文档内容
银川一中 2025 届高三年级第二次月考
数 学 试 卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 设集合 ， ，若 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集结果知 ，将x=1代入方程求出 ，再求集合 即可.
【详解】由 可知： ，
当 时， ，解得：x=1或 ，即 ．
故选：B
2. 已知函数 恒过定点 ，则函数 的图象不经过（
）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
， 恒过定点 ，
， ， ，其图象如图所示，
因此不经过第四象限，
故选：D．
3. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由数轴知 ，不妨取 检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取 ，
对于A， ， 不成立.
对于B， ， 不成立.
对于C， ， 不成立.
对于D， ，因此成立.
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性
质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
4. 已知函数 及其导函数 的定义域均为R，且 为奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取 ， ，逐项判断.
【详解】解：因为函数 及其导函数 的定义域均为R，且 为奇函数，
所以不妨设 ，则 ， ，故BD错误；
取 ，则 ，故A错误，C正确，
故选：C
5. 如图为函数 在 上的图像，则 的解析式只可能是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于B. 的定义域为R，且
，故 为偶函数；
对于D. 的定义域为R，且
，故 为偶函数；
为
由图象，可知 奇函数，故排除B、D；
对于C.当 时，由 ，
可知 ，则 ，
而 ，此时 ，故排除D；
故选：A.
6. 当 时，曲线 与 交点的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】分别画出 与 在 上的函数图象，根据图象判断即可.
【详解】 与 在 上的函数图象如图所示，
由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求 ，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所
求式子进行化简，即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
解得 或 （舍 ，
则
.
故选：A.
8. 已知 是定义域为R的函数，且 是奇函数， 是偶函数，满足
，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值
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学科网（北京）股份有限公司范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶函数构造方程组求出 的解析式，再根据题意得到 在
单调递增，分类讨论即可求解．
【详解】由题意可得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
联立 ，解得 ，
又因为对于任意的 ，都有 成立，
所以 ，即 成立，
构造 ，
所以由上述过程可得 在 单调递增，
若 ，则对称轴 ，解得 ；
若 ，则 在 单调递增，满足题意；
若a>0，则对称轴 恒成立；
综上， ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：B
二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 与 是同一个函数
B. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
C. 已知命题p： ， ，则命题p的否定为 ，
D. 定义在R上的偶函数 满足 ，则函数 的周期为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，两函数定义域不同；B选项，令 ，求出 ，得到函数定义域；C选项
全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D选项，根据函数为偶函数得到
f (−x)=f (x)，故 ，得到函数周期.
【详解】A选项， 的定义域为R，令 ，解得 ，
故 的定义域为 ，定义域不同，A错误；
B选项，令 ，解得 ，故函数 的定义域为 ，B正确；
C选项，命题p的否定为 ， ，C正确；
为
D选项， 偶函数，故f (−x)=f (x)，又 ，
故 ，则函数 的周期为2，D正确.
故选：BCD
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 是函数 的周期
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 的图象可由函数 向左平移 个单位长度得到
D. 函数 的对称轴方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角函数 的图象与性质逐一判断选项即可.
【详解】因为 ，所以 是函数 的周期，故A
正确；
∵ ，∴ ，又 在 上不单调，故B错误；
∵函数 向左平移 个单位长度得到 ，故C正确；
令 ，得 ，故D正确，
故选：ACD．
11. 已知函数 ，其中实数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 在 上单调递增
B. 当 有且仅有3个零点时， 的取值范围是
C. 若直线 与曲线 有3个不同的交点 ，且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司D. 当 时，过点 可以作曲线 的3条切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A根据导函数及 可判断单调性；选项B根据极大值极小值可得；选项C由三次函数对
称中心可得；选项 D，先求过点 的切线方程，将切线个数转化为 与
图象交点个数，进而可得.
【详解】选项A：由题意可得 ，
令 解得 或 ，
因为 ，所以令f′(x)>0解得 或 ，令f′(x)<0解得 ，
故 在区间 或 上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A错误，
选项B：要使 有且仅有3个零点时，只需 即 ，解得 ，故B
正确；
选项C：若直线 与曲线y=f (x)有3个不同的交点 ，且 ，
则点 是三次函数 的对称中心，
设 ，则 ，
令 ，得 ，故 的对称中心为(1,f (1))， ，故C正确；
选项D： ，设切点为 ，
所以在点 处的切线方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为切线过点 ，所以 ，
解得 ，
令 ，
过点 可以作曲线y=f (x)的切线条数可转化为y=g(x)与 图象交点个数，
，
因为 ，所以 得 或 ， 得 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， 图象如图所示，
所以当 时，y=g(x)与 图象有3个交点，
即过点 可以作曲线y=f (x)的3条切线，故D正确，
故选：BCD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知函数 在 处有极小值，则实数 ______．
【答案】
【解析】
【分析】通过对函数 求导，根据函数 在 处有极小值，可知 ，解得 的值，再
验证即可求出 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，而函数 在 处有极小值，
所以 ，故 ，解得 或 ，
当 时， ，
令f′(x)<0， ，令f′(x)>0， ，
故此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 在 处有极大值，不符合题意，排除，
当 时， ，
令f′(x)<0， ，令f′(x)>0， ，
故此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 在 处有极小值，符合题意，
故答案为： .
13. 已知函数y=f (x)为奇函数，且最大值为1，则函数 的最大值和最小值的和为
__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，
所以函数 最大值和最小值之和为0，
则函数 的最大值和最小值之和为2.
故答案为：2.
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学科网（北京）股份有限公司14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 ，我们还可以用类似方式继续得到三倍
角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用 ，再根据整体思想将 转化为两角和的余弦值化简，再利
用诱导公式可得 ，根据锐角三角形性质可得 取值范围，从而得 的取值范围，代入
化简即可得出结论.
【详解】三倍角公式：
，
因为 ，
所以 .
故 ，△ABC 为锐角三角
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学科网（北京）股份有限公司形，故 解得 ，
故 ， ．
故答案为：
四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
.
15 已知函数 .
（1）讨论函数 在区间 上的单调性；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，
（2）将问题转化为存在 ， 成立，构造函数 ，求导
得函数的最值即可求解．
【小问1详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
因为x∈(0,π)，所以 ，
当 ，当x∈
(3π
,π ) ，f'(x)>0，
4
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问2详解】
，
当 时，由 可得 不成立，
当 时， ，
令 恒成立，
故 在 单调递减，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
16. 如图， 是半圆 的直径， 为 中点， ，直线 ，点 为
上一动点（包括 两点）， 与 关于直线 对称，记 为垂足，
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学科网（北京）股份有限公司为垂足．
（1）记 的长度为 ，线段 长度为 ，试将 表示为 的函数，并判断其单调性；
（2）记扇形 的面积为 ，四边形 面积为 ，求 的值域．
【答案】（1） 在 上单调递减
（2） 的值域为
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，根据扇形弧长公式求得 ，再得 长度为 ，从而得 ，
利用导数判断其单调性；
（2）根据扇形面积公式得 ，再得四边形 面积为 ，从而得 ，求导确定单调性极值
与最值即可 的函数.
【小问1详解】
因 ，则由题意知 ，
由题意可得， ，圆半径为1，所以 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减.
【小问2详解】
由题意可得 ，
因为 ，所以四边形 为矩形，
于是 ，
所以 ，其中 ，
求导得 ，
令 得 ，即 ，
则可得如下表格：
极小值
由表可知当 时， ， ，
所以 的值域为 .
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知函数 ，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个
作为一组已知条件，使 的解析式唯一确定．
条件①： ；条件②：若 ，且 的最小值为 ；条件③： 图象的
一条对称轴为 ．
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）所选条件见解析， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解；
（2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解．
【小问1详解】
选择条件①②：
由条件① ，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
由条件②得 ，得 ，所以 ，
所以 ；
选择条件①③：
由条件① ，所以 ，解得 ，又 ，所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司由条件③，得 ，解得 ，
所以 的解析式不唯一，不合题意；
选择条件②③：
由条件②得 ，得 ，所以 ，所以 ，
又 图象的一条对称轴为 ，所以 ，解得 ，又 ，
所以 ，
所以 ；
【小问2详解】
解：由题意得
，
因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
若 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以
.
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）讨论函数 的零点个数．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） 时， 有1个零点， 时， 有3个零点
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由导数法求切线即可；
（2）函数 在区间 上单调递增等价于 在 上恒成立，即
在 上恒成立，由均值不等式求 最小值即可；
（3）当 ，由（2）中 在区间 上单调递增可得 有1个零点，当 ，由导数法讨
论 的单调性，再结合零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
， ， ，
当 时， ，故函数 在点 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
函数 在区间 上单调递增等价于 在 上恒成立，即
在 上恒成立，
∵ ，当且仅当 即 时成立，故实数a的取值范围为 ；
【小问3详解】
由（2）得，当 ，函数 在区间 上单调递增，又 ，故 有1个零点；
当 ，令 ，由 得， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
由二次函数性质，在 上， ， ；在 上， ， ；在
， ， ，
∴ 在 ， 单调递增，在 单调递减，
又 ，∴ ， ，又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
即 有3个零点．
【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.
一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨
论.
当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法
分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
（2）含参函数零点个数问题，
i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；
ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；
19. 定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 ，且存在一个常数 ，使
成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系
数．已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2）是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求 的极值差比系数的取值范围．
【答案】（1） 是极值可差比函数，理由见解析；
（2）不存在 使 的极值差比系数为 ，理由见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，
求出极值差比系数 的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的 ，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性
即可得出函数取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，
所以 ，
当 时，f′(x)>0；当 时，f′(x)<0，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的极大值为 ，极小值为 ，
所以 ，因此 是极值可差比函数．
【小问2详解】
的定义域为 ，即 ，
假设存在 ，使得 的极值差比系数为 ，则 是方程 的两个不等正实根，
，解得 ，不妨设 ，则 ，
由于
所以 ，从而 ，
得
令 ，
所以 在(1,+∞)上单调递增，有 ，
因此 式无解，即不存在 使 的极值差比系数为 ．
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（2）知极值差比系数为 ，
即 ，不妨设 ，
令 ，极值差比系数可化为 ，
，
又 ，解得 ，
令 ，
设
所以 在 上单调递减，当 时， ，
从而 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ．
故 的极值差比系数的取值范围为 ．
【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变
量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对
变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键。
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学科网（北京）股份有限公司
