!!
令函数5$’%’(3$’%’$%(!%567’%’7&9’!53$’%’%$%($%7&9’%’567’!………1分
"当%(!4*!即%4%!时!分段讨论&
!
当’-’ !!%时!(3$’%$*!
$
! ! !
当’-$*! %时!53$’%$*!所以5$’%在$*! %上单调递减!即(3$’%在$*! %上单调递减!
$ $ $
! ! !
因为(3$*%’%(!4*!(3$ %’% $*!所以存在’-$*! %!使得(3$’%’*!
$ $ * $ *
当’-$*!’%时!(3$’%4*!当’-$’!!%时!(3$’%$*!
* *
所以($’%在$*!’%上单调递增!在$’!!%上单调递减!
* *
因为($*%’*!($!%’%!$*!所以($’%在$*!!%上有!个零点!
($’%在$%!!!%上有+个零点!……………………………………………………………8分
#当%(!’*!即%’%!时!(3$’%’%’7&9’$*!($’%在$*!!%上单调递减!
所以($’%在$*!!%上没有零点!在$%!!!%上有!个零点!……………………………!*分
$当%($#*!即%#%$时!分段讨论&
!高三数学"参考答案!第!!!!1页#共"页$% "!"#"
{#{QQABSYSAggggQIBAARgCQQFgCgEQkBCACKoOwAAMMAAASBFABCA=}#}!
当’-$*! (时!(3$’%$*!
$
! ! !
当’-$ !!%时!53$’%4*!所以5$’%在$ !!%上单调递增!即(3$’%在$ !!%上单调递增!
$ $ $
! ! !
因为(3$ %’% $*!(3$!%’%$%(!%4*!所以存在’-$ !!%!使得(3$’%’*!
$ $ ! $ !
当’-$*!’%时!(3$’%$*!当’-$’!!%时!(3$’%4*!
! !
所以($’%在$*!’%上单调递减!在$’!!%上单调递增!
! !
因为($*%’*!($!%$*!
所以($’%在$*!!%上没有零点!在$%!!!%上有!个零点!……………………………!+分
0%(!$*!
%当/ 即%$$%$%!时!分段讨论&
1%($4*!
!
当’-$*! (时!(3$’%$*!
$
!
当’-$ !!%时!令函数6$’%’53$’%’%$%($%7&9’%’567’!
$
63$’%’%$%(+%567’(’7&9’4*!
! !
所以6$’%在$ !!%上单调递增!即53$’%在$ !!%上单调递增!
$ $
! !
因为53$ %’%$%($%$*!53$!%’!4*!所以存在’-$ !!%!使得53$’%’*!
$ $ $ $
!
所以5$’%在$ !’%上单调递减!在$’!!%上单调递增!
$ $ $
!
即(3$’%在$ !’%上单调递减!在$’!!%上单调递增!
$ $ $
! !
因为(3$ %’% $*!(3$!%’%$%(!%4*!所以存在’-$’!!%!使得5$’%’*!
$ $ + $ +
当’-$*!’%时!(3$’%$*!当’-$’!!%时!(3$’%4*!
+ +
所以($’%在$*!’%上单调递减!在$’!!%上单调递增!
+ +
因为($*%’*!($!%$*!
所以($’%在$*!!%上没有零点!在$%!!!%上有!个零点!
综上!当%4%!时!($’%在$%!!!%上有+个零点-
当%#%!时!($’%在$%!!!%上有!个零点!……………………………………………!"分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% "!"#"
{#{QQABSYSAggggQIBAARgCQQFgCgEQkBCACKoOwAAMMAAASBFABCA=}#}
