文档内容
2023~2024 学年高三上学期期中联考
数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 （ ）
A.1 B.2 C. D.
3.下列说法不正确的是（ ）
A. ，使 成立
B.“ ，有 ”的否定为“ ，使 ”
C. ，有 成立
D.“ ，使 ”的否定为“ ，有 ”
4.如图，为了测量两山顶 间的距离，飞机沿水平方向在 两点进行测量， 在同一个铅垂
平面内.若请你设计一个测量方案，则需要测量的数据可以是（ ）
A.
学科网（北京）股份有限公司B.
C.
D.
5.已知函数 的导函数是 ，则函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.在 中， 与 交于点 ，且
，则 （ ）
A. B. C. D.1
7.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.函数 在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.该函数的解析式为
B.该函数图象的对称中心为
C.该函数的增区间是
D.把函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
10.十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“ ”“ ”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入
对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为 和 ，记两速度的算术平
均值为 ，全程的平均速度为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数 ，函数 ，则方程 解的个数可能是（
）
A.2 B.3 C.4 D.5
12.已知定义在 上的函数 可导，且 不恒为 为奇函数， 为偶函数，则（
）
A. 的周期为4
B. 的图象关于直线 对称
C.
学科网（北京）股份有限公司D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________.
14.已知 ，则 在 方向上投影向量的坐标为__________.
15.已知函数 ，则不等式 的解集为__________.
16.已知等腰直角三角形 的斜边 ，且 的内切圆圆心为 ，则其半径
__________；若点 在以 为圆心，1为半径的圆上，则 与 的面积之比的最大值为__________.
（第一个空2分，第二个空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖 （假设全部溶解），糖水变甜了.
（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
（2）在锐角 中，根据（1）中的结论，证明： .
18.（本小题满分12分）
已知向量 ，其中 ，且函数 的对称
轴间的距离最小值为 .
（1）求 的解析式；
（2）方程 在 上有且仅有两个不同的实数解，求实数 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的
主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测
试，已知国道限速 .经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量 单位： ）与速度 （单位：
学科网（北京）股份有限公司）的部分数据如下表所示：
0 10 40 60
0 825 2400 4200
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量 与速度 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①
；② ；③ .
（1）当 时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函
数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车在甲､乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲､乙两地间国道长度为 ，求
车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
20.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 有两个极值点 ，记过两点 的直线斜率为 ，是否存在 使
？若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.
21.（本小题满分12分）
在 中，内角 所对的边分别为 .现有如下两个条件：条件① ；条件
② .请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答.
你选择的条件是__________.
（1）求角 ；
（2）若 为 边上一点，且 .当 的面积取到最大值时，求角 .
注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.
22.（本小题满分12分）
已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 时， ；
（2）当 时，证明：不等式 对 恒成立.
2023~2024 学年高三上学期期中联考·数学
参考答案､提示及评分细则
1.D 【解析】由题意 ，所以 .故选D.
2.A 【解析】原式可化为 ，解得 ，则 .故选 .
3.B 【解析】对于 ，当 成立，是正确的；
对于 ，“ ，有 ”的否定为“ ，使 ”，不正确；
对于 ，有 成立，所以 是正确的；
对于D，“ ，使 ”的否定为“ ，有 ”，是正确的.故选B.
4.A 【解析】对于 选项，当测出 ，在 中，由正弦定理可
得， ；在 中，同理可得， ；再在
中，由 及余弦定理，即可求得 间的距离；
对于 选项， ，从而条件不足；
对于C选项，同上原因，故不选；
对于 选项， ，从而条件不足.故选 .
5.B 【解析】由题知 且不恒等于0，当 时， 的值由小变大，再由大变小，即函数
图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢，故选B.
6.B 【解析】由已知得： 为 的中点，
①
学科网（北京）股份有限公司②
由①､②解得 .故选B.
7.D 【解析】由题意可知 ，
因为函数 在 上单调递增，所以当 时， 恒
成立，即当 时， 恒成立，
因为对称轴为 ，当 时， ，
所以当 时， 不恒成立，不符题意；
当 时， ，当 时， 恒成立，
则 ，解得 .故选D.
8.D 【解析】令 ，显然 ，
令 ，令 ，则 ，
，
，即 ，综上， .故选D.
9.ACD 【解析】由题图可知， ，周期 ，所以 ，则
，
因为当 时， ，即 ，所以 ，即
学科网（北京）股份有限公司，又 ，故 ，从而 ，故A正确；
令 ，得 ，故B错误；
令 ，得 ，故C正确；
函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，可得到
，故D正确.故选ACD.
10.BCD 【解析】由题知 ，和不等式链 ，可知A不正
确，故选BCD.
11.ABC 【解析】因为 的导函数是 ，
所以 ，当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递递减，所以 有极小值 .另外，
有 有 且 ，故 简图
如图所示.
所以由图形变换可得 的简图如图
学科网（北京）股份有限公司令 ，则
令方程 有两个根分别是 和 则
且 ，所以 且 .当 时， ，
有四解；当 时， 有三解；当
时， 有两解；故选：ABC.
12.AC 【解析】 为奇函数，则 的图象关于 对称.又 为偶函数，则 的图
象关于直线 对称.所以
.则 的周期
为4，故A选项正确；
又 ，则 的图象关于 对称，故选项B错误；又
，所以 ，故选项C正确；
由以上可知， ，但是不知道 等于多少，函数 的周期为4，则
，故D错.综上选AC.
13. 【解析】由诱导公式， .
学科网（北京）股份有限公司14. 【解析】 .
15. 【解析】易知 是 上的奇函数，当 时， ，当 时， ，当
时， ，当 时， ；函数 是 上的奇函数，当 时，
，
当 时， .所以 是 上的偶函数，且当 时， ，当
时， ，当 时， ，当 时 .偶函数的性质可知，
当 时， ，当 时， ，当 时，
另外， ，得 ，得 ，得
；所以由 等价于 或 得 .故答案是：
【解析】由题意可知， 在 边的高线上，且 到 距离即内
切圆半径为 ，则 与 的面积之比即为 ，由于
与 均为锐角且互余，上式即为 .易知 最大当且仅当 在近 侧与
圆相切时，此时记切点为 ，则 ，所以
，即为所求最大值.
学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）若 ，则 .
证明： .
因为 ，所以 .又 ，故
因此 .
（2）在锐角三角形中 ，由（1）得 ，
同理 ，
.
以上式子相加得 .
18.解：（1）
由于函数 的对称轴间的距离最小值为 ，从而函数 的最小正周期为 ，所以
.
综上， .
.
学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递增，此时 .
当 时， 单调递减，此时
所以满足条件的 取值范围为 .
19.解：（1）由题意显然选择 ，
由表中数据，可得 解得 ，
.
（2）国道上行驶 ，所用时间为 ，
则所耗电量为 ，
当 时， ，
当这辆车在国道上的行驶速度为 时，该车从甲地行驶到乙地的总耗电量最少，最少为 .
20.解：（1）由题意得：函数的导函数 .
当 时， ，即是切点为 ，所以，曲线 在 处的切线方程是：
，即 ；
（2）不存在 的值
假设存在 的值，使得
易知： 是方程 的两不等实数解，即 且 .
学科网（北京）股份有限公司不妨令 ，则
因为 ，所以由 得： .
构造函数： ，而 恒成立.
所以 在 上单调递增，即 .
所以当 时， 恒成立即 无解.
所以不存在 的值，使得 .
21.解：（1）选条件①：由 ，及正弦定理，
.
又 为 内角，所以 ，从而 ，即
，
则 ，或 （舍去），从而 .
选条件②：由 ，及正弦定理，
.
又 为 内角，所以 ，
代入上式即得 ，而 ，
所以 ，从而 .
则 ，或 （舍去），因此， .
（2）解法一：
学科网（北京）股份有限公司由 为 边上一点，且 ，从而 ，即 .
平方，得 ，
即 ，
由基本不等式， ，等号当且仅当
时成立，此时 有最大值，从而 面积为 也有最大值.
当 时，由余弦定理，可得
由正弦定理， ，又 ，所以 .
解法二：记 ，则 ，分别在 和 中使用余弦定理，有
，
.
联立上述两式，消去 得，
又由（1）， ，所以在 中使用余弦定理，有 ，将此式代
入（*），
有 .
余下部分同解法一.
解法三：由题意，过点 作边 的平行线，与线段 的延长线交于点 （如图）
则易知 ，且相似比为2
所以 .
学科网（北京）股份有限公司由（1）， ，所以 ，从而在 中，由余弦定理，有
，化简即得： .
余下部分同解法一.
22.（1）证明：令
显然 对 恒成立，故 在 上单调递增，
从而 ，故 在 上单调递增，
从而 ，
即 时，恒有 成立.
（2）证明：对于 ，由（1）得① ，②
故对于 ，要证 ，
只要证
即证 ，当 时，显然成立；当 时，即证 ③.
令 ，则
时有 ，故 在 上单调递增，所以
学科网（北京）股份有限公司故 在 上单调递增，所以 ，即③成立.
综上所述：对于 恒成立.
学科网（北京）股份有限公司
