文档内容
乌鲁木齐地区 2024 年高三年级第一次质量监测
数学（问卷）
（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位量上．
2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．若复数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．3 B．2或 C．3或 D．2
5． 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30
6．设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与 交于A，B两点，以 为
直径的圆与准线 切于点 ，则 的方程为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．在 中， ， ， ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在满足 ， 的实数对 中，使得 成立的
正整数 的最大位为（ ）
A．15 B．16 C．22 D．23
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 在 上有4个零点
C．
D．将 的图祭向右平移 个单位，可得 的图急
10．若函数 的定义域为 ，且 ， ，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． 的图象关于点 对称 D．
11．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，
学科网（北京）股份有限公司则（ ）
A．该几何体的顶点数为12
B．该几何体的棱数为24
C．该几何体的表面积为
D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知集合 ， ，则 的子集个数为
_________；
13．在工业生产中轴承的直径服从 ，购买者要求直径为 ，不在这个范围的将被拒绝，
要使拒绝的概率控制在 之内，则 至少为_________；（若 ，则
）
14．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A是右支上一点，满足 ，
直线 交双曲线于另一点 ，且 ，则双曲线离心率的一个值为_________．
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
15．（13分）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ．
（I）求 的通项公式；
（II）设 ，求 的前 项和 ．
16．（15分）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力 为正常视
力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成结进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率
分布直方图：
学科网（北京）股份有限公司（I）能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关？（不需说明理由）
（II）估计该地区近视学生学习成缆的第85百分位数；（精确到0.1）
（III）已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩 分为优秀），从该地区学生中
任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ，点
E，F分别是棱 ， 的中点．
（I）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（II）在截面 内是否存在点 ．使 平面 ，并说明理由．
18．（17分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，过点 的两条直
线 ， 分别与椭圆 交于另一点A，B，且直线 ， ， 的斜率满足 ．
（I）求椭圆 的方程；
（II）证明直线 过定点；
（III）椭圆C的焦点分别为 ， ，求凸四边形 面积的取值范围．
19．（17分）已知函数 ．
（I）证明曲线 在 处的切线过原点；
（II）讨论 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司（III）若 ，求实数 的取值范围．
乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测
数学（答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
1~4ACDC 5~8ABBD
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．ABC 10．BCD 11．ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．4 13．0.1 14． 或5
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
15．（13分）（I）由题设得 ，故 ，
因为数列 为等比数列，所以数列 ，所以 ；
（II）由（I）得 ，
所以 ．
16．（15分）（I）不能据此判断；
（II）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为 ，因此第85百分
位数一定位于 内，由 ，可以估计该地区近视学生的学习成绩
的第85百分位数约为95．8；
（III）设 “该地区近视学生”， “该地区优秀学生”，
由题设得 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
17．（15分）（I）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，可取 ，
因为 ，所以 与平面 所成角的正弦值为 ；
（II）假设截面 内存在点 满足条件，设 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 平面 ，所以 ，所以 ，解得 ，
这与假设矛盾矛盾，所以不存在点 ，使 平面 ．
18．（17分）（I）由题设得 ，解得 ，所以 的方程为 ；
（II）由题意可设 ，设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，整理得 ，
．
由韦达定理得 ， ，
由 得 ，即 ，
整理得 ，因为 ，得 ，解得 或 ，
时，直线 过定点 舍去；
时，满足 ，所以直线 过定点 ．
（III）由（II）得直线 ，所以 ，
由 ，整理得 ， ，
由题意得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，令 ， ，
所以 ，在 上单调递减，
所以 的范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）（I）由题设得 ，所以 ，
又因为 ，所以切点为 ，斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ，恒过原点．
（II）由（I）得 ，
① 时， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减；
② 时， ， 时， ， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增；
③ 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（III）当 时， ，即 ，
下面证明当 时， ， ，即证 ，
令 ，因为 ，所以 ，只需证 ，
即证 ，令 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，令 ， ，
令 ， ， 与 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， ，
令 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ， ，所以 在 上单调递减，
， ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，综上所述 ．
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．
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