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昆明一中 2024 届高三第 9 次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C C B C
1．解析：因为 ，所以 ，选A．
2．解析：因为 ，所以 ，所以 ，选C．
3．解析：由题意可知，点 的坐标为 ，设点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，
又 为△ 的重心，则 ，即 ，所以由抛物线的定义可知
，选D．
4．解析：因为 ，所以 点到圆心的距离恒为 ，所以点 的轨迹方程是以 为圆心，
为半径的圆，即 ，选B．
5．解析：由题意可知， ，即 ，所以A 正确；乙组样本数据方差为 ，所以B 正
确；设甲组样本数据的中位数为 ，则乙组样本数据的中位数为 ，所以两组样本数据的样本中位
数 不 一 定 相 同 ， 故 C 错 误 ； 甲 组 数 据 的 极 差 为 ， 则 乙 组 数 据 的 极 差 为
，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确，选C.
6．解析：若存在 ，使得 ，等价于函数 在 不是单调函数，
，若函数 为单调递增函数，则 恒成立，即 ，
在 恒成立，则 ；同理，若函数 为单调递减函数，则 恒成
立，得 ，即若函数 在 不单调，则 ，选C．
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学科网（北京）股份有限公司7．解析：若函数 有“和谐区间”，所以 在 上单调递增，且 在定义域内
有两个不等的实数根， ，即 ，又 在区间 单调递减，在区间
单调递增，且 ，所以 ，又因为 与直线 在 有两个交点，
，所以 ，得 ，所以正整数 的最小值为 ， ，即 ， ，此时，
实数 的取值范围是 ，选B．
8．解析：设第 个正三角形的内切圆半径为 ，第 个正三角形的边长为 ，可知 ，又半径
为 的圆内接三角形的边长 满足 ，可得 ，即从第二个正三角形开始，每个
正三角形的边长是前一个的 ，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的 ，又
，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，则
，设前 个内切圆的面积和为 ，
则 ，选C．
二、多选题
题号 9 10 11
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学科网（北京）股份有限公司答案 BCD BD ABD
9．解析：如图，展开图翻折成的正方体，因为 ， ，因此
，所以A错误；同理 ， ，所以 ，B正
确； 或其补角是 与 所成的角，又△ 是等边三角形，所以
，所以 与 所成的角是 ， C正确．又 平面
，且 与 不平行，故 与 是异面直线，D正确.选BCD．
10．解析：因为直线 过定点 ，且点 在圆 内，所以直线 与圆
必相交，A错误；
若直线 将圆 的周长平分，则直线 过原点，此时直线 的斜率不存在，所以B正确；
当 时，直线 的方程为 ，圆心C到直线 的距离为 d，所以直线 被 截得的弦长为
，C错误；
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 被 截得的弦长为 ，D正确，选BD．
11．解析：对于A，因为点 关于直线 的对称点为 ，所以将军在河边饮马的地点
的坐标为 ，A错误；
对于B，因为点 关于直线 的对称点为 ，将军先去河流 饮马，再返回军营的最短路
程是 ，B错误；
对于C和D，因为点 关于直线 ， 的对称点分别为 ， ，所以将军
先去河流 饮马，再去河流 饮马，最后返回军营的最短路程 ，C正确；将军先去河流 饮马，
再去河流 饮马，最后返回军营的最短路程是 ，D错误．
选ABD．
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司12 ． 解 析 ： 由 题 意 ， ， ， 且 ， 则 ， ， 则
．
13．解析：由题意知双曲线的渐近线方程为 ，因为 分别为直线 与双曲线 的两条渐近
线的交点，所以不妨设 ，所以 ，因为
（当且仅当 时等号成立），所以 ，所以 的焦距的最小值为 ．
14．解析： 人乘坐的所有情况有 种，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有
种，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为 种.
四、解答题
15．解：（1）如图，取 中点O，连接 ， ，因为△ 是等边三角形，所以 ，
又 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，
又 ，所以 . ………5分
（2）在平面 中，作 ，垂足为D，
由（1）知 平面 ，所以 ，所以 平面 ，如图建立空间直角坐标系 ，
因为三棱柱 的体积为3，所以 ，故 ，
则 ， ， ， ，
z
C
1
所以 ， ，
A
1 B
1
设平面 的法向量为 ，
C
O
D
x A B y
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
故 ，化简得： ，即
可得 ，此时 ， ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
可得 ，此时， ， ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………13分
16．解：（1）由 得： ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 . ………5分
（2）在△ 中，由 得： ，由正弦定理 ，得: ，
解得： ，由 ，得 ， 所以 ，
因为在△ 中， ，所以
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 . ……… 10分
17．解：（1）依题意随机变量 服从超几何分布，且 .
所以 . ………5分
（2）当 时， ；
当 时， .
令 ，则
.
由 解得 .
所以 时， ；当 时， .
从而当 或 时， 最大，所以 的估计值为 或 . ………15分
18．解：(1)由题意知， ， ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 . ………5分
的坐标为 ，原点坐标为 ，因为 ， ，所以 ，因
（2）设
为 ， ，所以 为线段 的中点，所以在△ 中， 是中位线，所以点 的轨
迹 的方程 ………10分
（3）假设存在点 ，使得△ 的面积为 ，则 ，所以 ，
，所以 ，所以
因为
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ………17分
19．解：（1）当 时， ， 的定义域为 ，
，
当 时， ，当 时， ，
故 在 内单调递增，在 单调递减，
即 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； ……………7分
（2）证明：因为曲线 与直线 有且仅有两个交点，
所以方程 有且仅有两个不同的实数根，
即方程 ，即 有且仅有两个不同的实数根，
构造 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 内单调递增，在 单调递减，
所以 ，又 ，当 时，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，故 有且仅有两个不同的实数根的充要条件为 ，
即 ，故实数 的取值范围为 . ………17分
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