四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试数学（PDF版，含答案）_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年01月试卷

成都七中高二上期 12 月考试数学试题 2024.12.24 一.单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.一个班级有男生28人,女生24人,按照性别进行分层,用分层随机抽样的方法从该班抽取了 男生7人,则女生被抽取的人数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.已知圆C :x2 + y2 +8x−20=0和圆C :x2 +y2 −6y =0,则两圆公共弦所在直线方程为 1 2 ( ) A.8x+3y−20=0 B. 4 x + 3 y − 1 0 = 0 C. 4 x − 3 y + 1 0 = 0 D. 2 x + 3 y + 5 = 0 3.设xR,向量 a = ( x , 1 , 1 ) , b = ( 1 , − 2 , 1 ) ,且 a ⊥ b ,则 ( a + b ) 2 等于( ) A.3 B.9 C. 5 D.5 4.甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯,假设每个人从第2层开始在每一层离开电 梯的可能性是相等的,则甲、乙两人离开电梯时的楼层数之和为9的概率是( ) 1 1 1 A. B. C. D. 18 9 6 2 9 5.已知点 A (1 , 2 ) 在抛物线C: y =ax2上,则抛物线 C 的准线方程为( ) 1 1 A.x=− B.y =− C. 2 2 x = − 1 8 D. y = − 1 8 6.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 π x2 y2 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C: + =1(ab0)的面积为 a2 b2 6 2π,焦距为 2 6 ,则C的离心率为( ) 2 1 A. B. C. 4 2 2 2 D. 2 3 π 7.如图,在直三棱柱ABC−ABC 中,ACB= ,AC =2, 1 1 1 2 B C = 1 , AA =2,点D是棱AC的中点,点E在棱BB 上运动,则点D到直线 1 1 C E 的距离的最小值为( ) 1 3 5 4 5 A. B. C. 5 D. 5 5 5 4 5 8.已知点P(0,−4),P(0,2),圆C:x2 + y2 +12x−14y+36=0,若点Q在圆 1 2 C 上, 且 PQ+PQ =,则实数的最小值是( ) 1 2 A.3 B.6 C.9 D.36 {#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}{#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}四.解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)对某次考试成绩(单位：分)进行分析,随机抽取 1 0 0 名学生,将分数按照  3 0 , 5 0 ) , 50,70),70,90),  9 0 , 1 1 0 ) ,  1 1 0 , 1 3 0 ) ,  1 3 0 , 1 5 0  分成 6 组,制成如图所示频率分布直方图. (1)估计这次考试成绩的平均分； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在  7 0 , 9 0 ) 和 [1 3 0 , 1 5 0 ] 的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4名学生,再从这4名学生中随机抽取 2 名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生成绩都在70,90)内的概率. 16.(15分)已知抛物线 C : y 2 = 2 p x p  0 ( )的焦点为 F ,点 A ( 3 , y 0 ) 在抛物线 C 上,且 A F = 4 . (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 T ( 2 , 0 ) 的直线 l 与抛物线 C 交于 M 、 N 两点,若点 B − 1 , − 1 ( )满足BMBN =1, 求直线l的方程. 17.(15分)如图,在三棱柱ABC−ABC 中, 1 1 1 A A 1 与 B B 1 的距离为 3 ,AB= AC = AB =2, 1 AC =BC =2 2. 1 (1)证明：平面 A 1 A B B 1 ⊥ 平面 A B C ； (2)若点N是棱 A 1 C 1 的中点,求直线AN与平面ABC所成角的正弦值. 1 1 {#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}x2 y2 18.(17分)已知双曲线C: − =1(a0,b0)过点 a2 b2 ( 2 , 3 ) ,双曲线C的一条渐近线方程 为 3x−y=0. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点 P 为双曲线 C 右支上一点, A ( 3 , 0 ) ,求 P A 的最小值； (3)过点 F ( 2 , 0 ) 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 M ,N 两点,求证: | M 1 F | + | N 1 F | 为定值. 19.(17分)已知焦点为 F 的抛物线 C 1 : y 2 = 2 p x ( p  0 ) 与焦点分别为 F 1 ( 0 , − p 2 ) 、 p y2 F (0, )的椭圆C :x2 + =1交于 2 2 2 a2 P 1 , P 2 两点. 2p (1)求 的取值范围； a2 (2)若P,F,P 三点共线,求椭圆C 的方程； 1 2 2 S (3)记FF P的面积为S,求 的最大值. 1 2 1 a2 {#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}成都七中高二上期 12 月考试数学试题参考答案 一.单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 8.= PQ+PQ =2|QT |,其中 1 2 T ( 0 , − 1 ) . 于是点 Q 的轨迹 + + =  x 2 ( y 1 ) 2 4 2 ,再考虑圆圆  位置关系即可得 3. 2 二.多项选择题：本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项是符 合题目要求的.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 9.ACD 10.ABD 11.CD 11.注意 O 在曲线 C 1 1 1 上,且曲线C:(x2 − )2 +(y2 − )2 = .事实上曲线 2 2 2 C 是对称的. 三.填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 3 12. 13. 5 6 − 4 2 14. 6 5 5 14.设|CF |=2m,| AF |=3m,|BF |=n,用 2 2 1 A , B 两点的第一定义即可表示其它线段长度. 4an 再利用垂直条件得3m= ,利用 2a−n c o s  C A F 1 2a(2a−n) 得3m= .于是 5n−2a m , n 都可以用 a 表示即可. 四.解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)由0.00520+0.00520+0.007520+0.0220+a20+0.002520=1, 得a=0.01. 3分 数学成绩在：30,50)频率0.005020=0.1,50,70)频率0.005020=0.1, 70,90)频率0.007520=0.15, 90,110)频率0.020020=0.4, 110,130)频率0.010020=0.2, 130,150频率0.002520=0.05, 样本平均数为400.1+600.1+800.15+1000.4+1200.2+1400.05=93. 据此可以估计这次考试成绩的平均分为93分. 7 分 (2)由题意可知,70,90)分数段的人数为1000.15=15(人). [130,150]分数段的人数为1000.05=5(人), 则在70,90)分数段内抽3人,分别记为 A 1 ,A ,A ,在[130,150]分数段内抽1人,分别记为B. 2 3 设“从样本中任取 2 人,都在分数段70,90)内”为事件A, 则样本空间=AA ,AA ,AB,A A ,A B,AB共包含6个样本点, 1 2 1 3 1 2 3 2 3 3 1 而事件A=AA ,AA ,A A包含3个样本点.所以P(A)= = , 1 2 1 3 2 3 6 2 1 所以抽取的这2名学生成绩都在 70,90) 内的概率为 . 13分 2 {#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}{#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}ANn 3 3 3 105 则可得sin= cos AN,n = = = . AN n 5 7 35 即直线AN与平面ABC所成角的正弦值为 1 1 3 1 0 3 5 5 . 1 5 分  4 9 − =1   a2 b2 18.解：(1)依题意有 ,解得 b  = 3 a  a b = = 1 3 . 故双曲线 C y2 的标准方程为x2− =1. 3 4 分 (2)点 P 为双曲线C右支上一点,设 P ( x 0 , y 0 ) , x 0  1 , 3 15 则 PA = (x −3)2 + y2 = (x −3)2 +3x2 −3 = 4x2−6x +6 = 4(x − )2+ 0 0 0 0 0 0 0 4 4 注意到 x 0  1 ,所以当x =1时, 0 P A 取到最小值2. 9 分 (3)当过点 F ( 2 , 0 ) 的直线 l 的斜率不存在时,方程为 x = 2 . 1 1 1 1 2 此时不妨取M(2,3),N(−2,3),则 + = + = . |MF| |NF| 3 3 3 当过点 F ( 2 , 0 ) 的直线 l 的斜率存在时,设直线方程为y=k(x−2),M(x,y ),N(x ,y )， 1 1 2 2 y=k(x−2) 不妨令x 2,1x 2, 联立   y2 得 ( 3−k2) x2+4k2x−4k2−3=0， 1 2 x2− =1  3 由于直线l过双曲线的右焦点,必有 0. 直线l与双曲线 C 的右支交于 M , N 两点,需满足 k  3 或 k  − 3 , −4k2 −4k2−3 则x +x = ,x x = , 1 2 3−k2 1 2 3−k2 1 1 1 1 1  1 1  则 + = + =  +  MF NF 1+k2 x −2 1+k2 x −2 1+k2  x −2 2−x  1 2 1 2 = 1  x 1 −x 2 = 1  x 1 −x 2 = 1  (x 1 +x 2 )2−4x 1 x 2 1+k2 (x 1 −2)(2−x 2 ) 1+k2 2(x 1 +x 2 )−x 1 x 2 −4 1+k2 2(x 1 +x 2 )−x 1 x 2 −4  −4k2 2 −4k2 −3 6 k2 +1   −4 1 3−k2  3−k2 1 − ( 3−k2) 1 6 k2 +1 2 =  =  =  = . 1+k2  −4k2  −4k2 −3 1+k2 −9 1+k2 9 3 2 − −4 3−k2  3−k2 3−k2 1 1 2 综合以上可知 + 为定值 . 17分 |MF| |NF| 3 {#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}19.解：(1)因为椭圆 C 2 p 的焦点F(0,− )、 1 2 F 2 ( 0 , p 2 ) 在 y p2 轴上,所以a2 =1+ . 4 2p 2p 8p 8 于是 = = = ,因为 a2 p2 p2 +4 4 1+ p+ 4 p p  0 4 ,所以 p+ 4,当且仅当 p p = 2 取等, 2p 8 从而 = (0,2].所以 a2 4 p+ p 2 a p 2 的取值范围为 ( 0 , 2 ] . 5 分 (2)因为 P 1 , P 2 关于 x 轴对称,所以 x P1 = x P 2 = p 2 , 又P,P 是抛物线 1 2 C 1 : y 2 = 2 p x ( p  0 ) 与椭圆 C 2 : x 2 + y a 2 2 = 1 的交点. p2 所以y2 = y2 = p2, y2 = y2 =a2(1− ).于是 P 1 P 2 P 1 P 2 4 p 2 = a 2 (1 − p 4 2 ) . p2 又 =a2 −1,所以 4 4 ( a 2 − 1 ) = a 2 ( 2 − a 2 ) ,于是 a 2 = 5 − 1 . 所以椭圆 C 2 y2 的方程是C :x2 + =1. 2 5−1 1 0 分  y2 =2px,  (3)联立 y2 消 x2 + =1,  a2 y 2p 得x2 + x−1=0(x0), a2 2p 记m= ,由(1)知 a2 m  ( 0 , 2 ] . −m+ m2 +4 即x2 +mx−1=0(x0),从而x = x = . P 1 P 2 2 1 1 1 −m+ m2 +4 |FF |x px p S = 2 1 2 P 1 = 2 P 1 = 2 2 = 1  2p (−m+ m2 +4) a2 a2 a2 a2 8 a2 1 1 4 1 m = m(−m+ m2 +4)= m =  8 8 m+ m2 +4 2 m+ m2 +4 1 1 1 1 2−1 =    = ,当且仅当m=2取等. 2 4 2 4 2 1+ 1+ 1+ 1+ m2 22 由(1)知m=2时相应的 p=2. S 2−1 所以 的最大值为 . 17分 a2 2 {#{QQABTQAAogCgAgAAARgCQwEgCgCQkhECAagGhEAIsAABSANABAA=}#}