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毫州市普通高中 2024-2025 学年度第一学期高二期末质量检测
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.双曲线 的一条渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中的常数项为（ ）
A.-60 B.-20 C.20 D.60
3.若向量 ， ， 共面，则 （ ）
A.6 B. C.30 D.
4.已知抛物线C： 的焦点为F，点P在C上，若P到直线 的距离为5，则 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知直线 与 平行，则 （ ）
A.-1或3 B.0或3 C.0或-1 D.-1或0或3
6.某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5名同学从这7辆车中各选1辆骑行，同
品牌的车因编号不同也视作不同的车，若没有被选到的两辆车是同一公司的，则这 5名同学选择共享单车
的方法种数为（ ）
A.180 B.360 C.720 D.1080
7.已知点 ， 到直线 的距离分别为 和 ，若这样的直线 恰有两条，则a的取
值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8.已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P在C上且位于第一象限，直线 与 的
另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，P是 上的动点，则（ ）
A. B. 的最大值为4
C. 的最大值为3 D. 的最小值为
10.某手机专卖店新进A，B，C，D，E，F，G这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列
说法正确的是（ ）
A.若A，B，C必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种
B.若A，B，C彼此不相邻，D，E，F，G也彼此不相邻，则不同的摆法有72种
C.若A，B，C彼此不相邻，则不同的摆法有1440种
D.若A不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种
11.已知四棱柱 的底面是边长为 2 的菱形， 底面 ， ，
，点 满足 ，其中 ，则下列说法正确的是（ ）
A.若点P到点B， ，D， 的距离相等，则
B.若 ，则 长度的最小值为
C.若 ，则 长度的最大值为2
学科网（北京）股份有限公司D.若 ，则点P的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在空间直角坐标系中，点 到y轴的距离为_______.
13.已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线 与C交于A，B两点（B在x轴上方），
且 ，则直线 的斜率为_______.
14.若满足 能被 5 整除的 n 的最小值为 ，设 ，则方程
表示的不同直线的条数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知椭圆C： 经过点 ，且离心率为 .
（I）求C的方程；
（Ⅱ）若直线 与C交于点A，B，求 .
16.（15分）
已知直线 ： 和圆 ： .
（I）若直线 与 垂直，且经过圆 的圆心 ，求 的方程；
（Ⅱ）若P是直线 上的动点，过P作圆 的一条切线，切点为M，求 的最小值.
17.（15分）
如图，在四棱锥 中， ， ， 两两垂直， ， ， .
（I）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅱ）若平面 平面 ，求 .
学科网（北京）股份有限公司18.（17分）
设 .
（I）求 ；
（Ⅱ）若 是 中唯一的最大值，求 的所有可能取值；
（Ⅲ）若 ，求 .
19.（17分）
如图，过双曲线E： 的右焦点F且垂直于x轴的直线 与E交于A，B两点，线段
是E的虚轴，四边形 是面积为 的矩形.
（I）求 的方程；
（ Ⅱ ） 设 P 是 上 任 意 一 点 ， 直 线 与 交 于 点 G ， 直 线 PD 与 交 于 点 H ， 证 明 ：
；
（Ⅲ）过 的左焦点的直线与E交于M，N两点，以 为直径的圆被直线 截得的劣弧为 ，若直
线 变化时，劣弧 所对的圆心角大小为定值，求 的值.
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数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案A
命题透析 本题考查双曲线的几何性质.
解析 在双曲线方程 中， ， ，其一条渐近线的方程为 ，即
.
2.答案D
命题透析 本题考查二项式定理的应用.
解析 的展开式中的常数项为 .
3.答案B
命题透析 本题考查空间向量的线性运算.
解析 因为 ， ， 共面，所以存在实数 ， ，使得 ，所以 解得 所
以
4.答案A
命题透析 本题考查抛物线的几何性质.
解析 由题意知C的准线为 ，因为P到直线 的距离为5，所以P到直线 的距离为3，
即 .
5.答案B
命题透析 本题考查两直线平行
解析 由题意知 ，∴ 或 或 ，当 时，两直线重合，不符合题意
舍去，∴ 或 符合题意.
6.答案D
命题透析 本题考查分类和分步计数原理的应用
解析 若没有被选到的两辆车是同一公司的，则 A公司的选1辆或全选，所以这5名同学选择共享单车的
学科网（北京）股份有限公司方法种数为 .
7.答案C
命题透析 本题考查圆与圆的位置关系.
解析 恰好存在两条直线 ，使得点A，B到 的距离分别为 和 ，以A为圆心， 为半径作圆，
以B为圆心， 为半径作圆，则两圆有两条公切线，即两个圆相交，所以 ，因为
，所以 ，解得 或 .
8.答案C
命题透析 本题考查椭圆的性质与基本不等式的应用.
解析 由题意知 ， .
设点P的坐标为 ，
则直线 的方程为： ，
与椭圆方程联立，消去 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
同理可得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最大值为 .
学科网（北京）股份有限公司二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分.
9.答案BC
命题透析 本题考查椭圆的几何性质.
解析 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故B正确；
由题意可得 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，故C正确；
，故D错误.
10.答案ACD
命题透析 本题考查分步乘法计数原理的应用.
解析 对于A项，A，B，C的摆法有 种，D，E，F，G的摆法有 种，所以不同的摆法有
6×24=144种，故A项正确；
对于B项，采用插空法，先将D，E，F，G进行全排列，再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的3个空
中，所以不同的摆法有 种，故B项错误；
对于C项，先将D，E，F，G进行全排列，再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的5个空中，所以不同
的摆法有 种，故C项正确；
对于D项，先将A摆在前五的某一个位置，再将剩下6个进行全排列，所以不同的摆法有 种，
故D项正确.
11.答案ABD
命题透析 本题考查空间向量在立体几何中的应用.
解析 对于A，若点P到点B， ，D， 的距离相等，
学科网（北京）股份有限公司则点P在经过对角面 的中心，且垂直于平面 的直线上，
分别取 ， 的中点 ， ，
连接 ，如图（1），则点P在线段 上，则 ， ，
所以 ，故A正确；
图（1）
对于B，若 ，则点 在 上及其内部，
如图（2），
图（2）
则 长度的最小值为点 到平面 的距离，
设 为 与 的交点，则所求距离转化为点 到直线 的距离，
易知 为等腰直角三角形，所以 ，故B正确；
对于C，若 ，则点P在 上及其内部，
如图（3），
学科网（北京）股份有限公司图（3）
则 长度的最大值为 ， ， 中的一个，计算可得 ， ，
所以 长度的最大值为 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
则点 在平面 内，且在以 为圆心，半径为1的圆弧上,这段圆弧的长度为 ，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案
命题透析 本题考查空间中的点到坐标轴的距离.
解析 因为 ，所以点A到y轴的距离为 .
13.答案
命题透析 本题考查抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系.
解析 过A，B分别作准线 的垂线，垂足分别为D，E，
过A作直线 的垂线，垂足为 ，
依题知 ， ，
∵ ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
故 的斜率为 .
14.答案13
命题透析 本题考查二项式定理以及分类加法计数原理的应用.
解析 ，
当 时， 都不能被 5 整除， 能被 5 整除，所以 n 的最小值为 4，所以
.
当 ， 时，方程 表示直线 ；
当 ， 时，方程 表示直线 ；
当 且 时，方程 表示直线 ；
当 且 时，方程 表示的直线条数为
（注意方程 与 表示同一条直线，方程 与 表示同一条直线）.
综上可得方程 表示的不同直线的条数为13.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题透析 本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系.
解析 （I）由 经过点 ，且离心率为 ，
得
解得 ， ，
故C的方程为 .
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）设 ， .
由 得 ，
，
所以 ， ，
所以
.
16.命题透析 本题考查直线与圆的位置关系.
解析 （I）因为直线 与m： 垂直，故设 ： .
圆C的方程可化为 ，圆心为 ，
因为 经过圆心，所以 ，解得 ，
故 的方程为 .
（Ⅱ）设 ，由（I）可知圆C的半径 ，
则 ，
，
当且仅当 时取等号.
所以 的最小值为 .
17.命题透析 本题考查利用空间向量解决立体几何中的问题.
解析 以A为原点，直线 ， ， 分别为x轴、y轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
学科网（北京）股份有限公司（I）由已知得 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 即
取 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
（Ⅱ）设 ，则 ，所以 ， .
设 的法向量为 ，则 即
取 .
由（Ⅰ）知平面 的一个法向量为 ，
因为平面 平面 ，所以 ，
解得 ，即 .
18.命题透析 本题考查二项式定理的应用.
解析 （I）由 ，
令 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 ，
所以 .
（Ⅱ）由题意知 的展开式的通项为 ，
所以 ， .
因为 是 中唯一的最大值，所以根据二项式系数的性质.
可得 ，即
解得 ，
则 的所有可能取值为20，21，22.
（Ⅲ）
所以 ， ，
则 .
因为 ，
所以 .
19.命题透析 本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系.
解析 （I）设 ，由题意知 ， .
将 代入E的方程，得 ，则 ， .
因为四边形 是面积为 的矩形，
学科网（北京）股份有限公司所以 解得 ，
所以 的方程为 .
（Ⅱ）设 ，由（I）知 ， ， ， .
直线 ： ，令 ，得 ，
所以 .
直线 ： ，令 ，得 ，
所以 .
由点P在E上，可得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司（Ⅲ）由（I）知E的左焦点的坐标为（-2，0）.
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
由 得 ，
由 且 ，得 .
设 ， ，则 ， .
以 为直径的圆的圆心到直线 的距离 .
半径 .
若劣弧 所对的圆心角 为定值，则 为定值，
只需令 ，即 ，可得 ，为定值.
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，
以 为直径的圆的圆心到直线 的距离 ，
半径 ，此时同样有 .
综上， .
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