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★秘密·2023年11月16日17：00前
重庆市 2023-2024 学年（上）11 月月度质量检测
高三数学
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．命题“ ，使 ”的否定是（ ）
A． ，使 B．不存在 ，使
C． ，使 D． ，使
2．若复数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若 ， ， ， ，则满足上述条件的集合 的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 满足 ， ，记 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
5．我们知道函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有
同学发现可以将其推广为:函数 的图像关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
高三数学试卷 第 1 页 共 5 页
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为奇函数，则函数 的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
6．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安
德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 是只取非负值的随机变量，则对 ，都有
.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年
的年收入超过100万元”为事件A，其概率为 .则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在等边△ABC 中， 为△ABC内一动点， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．下列命题中，错误的是（ ）
A．垂直于同一个平面的两个平面平行
B．三个平面两两相交，则交线平行
C．一个平面与两个平行平面相交，则交线平行
D．平行于同一条直线的两个平面平行
10．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半
之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式
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（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在△ABC中，a、b、c分
别为角A、B、C所对的边，若 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A．△ABC面积的最大值是
B．
C．
D．△ABC面积的最大值是
11．已知定义在R上的函数 ，对任意的 ，都有 ，且 ，
则（ ）
A． 或1 B． 是偶函数
C． ， D． ，
12．设集合M是实数集 的子集，如果 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，则称
t为集合M的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面上的三个单位向量 ， ， 满足 ，则 ， ， 两两间的夹角中最小的角的大小为
．
14．已知 ，则关于 的不等式 的解为 .
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15．数列 的首项 ， 且对任意 ， 恒成立，则 ．
16．若函数 在 上具有单调性，且 为 的一个零点，则 在
上单调递 （填增或减），函数 的零点个数为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求A；
(2)求 的最大值.
19．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传
统文化中的太极衍生原理.“大衍数列” 的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且 满足
其中 .
(1)求 （用 表示）；
(2)设数列 满足： 其中 ， 是 的前 项的积，求证： ，
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.
20．牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种
植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入
金额比上一年减少 ，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销
售收入每年会比上一年增加 .
(1)设n年内总投入金额为 万元，牧草销售总收入为 万元，求 的表达式；
(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入? ( )
21．已知函数
(1)若 ，求 取值范围；
(2)证明： ．
22．已知函数 .
(1)求 的值；
(2) ，定义 ，求 的解析式，并求出 的最小值.
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