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昆明一中 2024 届高三第十次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C D B B A
1．解析：在两个变量 与 的回归模型中，它们的决定系数 越接近 ，模型拟合效果越好，在四个选
项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型 ，选A．
2．解析：由二项展开式，知其通项为 ，，令 ，解得 ，
所以 的系数为 ，选B．
3．解析：因为函数 是奇函数，所以 ，即 ，
，即 ，所以 ，选C．
4．解析：对于A，由 且 ，则 是平面 和平面 的公共点，又 ，由基本事实3可得
，故A正确；
对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又 ， 且 ， ，
，则 ，故B正确；
对于C，由于平面 和平面 位置不确定，则直线 与直线 位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重
合，故C错误；
对于D，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确.
选C．
5．解析： ，选
D．
6．解析：已知圆 的圆心为 ，半径 ，若直线 上存在两点 ， ，
使得 恒成立，则以 为直径的圆要内含或内切圆 ，点 到直线 的距离
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学科网（北京）股份有限公司，所以 长度的最小值为 ，选B．
7．解析：设 ，因为 ，所以 ,由椭圆的定义可得 ， ，
因为 ，所以 ，在 △ 中，有 ，解得 ，
在 △ 中，有 ，整理得 ，选B.
8．解析：先将卡片分为符合条件的三份，由题意知，三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，若
分得的卡片超过一张，则必须是连号.相当于将 ， ， ， ， ， 这六个数用两个隔板隔开，在五个
空位插上两个隔板，共 种情况，再对应到三个人有 种情况，则共有 种分法，选
A．
二、多选题
题号 9 10 11
答案 CD ACD AB
9．解析：由题意， ，可知A，B错误；C，D正确，选CD．
10．解析：对于A，因为 ，且 是 的一个复数根，
所以 ，A正确
对于 B，因为 ，即 ，所以 ，解得 ，所以
， ，B错误
对于C，因为 ，而 ，即 ， ，则复数 对应的点位于第二象限，
C正确；
对于D，因为 ， ，所以复数 （ ）在复平面内对应的点
的轨迹是半径为1的半圆，D正确
选ACD．
11．解析： 如图所示，令 ，则 ，若方程有
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学科网（北京）股份有限公司五个不相等的实数根，设 有两个零点分别为 ， ，则 ，即 得 ，则
，则实数 的取值范围是 ，选A B．
三、填空题
12．解析： ．
13．解析：设点 ，由已知得 ，整理得 ，所以点 的轨迹方程为
，（如果方程为 ，给3分）．
14．解析：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，由正弦定理得： ．
由余弦定理得： ，又由 得： ，
所以 （当且仅当 ，即△
为正三角形时，取“ ”），
因为 ，所以 的最大值为 ．
四、解答题
15．解：（1）记 “甲跑第一棒”为事件 ，“甲跑第二棒”为事件 ，“甲跑第三棒”为事件 ，
“甲跑第四棒”为事件 ，“运动队获胜”为事件 .
则
．
所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为 . ………7分
（2） ．
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学科网（北京）股份有限公司所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为 . ………13分
16．解：（1）如图2，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，
连接 ， ， ， ， ，则 ，
z
因为△ 是等边三角形，所以 ，
C B
A
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
O F
Q
所以 ，显然 ，所以四边形 是矩形， D E y
x
P
所以 ，
所以 ，则 ， ， ， 四点共面. ………7分
（2）由（1）同理知 平面 ，如图建立空间直角坐标系 ，
由题知 ， ， ， ，
所以 ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ， 设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
平面 与平面 夹角的正弦值为 . ………15分
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学科网（北京）股份有限公司17．解：（1） 的定义域为 ， ，
令 解得 ，又因为当 时， 为增函数，
故当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
故 ，故 ． …………7分
（2） ， ，则 ，
故当 时， ，则 在 单调递增；
当 时， ，则 在 单调递减；
故 ．
又因为 ，所以 （当且仅当 时，取“ ”）
所以 ． …………15分
18．解：（1）依题意可得： 表示所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数，
因为与 互质的数为 ，所以 ；
因为与 互质的数为 ， ，所以 ；
因为与 互质的数为 ， ，所以 . ………6分
（2）（i）因为 中与 互质的正整数只有奇数，所以 中与 互质的正整数个数为
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，所以 . ………10分
（ii）因为 ， ………15分
所以，
，
所以 . ………17分
19.解：由题意知，左焦点 ，设直线的方程为 ，设 ，
联立为 ，所以 ，
所以 ，
所以△ 的面积
, 当 且 仅 当
，即 当取等成立，所以△ 的面积最大值为 ………9分
(2) 设 则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
所以
，又 ………9分
所以
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学科网（北京）股份有限公司同理 ， ………10分
因为 三点共线，则 ，所以 ，
直线 的方程为 ，由对称性可知，直线 的定点在 轴上，所以令
得，
，所以直线 过定点 ………17分
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