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2024 届高中毕业生星云二月线上调研考试
数学试题参考答案
命题人:星云数学命题组(浮云 星空)Fiddie Fara
审题人:Fiddie Rara 涛哥 陈明 徐老师 KramL
排版、制作: KramL
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
1.A 2.B 3.D 4.A
5.C 6.D 7.B 8.A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.ACD 10.BCD 11.ABD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
1 4 27 1
12.4 13.[ ,0] 14. (3 4 )
e 3
四、解答题:共77分。
15.解:
(1)取AB的中点O.因为PAPB,所以PO AB.
因为平面PAB平面ABCD,且平面PAB z
P
平面ABCD AB,所以PO平面ABCD.
因为BD平面ABCD,所以POBD.
B
BO AD
因为tanBCO tanABD, O
BC AB C
所以BCOABD,因此COBD. A
x
y
D
因为POCOO,所以BD平面POC .
又因为PC平面POC ,所以PC BD .
数学试题参考答案 第1页(共5页)
(2)以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角Oxyz.
由题设得A(1,0,0),P(0,0,1),D(1, 2,0),C(1, 2,0),
PA(1,0,1),AD(0, 2,0),PC (1, 2,1).
设n(x,y,z)是平面PAD的法向量,则
nAD0, 2y0,
即 可取n(1,0,1).
nAD0, xz0,
nPC 2
所以cosn,PC .
|n||PC| 2
2
因此PC与平面PAD所成角的正弦值为 .
2
16.解:
(1)由题设得P(1,0),F(1,0).
若l与y轴垂直,此时l:y0与C只有一个交点(0,0).
y2 4x,
若l与y轴不垂直,设l:xmy1.由 得y2 4my40.
xmy1
因为l与C有且仅有一个公共点,所以16m2160,故m1.此时l的方程
为x y1或xy1.
综上,l的方程为y0,x y10或x y10.
y2 y2
(2)由(1)得16m2160,即m2 1.设A( 1 ,y ),B( 2 ,y ),则
4 1 4 2
y y 4m,y y 4.
1 2 1 2
y2 y2
因为FAFB4,所以( 1 1)( 2 1) y y 4 ,整理可得
4 4 1 2
(y y )2 (y y )2 3y y
1 2 1 2 1 2 14,
16 4 2
代入可得m2 3.所以△FAB的面积
1 1
S |PF ||y y | 2 (y y )24y y 16m2164 2 .
△FAB 2 1 2 2 1 2 1 2
数学试题参考答案 第2页(共5页)17.解:
S S S
(1)由题设得a S S 2S 8,即 3 2 2 .因此{ n}的公比为2,于是
3 3 2 2 3 2 n
S S
n 12n1,即S n2n1S .
n 1 n 1
S
又因为S 4,所以S 2 1,即S n2n1.
2 1 4 n
当n1时,a S 1.
1 1
当n≥2时,a S S n2n1(n1)2n2(n1)2n2 .
n n n1
所以a (n1)2n2 (nN).
n
又因为S 322 12,T b b b b 1,所以S T 13b 15,因此
3 3 1 2 3 1 3 3 1
b 2,b 1.
1 2
因为1b b b b ,所以b b .
n n1 n1 n2 n n2
2,n为奇数,
因此{a }的通项公式为a (n1)2n2,{b }的通项公式为b
n n n n 1, n为偶数.
(2)设c a b a b ,由(1)得
n 2n1 2n1 2n 2n
c a b a b 4n22n3(2n1)22n2 4n1,
n 2n1 2n1 2n 2n
所以{a b }的前2n项和
n n
2n n n n 4n 1
a b (a b a b )c 4k1 .
k k 2k1 2k1 2k 2k k 3
k1 k1 k1 k1
18.解:
(1)由题设得P(38 X 42)0.6827,P(36 X 44)0.9545,所以
F(44)F(38)P(X ≤44)P(X ≤38)
P(40≤X ≤44)P(38≤X ≤40)
1
(0.68270.9545)0.8186.
2
(2)(ⅰ)由题设得
P[(T t )(T t )] P(T t )
P(T t t )P(T t |T t ) 1 2 1
1 2 1 2 P(T t ) P(T t )
2 2
1P(T≤t ) 1G(t ) 4t1
P(T t t )P(T t |T t ) 1 1 4t2 t1 ,
1 2 1 2 1P(T≤t ) 1G(t ) 4t2
2 2
P(T t |T t )P(T t t )1P(T ≤t t ) 1G(t t )4t2 t1 ,P(T t t )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
所以P(T t |T t )P(T t t ) .
1 2 1 2
数学试题参考答案 第3页(共5页)(ⅱ)由(ⅰ)得
1
P(T n1|T n)P(T 1)1P(T ≤1)1G(1) ,
4
1
所以第n1天元件B,C正常工作的概率均为 .
4
为使第n1天系统仍正常工作,元件B,C必须至少有一个正常工作,因此所求概
1 7
率为1(1 )2 .
4 16
19.解:
(1) f(x)2(xa)ex (xa)2ex (xa2)(xa)ex .
令 f(x)0得xa2或xa.
当x(,a2)(a,)时,f(x)0;当x(a2,a)时,f(x)0.所以 f(x)在
(,a2),(a,)单调递增,在(a2,a)单调递减.
(2)由(1)得x a2,x a.
1 2
f(a) f(a2)
(ⅰ)直线AB的方程为y f(a) (xa) ,即y2ea2(xa).
a(a2)
y f(x),
由 得(xa)[(xa)ex2ea2]0.
y2ea2(xa)
设g(x)(xa)ex 2ea2,则g(x)ex (xa)ex (xa1)ex .
令g(x)0得xa1.
当x(,a1)时,g(x)0;当x(a1,)时,g(x)0.所以 f(x)在(,a1)
单调递减,在(a1,)单调递增.
因为g(a2)0,g(a1)(2e)ea20,g(a)2ea2 0,所以g(x)有且仅有2
个零点a2,x ,其中x (a1,a).
0 0
这表明方程(xa)[(xa)ex2ea2]0 的解集为{a2,x ,a},即直线 AB 与曲线
0
y f(x)交于另一点C,且C的横坐标为x .
0
(ⅱ)由(ⅰ)得(ax )ex0 2ea2,即ln(ax )(ax )ln22 .
0 0 0
a(a2) 2
假设存在常数(n,n1)(nN),使得|AB||BC|,则 ,
ax ax
0 0
2 2
所以x a ,代入可得ln 20.
0
数学试题参考答案 第4页(共5页)2 x2
设h(x)lnx 2,则h(x) .令h(x)0得x2.
x x2
当x(1,2)时,h(x)0;当x(2,)时,h(x)0.所以h(x)在(1,2)单调递减,
在(2,)单调递增.
3 8
因为h(1)0,h(4)2ln2 20.71.50,h(5)ln5 1.61.60 ,所以
2 5
存在唯一的(4,5),使得h()0.此时
g(x )(x a)ex0 2ea2
2
e
a
2
2ea2
0 0
2 2
ea( eln22e2)ea2( 2)0.
因此,存在常数(n,n1)(nN),使得|AB||BC|,且n4.
数学试题参考答案 第5页(共5页)