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曲靖一中 2024 届高三教学质量监测试卷（四）
数学
命题人：张连吉 审题人：赵宇
考试时间：120分钟；满分：150分.
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.2
3.已知向量 、 满足 ， ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 （ ）
A.-36 B.-28 C. D.12
4.某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价 （单
位；元）与销售量 （单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格 8 9. 10.5 12
5
销 售 量 16 8 6 5
经分析知，销售量 y件与价格 x元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为 ，且
，则 （ ）.
A.12 B.11 C.10 D.9
8.已知 ，则 （ ）.
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.已知正四面体 中， ， ， ，则 （ ）.
A. B. C. D.
7.已知 ， ， ，则（ ）.
A. B.
C. D.
8.定义在 上的函数 满足：当 时， ；当 时， .
记函数 的极大值点从小到大依次为 ，并记相应的极大值为 ，则
的值为（ ）.
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是
（ ）.
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是偶函数
10.在 中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）.
A.
B.若 ，且 ，则 为等边三角形
C.若 ，则 是等腰三角形
D.若 ， ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
学科网（北京）股份有限公司11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 、 的距离之比为定值 的点所形
成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系
中， ， ，点 满足 ，设点 P 所构成的曲线为 C，下列结论正确的是
（ ）.
A.曲线C的方程为
B.在C上存在点D，使得D到点 的距离为10
C.在C上存在点M，使得
D.C上的点到直线 的最大距离为9
12.如图，已知正方体 的棱长为2， 为底面正方形 内（含边界）的一动点，则下
列结论正确的是（ ）.
A.存在点 ，使得 平面
B.三棱锥 的体积为定值
C.当点 在棱 上时， 的最小值为
D.若点 到直线 与到直线 的距离相等， 的中点为E，则点P到直线 的最短距离是
三、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分
13. 的展开式中 的系数为________.
14.若直线 的倾斜角的取值范围是___________.
学科网（北京）股份有限公司15.若函数 与 的图像恰有一个公共点，则实数 的取值范围是________.
16.已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，过点 的直线与双曲线的左、
右两支分别交于点P，Q.若 是以 为顶角的等腰三角形，其中 ，则双曲线
离心率 的取值范围为_________.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分）观察下面的图形及相应的点数，回答
（1）写出图中点数构成的数列 的一个递推公式；并根据这个递推公式，求出数列 的通项公式；
（2）若 是数列 的前 项和，证明： .
18.（本小题满分12分）已知函数 ，其中 ， ，函数 图象上相邻
的两条对称轴之间的距离为 .
（1）求 的解析式和单调递增区间；
（2）若将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，求函数 在 上的最大值.
19. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 平 面 ， ， ， ，
，点E，F，M分别为 ， ， 的中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的大小.
20.（本小题满分12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目
A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“旋风接力跑”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗
赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局
获胜的概率为 ，在项目B中甲班每一局获胜的概率为 ，且每一局之间没有影响.
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望.
21.（本小题满分12分）已知F是椭圆 ： 的右焦点，且 在椭圆C上，
垂直于x轴.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线 交椭圆C于A、B（异于点P）两点，D为直线 上一点.设直线 ， ， 的斜率分
别为 ， ， ，若 ，证明：点D的横坐标为定值.
22.（本小题满分12分）关于函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 在 处的切线垂直于直线 ，对任意两个正实数 ， ，且 ，有
，求证： .
参考答案
一、选择题
1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A
学科网（北京）股份有限公司二、多选题
9.CD 10.ABD 11.ACD 12.ABD
三、填空题
13.-192 14. 15. 16.
四、解答题
17.（1）
（2）（方法：裂项相消）证明省略
18.（1）
（2）
19.（1）证明四边形 为平行四边形即可
（2）面面角的大小为60°
20.（1）64/81
（2）209/162
21.（1）
（2）
22.（1）分类讨论 的情况即可
（2）构造函数即可证明.
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