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上饶市2024 届高三二模数学参考答案
1. A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D
9. AC 10.BCD 11.ABD.
12. 13.
14.
8.解设双曲线C 的左焦点为
1F ，如图，取线段MN 的中点H ，连接
2
HF ，则
2
2
2
2
F M
F N
F H
．因为
2
2
0
MN
F M
F N
，
所以
2
0
MN F H
，即
2
MN
F H
，则
2
2
MF
NF
．设
2
2
MF
NF
m
．因为
2
1
1
2
2
MF
MF
NF
NF
a
，所以
1
2
2
1
1
1
4
NF
NF
MF
MF
NF
MF
MN
a
，则
2
MH
NH
a
，从而
1
HF
m
，故
2
2
2
2
2
4
4
HF
c
m
m
a
，解得
2
2
2
2
2
m
a
c
．因为直线l 的斜率为1
3 ，所以
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
tan
3
2
2
HF
c
a
HF F
HF
a
c
，整理得
2
2
2
2
1
9
c
a
a
c
，即
2
2
5
4
a
c
e
5
2 ，
11.解: 如图，对于A，因为
,
AD
SD AD
DC
，又
,
,
SD
DC
D SD DC
面SDC ， 所以AD 面SDC ，
SDC
BC
平面
又因为
120 ,
2
SDC
SD
CD
,
SBC
A
ABC
S
V
V
,得点A 到平面SBC 的距离为1.A 正确。
对于B，因为SP
PB
，所以点P 为棱SB 的中点，
取SC 中点为Q，连接
,
PQ DQ ，可得平面APQD 即平面截此四棱锥所得截面，
且由于Q是SC 的中点，点P 为棱SB 的中点，
所以在
SBC
△
中，PQ是
SBC
△
的中位线，则
1
2
1
BC
PQ
，
/ /
PQ
BC ，
又因为四边形ABCD是正方形，则
/ /
BC
AD ，所以
/
PQ AD ，
因为AD 面SDC ， AD 面SDC ，QC 面SDC ，
所以四边形APQD 是以AD 为下底、PQ为上底，DQ 为高的直角梯形，
因为
2
SD
CD
，在等腰三角形SCD 中，QD
BC
，且QD 平分
ADC
，
则
1
1
cos
2
1
2
2
QD
CD
SDC
，
则平面截此四棱锥所得截面的面积为
2
3
1
)
2
1(
2
1
，故B 正确；
对于C，又因为
120 ,
2
SDC
SD
CD
，所以
2cos30
2cos30
2 3
SC
，
所以
2 3
2
4
sin
3
2
SC
r
SDC
，即
2
r ，其中r 为SCD
外接圆半径，
因为AD 面SDC ，所以四棱锥S
ABCD
外接球的半径为
5
)
2
2
(
2
2
2
R
，
所以四棱锥S
ABCD
外接球的表面积为
20 ，故C 不正确；
对于D，建立直角坐标系，当P 为靠近S 的三等分点时，线面角有最大值
7
7
2
故选：ABD.
14：解：
x
x
x
x
x
e
x
x
e
e
x
x
x
e
x
x
a
ln
ln
)1
(ln
2
)1
(ln
2
)1
(ln
2
3
1
6
0，
2
3
3
令
R
x
x
t
ln
，
te
t
t
g
)1
(
2
)
(
，
te
t
t
g
2
)
('
当
0
)
('
0
,0
)
('
0
t
g
t
t
g
t
时，
时，
所以
)
(t
g
最大值为
2
)
0
(
g
，
2
a
，得
2
m
由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,
所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.
由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.
令f'(x)=0,可得cos x=或cos x=-1,x∈[0,2π)时,解得x=或x=或x=π.
因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=,x=,x=π或x=0 时取到,且f=,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为
.
15.解：（1）有
以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”（2）见解析
【解析】（1）根据题中所给数据可得到如下
列联表：
甲基地
乙基地
优质果
250
230
非优质
果
50
70
，
…………4 分
因此，有
以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”。
…………5 分
（2）由题意得甲种植基地优质果中特级果的概率
，
…………6 分
的所有可能取值为0，1，2，3，
.
，
…………7 分
，
…………8 分
，
…………9 分
…………10 分
∴
的分布列如下：
0
1
2
3
…………11 分
，
…………13 分
16.解：（1）由函数
2
1
2ln
2
f x
x
ax
x
b
，
0
x ，
2
f
x
x
a
x
， …………2 分
所以可得
2
2
2
2
2
f
a
， …………4 分
解得
1
a . …………6 分
2
3
3
95%
2
2
2
2
600
250 70
230 50
4.167
3.841
300 300 480 120
K
95%
150
3
100 150
5
P
Y
5
~
3
3,
Y
B
0
3
3
0
3
2
8
5
5
12
0
C
)
5
(
P Y
1
2
3
1
3
2
36
5
5
125
1
C
( )
P Y
2
1
3
2
3
2
54
5
5
125
2
C
( )
P Y
3
0
3
3
3
2
27
5
5
125
3
C
( )
P Y
Y
Y
P
8
125
36
125
54
125
27
125
3
9
8
36
54
27
225
9
3
0
1
2
3
5
5
125
125
125
125
125
5
E
E
Y
Y
或
（2）若函数
f x 在
1,e 上无零点，即
2
1
2ln
0
2 x
x
x
b
在
1,e 上无解，
即
2
1
2ln
2
b
x
x
x
在
1,e 上无解， …………8 分
令
2
1
2ln
2
g x
x
x
x
，
1,
x
e
，
2
2
1
2
2
1
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
，在
1,e 上
0
g
x
， …………10 分
所以
g x 在
1,e 上单调递增，
所以
1
g
g x
g e
， 即
2
3
2
2
2
e
g x
e
，
若
2
1
2ln
2
b
x
x
x
在
1,e 上无解， 则
3
2
b
或
2
2
2
e
b
e
，
即
3
2
b 或
2
2
2
e
b
e
.
所以b 的取值范围为
2
3
,2
,
2
2
e
e
…………15 分
17.解：（1）连接
.
/ /
又
,
/ /
…………6 分
（2）取
，四边形
1
1
1
1
,
ACC A BCC B 均为正方形，所以
1
1
,
CC
AC CC
BC
.
所以
1
CC 平面ABC .
因为DE / /
1
CC ，所以DE 平面ABC .
从而
,
DE
DB DE
DC
.又AB
AC
，
所以ABC
为等边三角形.
因为D是棱AB 的中点，所以CD
DB
.
即
,
,
DB DC DE 两两垂直. …………9 分
以D为原点，
,
,
DB DC DE 所在直线为, ,
x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D
xyz
.
设
2 3
AB
，则
1
1
0,0,0 ,
0,0,2 3 ,
0,3,0 ,
0,3,2 3 ,
3,0,2 3
D
E
C
C
A
，
所以
1
0,3,0 ,
3,0,2 3
DC
DA
.
设
, ,
n
x y z
为平面
1A DC 的法向量，
则
1
0
0
n DC
n DA
，即
3
0
3
2 3
0
y
x
z
，可取
2,0,1
n
.
因为
1
1
3
C E
C N
，所以
0,2,2 3 ,
0,2,2 3
N
DN
. …………12 分
设直线DN 与平面
1A DC 所成角为，
则
|
|
2 3
15
sin
| cos
,
|
10
|
| |
|
5
4
n DN
n DN
n
DN
，
即直线DN 与平面
1A DC 所成角正弦值为
15
10 . …………15 分
18.解：（1）抛物线经过点
(1,2)
P
，所以有4
2p
，解得
2
p ，
所以抛物线的方程为
2
4
y
x
，
………3 分
抛物线
2
C 的焦点为
(1,0)
F
，故
2
2
1
a
b
，
又因为椭圆离心率为1
2 ，即1
1
2
a
，解得
2,
3
a
b
，
DM
M
C
A
AC
，连接
于
交
1
1
中点，
分别为
1
,
,
AC
AB
M
D
DM
1
BC
DC
A
BC
1
1
平面
,
1DC
A
DE
平面
1
BC
DC
A1
平面
E
B
A
中点
1
1
所以椭圆
1
C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
；
………6 分
（2）因为ABP
的内切圆圆心始终在直线PF 上，即PF 平分
APB
，
设直线PA ，PB 的斜率分别为
1k ，
2k ，
因为PF 垂直于x 轴，故
1
2
0
k
k
，
………8 分
设
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
，则
1
2
1
2
2
2
0
1
1
y
y
x
x
，
因为
2
2
1
1
2
2
4 ,
4
y
x y
x
，所以
1
2
4
4
0
2
2
y
y
，即
1
2
4
y
y
，
所以
1
2
1
2
1
2
4
1
AB
y
y
k
x
x
y
y
，即
1
t ，
将直线x
y
m
与
2
4
y
x
联立，可得
2
4
4
0
y
y
m
，
由题意可知△
16(1
)
0
m
，故
1
m ，
将直线x
y
m
与椭圆
2
2
1
4
3
x
y
联立，可得
2
2
7
6
3
12
0
y
my
m
，
由题意可知△
2
48(7
)
0
m
，故
7
7
m
，
故1
7
m
，
………12 分
设
)
,
(
),
,
(
4
4
3
3
y
x
D
y
x
C
，则
2
3
4
3
4
6
3
12
,
7
7
m
m
y
y
y y
，
则
2
4
3
2
4
3
2
7
7
6
4
4
)
(
1
m
y
y
y
y
t
CD
，
坐标原点O 到直线l 的距离
|
|
2
m
d
，
故OCD
的面积为
2
2
4
2
2
1
2 3 7
|
|
2 3
2 3
7
49
|
|
7
(
)
2
7
7
7
2
4
m
m
S
CD d
m
m
m
，
因为1
7
m
，所以
7
0
2
m
，
………15 分
故当
时，OCD
面积的最大值为
．
………17 分
19.解：（1）依题意，6 次变换后得到的数列依次为
3,2,1；1,1,2；0,1,1；1,0,1；1,1,0 ；0,1,1
所以，数列
: 2,5,3
A
经过6 次“ F 变换”后得到的数列为0,1,1。
………4 分
（2）数列A经过不断的“ F 变换”不可能结束
设数列
1
:
D d ，
2
d ，
3
d ，
1
:
E e ，
2e ，
3e ，
:0,0,0
O
，且
(
)
,
( )
F D
E F E
O
依题意
1
2
|
| 0
e
e
，
2
3
|
| 0
e
e
，
3
1
|
| 0
e
e
，所以
1
2
3
e
e
e
即非零常数列才能通过“ F 变换”结束．
………6 分
设
1
2
3
(
e
e
e
e e
为非零自然数）．
为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能
1
:
D d ，
1d
e
，
1
2
d
e
;
1
:
D d ，
1d
e
，
1d ；
1
:
D d ，
1d
e
，
1d ;
1
:
D d ，
1d
e
，
1
2
d
e
.
而任何一种可能中，数列E 的第三项是0 或2e ．
即不存在数列D ，使得其经过“ F 变换”成为非零常数列．
由①②得，数列A经过不断的“ F 变换”不可能结束．
………10 分
（3）数列A经过一次“ F 变换”后得到数列
:182
B
，185，3，其结构为a，
3
a ，3．
数列B 经过6 次“ F 变换”得到的数列分别为：3，a，
3
a ；
3
a ，3，
6:
6
a
a
，
9
a ，3；3，
12
a
，
9
a ；
15
a
，3，
2
7
2
m
3
2
7
7
3
2
12
a
；
18
a
，
15
a
，3.(
18
a
)
所以，经过6 次“ F 变换”后得到的数列也是形如“ a，
3
a ，3”的数列，变化的是，除了3 之外的两项均减小
18．
………13 分
因为182
18 10
2
，所以，数列B 经过6 10
60
次“ F 变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“ F 变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，
．至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．
所以经过1
60
3
64
次“ F 变换”得到的数列各项和达到最小，
即k 的最小值为64．
………17 分
