江苏省扬州市2023-2024学年高三上学期11月期中检测数学答案(1)_2023年11月_0211月合集_2024届江苏省扬州市高三上学期11月期中检测_江苏省扬州市2024届高三上学期11月期中检测数学

高三数学参考答案
2023.11
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C B A B D C AD AB ACD BD
题号 13 14 15 16
答案 3
第1页（共6页）
f ( x ) s in ( 2 x
3
)

  2 0 ,
4
2 7
17.【答案】(1) 因为 f ( x
1
)  0 ， f ( x
2
)  0 ，且 x
1
 x
2
的最小值为
2

，所以
T
2 2

 ，
则 T  
2
，所以 2，············································································ 2分
T
又 f ( 0 )  2 3 ，所以 4 s in 2 3   ，
又 | |
2
 

，所以
3

  ，
所以 f ( x ) 4 s in ( 2 x
3
)

  . ················································································· 3分
令
2
2 k 2 x
3 2
2 k
  
        ，解得
5
1 2
k x
1 2
k , k Z ,
 
       
所以函数 f(x)的单调递增区间为
5
1 2
k ,
1 2
k , k Z .
 
 

  

 ··································· 5分
(2) 由题可知 f ( ) 4 s in ( 2
3
)
1 2
5

    
 3
，则sin(2 ) ，
3 5
因为 (
1 2
,
2
)
 
  ，所以 2
3
(
2
,
4
3
)
  
   ，
所以 c o s ( 2
3
) 1 (
3
5
) 2
4
5

       ， ································································· 7分
     
所以sin2sin[(2 ) ]sin(2 )cos cos(2 )sin
3 3 3 3 3 3

3
5

1
2
 ( 
4
5
) 
2
3

3 
1
4
0
3
. ·····························································10分
18.【答案】(1) 证明：连接 A B
1
, A
1
B 交于点 E ，连接 A C
1
, A C1 交于点 F ，连接 E F ，
则平面ABC 和平面ABC交线为EF，
1 1 1
因为ABCABC 为直三棱柱，所以
1 1 1
A B B
1
A
1
，ACC A 为平行四边形，
1 1
所以 E 为AB 中点，
1
F 为AC 中点，所以EF BC ， ·········································· 4分
1 1 1
又 E F  平面ABC ，BC 平面ABC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以EF 平面ABC ，即l 平面
1 1 1
A
1
B C1
1
． ························································ 6分
(2) 直三棱柱 A B C  A
1
B C1
1
中， B A  B C ，所以BA,BC,BB 两两垂直．
1
 
以 BA,BC,BB 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
1
则C(0,1,0)，C (0,1,1)，A(1,0,1). ···································································· 7分
1 1
{#{QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=}#}第2页（共6页）
A
1
A
x
E
B
z
1
B
F
C
C
1
y
设 Q ( 0 , 0 , t ) ，则 Q C
1
 ( 0 ,1 ,1  t ) ， C A
1
 (1 ,  1 ,1 ) ，
所以 c o s  Q C
1
, C A
1
 
Q
Q
C
C
1
1


C
C
A
A
1
1

1  (1
t
 t ) 2  3

3
3
·····································10分
解得 t 
1
2
，所以线段 B Q 长为
1
2
． ··································································12分
1a
19．【答案】(1) 方法一：因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，即 0，解得a1， ···· 2分
22
2x 1
此时， f(x) ，
2x12
f (  x ) 

2
 2
 x 
x
1


1
2

( 
( 2
 2
 x 
x
1


1
2
) 2
) 2
x
x


2
1


2
2
x
x
 1
  f ( x ) ，
则 f ( x ) 是奇函数．
故 a  1 ． ····································································································· 4分
方法二：因为f (x)是奇函数，
所以 f ( x )  f (  x ) 

2
2
x
x
 1


a
2


2
2

 x
x  1


a
2


2
2
x
x
 1


a
2

 1
2


a
2
 2
x  1
x
 0 ，
即 ( a  1 ) ( 2 x  1 )  0 对  x  R 恒成立，
所以a1. ···································································································· 4分
－2x＋1 1 1
(2) 由(1)知f (x)＝ ＝－ ＋ ，则f (x)在R上为减函数， ·························· 6分
2x+1＋2 2 2x＋1
又f (x)是奇函数，
由 f ( 3 s in c o s ) f ( k c o s 2 ) 0       得： f ( 3 s in c o s ) f ( k c o s 2 ) f ( k c o s 2 )           ，
所以 3sincoskcos2，
即 3sincoscos2k在
4
, 0

 



上有解， ············································· 9分
记 g ( ) 3 s in c o s c o s 2       ，则 g ( )
2
3
s in 2
1 c o
2
s 2
s in 2
6
1
2
 
    






     2 
因为  ,0 ，则2   , ，
   
 4  6  3 6
   1
所以sin2 

1,

，所以
 6  2
g ( )
3
2
, 1  

 

，
所以 
3
2
  k
3
，即k ． ··············································································12分
2
{#{QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=}#}20．【答案】(1) 提出假设
第3页（共6页）
H
0
：该品牌方便面中 C 卡片所占比例与方便面口味无关.
2
( a b ) (
n
c
( a d
d ) (
b
a
c 2 )
c ) ( b d )
1 5 0
9
(
5
2 0
5 5
4 5
3 0
1 0
1 2
7
0
5 ) 2 7 5
4 1 8
0 .1 8 6 .6 3 5  
 

 








   ， ··········· 3分
又 P ( 2 0 .0 1 0 ) 6 .6 3 5  ≥  ，
所以没有99%的把握认为“该品牌方便面中 C 卡片所占比例与方便面口味有关”． ······ 4分
(2) ①记“小明一次购买3袋该方便面，中奖”为事件A，
P ( A ) 
2
5

2
5

1
5
 A 33 
1
2
2
4
5
. ·············································································· 8分
② 记“小明一次购买3袋该方便面，未获得 C 卡”为事件 B .
P ( B A )  (
4
5
) 3 
1
6
2
4
5
， ····················································································10分
P ( B | A ) 
P
P
( B
(
A
A
)
)

1
1

6 4
2 52
1 2
4
5

6 4
1 0 1
.
64
答：①小明中奖的概率为 ；②小明为中奖，未获得
125
C 卡的概率为
6 4
1 0 1
． ·············12分
21．【答案】(1) 由题可知ABc， A C  3 c ，BC2c，
在 △ A B C 中，由余弦定理得 c o s  A B C 
B A 2
2


B
B
C
A
2


B C
A C 2

c 2  ( 2
2
c

2 )
c


(
2 c
3 c ) 2

1
2
，
又 A B C ( 0 , )    ，所以 A B C
3

  ， ································································· 2分
又 D 为 B C 的中点，所以 B D 
1
2
B C  c ，则 B D  B A ，
所以 △ A B D 为等边三角形，又 A D  1 ，
所以AB1， B C  2 ，
所以 S
△ A B C

1
2
 B A  B C  s in  A B C 
1
2
 1  2 
2
3

2
3
. ·········································· 4分
(2) 方法一：由题可知 A B  c ， A C  3 c ， A D  1 ， B D  D C 
a
2
，
设ABC2， D A C    ， A D B    ，则ADC，
在 △ A B D 中，由正弦定理得
s in
A

B
A D B

s in
A

D
A B D
c 1
，即  ，
sin sin2
在 △ A D C
DC AC
中，由正弦定理得  ，即
sinDAC sinADC s
a
2
in s in (
3 c
)   


，
1 a
所以  ，则
sin2 2 3sin
a
c o
3
s 
 ，① ···························································· 6分
在△ABD和 △ A D C 中，由余弦定理得
a a
12 ( )2 c2 12 ( )2 ( 3c)2
2 2
cosADBcosADC   0，
a a
2 1 2 1
2 2
所以a2 48c2，② ······················································································ 8分
在△ADC中，由余弦定理得DC2  AD2 AC2 2ADACcosDAC，
{#{QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=}#}即
第4页（共6页）
(
a
2
) 2 1 2 ( 3 c ) 2 2 1 3 c c o s        ，即 c o s
1 3 c
2
2
3 c
1
4
a 2
 
 
，③ ························10分
将 a 2  8 c 2  4 代入得 c o s
c
2
2
3
2
c
 

，④
由①④得 (
a
3
) 2  (
c
2
2 
3
2
c
) 2 ，即
8 c
3
2  4

( c 2
1

2 c
2
2
) 2
，即 9 c 2  ( 2 c 2  1 ) ( c 4  4 c 2  4 ) ，
即 2 c 6  7 c 4  5 c 2  4  0 ，即 ( c 2  1 ) ( 2 c 2  1 ) ( c 2  4 )  0 ，
因为 c  0 ，所以 c 2  1 ，则 a 2  8 c 2  4  4 ，所以 a  2 .
故BC的长为2. ····························································································12分
B
2 θ
A
α
θ
D
π - α
C
方法二：作  A B C 的角平分线，交 A C 与 M .
设 A B C 2    ， D A C    ，则 A B M C B M      ，
在 △ A B M 和 △ C B M
 AB AM
 ,

sinAMB sin
中，由正弦定理可得
BC CM
  ,
sinBMC sin
又AMBBMC，所以 s in A M B s in ( B M C ) s in B M C        ，
所以
A
B
B
C

A
C
M
M
.
A
θ M
2θ
B D C
由题可知ABc，AC 3c，BC a，所以
A
C
M
M

c
a
， C M 
c
3

a c
a
. ······················ 7分
在 △ A C D 和 △ B C M 中， C A D C B M      ，ACDBCM ，
AC BC
所以△ACD∽△BCM ，所以  ，
CD CM
3c a
则  ，即a2 ac6c2 0，即
a 3ac
2 ca
( a  3 c ) ( a  2 c )  0 ，
所以 a   3 c (舍)或 a  2 c . ·············································································· 9分
在 △ A B D 和△ADC中，由余弦定理得
a a
12 ( )2 c2 12 ( )2 ( 3c)2
2 2
cosADBcosADC   0，
a a
2 1 2 1
2 2
所以a2 48c2， ························································································ 11分
{#{QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=}#}则
第5页（共6页）
a 2  4  2 a 2 ，解得 a  2 .
故 B C 的长为2. ····························································································12分
方法三：延长CB到 E ，使 E B  B A ，连接 E A .
由题可知ABc， A C  3 c ， B C  a ， B D  D C 
a
2
，
设 A B C 2    ， D A C    ，则 B E A B A E      ，
在 △ A C D 和 △ E C A 中， A E C D A C      ，  A C D   E C A ，
所以 △ A C D ∽ △ E C A ，所以
A
C
C
D

E
A
C
C
，则 A C 2  C D  E C ， ·································· 7分
所以 ( 3 c ) 2 
a
2
 ( a  c ) ，
即 a 2  a c  6 c 2  0 ，即(a3c)(a2c)0，
所以 a   3 c (舍)或 a  2 c . ·············································································· 9分
在△ABD和 △ A D C 中，由余弦定理得
c o s  A D B  c o s  A D C 
1 2 
2
(

a
2
)
a
2
2


1
c 2

1 2  (
a
2
2
)

2 
a
2

(
1
3 c ) 2
 0 ，
所以 a 2  4  8 c 2 ， ························································································ 11分
则 a 2  4  2 a 2 ，解得 a  2 .
故 B C 的长为2. ····························································································12分
A
θ θ
θ 2θ
E B D C
22．【答案】(1) 因为 f ( x )  x 2  a x  a 2 ln x ( x  0 ) ，
a2 2x2 axa2 xa2xa
则 fx2xa   ， ········································· 1分
x x x
令 f ( x )  0 ，则 x  
a
2
或 x  a .
1°若a0，当 x   0 , a  ， f   x   0 ， f  x  单调递减；当 x   a ,    ， f   x   0 ， f  x  单调递增.
所以 f(x)  f aa2lna0，解得a1； ···················································· 3分
min
2°若a0，当 x 

0 , 
a
2

， f   x   0 ， f x 单调递减；
当 x 


a
2
,  

， fx0， f  x  单调递增.
 a a2 a2  a 3  a
所以 f(x)  f    a2ln 0，即 ln  ，解得
min  2 4 2  2 4  2
a   2 e
34
.
3
综上，a的值为1或2e4. ·············································································· 5分
{#{QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=}#}(2) 若
第6页（共6页）
a  0 时， f  x   x  x  a 2   a ln x ，
当 0  x  m in  a 2 ,1  时， x  a 2  0 ，  a ln x  0 ，则 f  x   0 不满足条件. ··················· 6分
若 a  0 时，由 f  1   1  a 2  0 可得 0  a  1 . ······················································· 8分
下面证明其充分性，即证当0a1时， f  x   x 2  a 2 x  a ln x  0 恒成立.
思路一：关于 a 的函数haxa2 alnxx2,0a1是一段开口向下的抛物线.
只要证
 h
h
 0
1
 

x

2
x


0
ln
① ,
x  x 2  0 ② .
其中 ① 式显然成立.
令 ( x ) x 2 x ln x     ，则 ( x ) 2 x 1
1
x
2 x 2
x
x 1 ( 2 x 1 )
x
( x 1 )
     
 

 
，
所以当x(0,1)时，(x)0，(x)单调递减；当x(1,)时，(x)0，(x)单调递增.
所以(x)(1)0，②式得证.
所以，当0a1时， f xx2 a2xalnx0恒成立.
综上， a 的取值范围是 [ 0 ,1 ] . ···········································································12分
思路二：令 h  x   x  1  ln x ，则 h   x   1 
1
x

x 
x
1
 0 .
当 x  ( 0 ,1 ) 时， h ( x )  0 ， h ( x ) 单调递减；当 x  (1 ,   ) 时， h ( x )  0 ，h(x)单调递增.
所以h(x)h(1)0，则 x  1  ln x .
由 ln x  x  1 ，得 a  [ 0 ,1 ] 时， x 2  a 2 x  a ln x  x 2  a 2 x  a  x  1   x 2   a 2  a  x  a ，
又当 a  [ 0 ,1 ] 时，方程x2 (a2 a)xa0的(a2 a)2 4aa[a(a1)2 4]0，
所以 x 2  a 2 x  a ln x  0 对x(0,)恒成立.
所以， a  [ 0 ,1 ] 均满足.
综上， a 的取值范围是 [ 0 ,1 ] . ···········································································12分
{#{QQABRYYAggCoAABAAAhCEwFCCAIQkBGCCCoOwBAIoAAAABFABCA=}#}