2005年四川高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_四川

2005 年四川高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S=4R2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径，
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 4
V=
R3，
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 3
P
n
(k)=Ck
n
Pk(1－P)n－k 其中R表示球的半径
一、选择题：

（1）已知为第三象限角，则 所在的象限是
2
（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限
（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限
（2）已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为
（A）0 （B）-8 （C）2 （D）10
（3）在(x1)(x1)8 的展开式中x5
的系数是
（A）-14 （B）14 （C）-28 （D）28
(4)设三棱柱ABC-ABC 的体积为V，P、Q分别是侧棱AA、CC 上的点，且PA=QC，则四棱
1 1 1 1 1 1
锥B-APQC的体积为
1 1 1 1
（A） V （B） V （C） V （D） V
6 4 3 2
1 1
（5）lim(  )  ___________
x1 3x2 3x2 x2 4x3
1 1 1 1
(A)  (B) (C)  (D)
2 2 6 6
ln2 ln3 ln5
(6)若a  ,b ,c ,则
2 3 5
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c
(7)设0 x2,且 1sin2x sinxcosx,则
 7  5  3
(A) 0 x (B)  x (C)  x (D)  x
4 4 4 4 2 2
2sin2
cos2

(8)  
1cos2 cos2
1
(A) tan (B) tan2 (C) 1 (D)
2
第1页 | 共8页y2
 
（9）已知双曲线x2
 1的焦点为F 、F ，点M 在双曲线上且MF MF 0,则点M
1 2 1 2
2
到x轴的距离为
4 5 2 3
（A） （B） （C） （D） 3
3 3 3
（10）设椭圆的两个焦点分别为F 、F，过F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FPF
1、 2 2 1 2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
2 21
（A） （B） （C）2 2 （D） 21
2 2
（11）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有
（A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个
（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计
数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16 进 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
制
10 进 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
制
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=
（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0
第Ⅱ卷
二．填空题（16分）
（13）已知复数Z 32i,复数Z满足Z=3Z+Z ,则复数Z=_________________
0 0
  
（14）已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC (k,10)，且A、B、C三点共线，则k=
（ 15 ） 高 l为 平 面 上 过 (0,1) 的 直 线 , l的 斜 率 等 可 能 地 取
5 5
2 2, 3, ,0, , 3,2 2,用表示坐标原点到l的距离,由随机变量的数学期
2 2
望E=___________
（16）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距
离乘积的最大值是
三.解答题：
(17) (本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要
照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
（18）(本小题满分12分)
第2页 | 共8页在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面
V
VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD． D C
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
A
B
(19)在ABC,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.
3
已知a,b,c成等比数列，且cosB= .
4
①求cotA+cotB的值。
  3
②设BABC  ，求a + c 的值。
2
（20）(本小题满分12分)
在等差数列在等差数列{a }中,公差d 0,a 是a与a的等差中项,
n 2 1 4
已知数列a ,a ,a ,a , a 成等比数列,求数列{k }的通项k
 
1 3 k1 k2 kn n n
(21) (本小题满分14分)
设A(x , y ),B(x , y )两点在抛物线y 2x2 上，l是AB的垂直平分线，
1 1 2 2
（Ⅰ）当且仅当x x 取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
1 2
（Ⅱ）当x 1,x 3时，求直线l的方程.
1 2
4x2 7
（22）已知函数 f(x)  ,x[0,1]
2x
①求 f(x)的单调区间和值域。
②设a 1,函数g(x)  x3 3ax2a,x[0,1],若对于任意x [0,1]，总存在x [0,1]，
1 0
使得g(x )  f(x )成立，求a的取值范围。
0 1
参考答案
一.DBBCA，CCBCD，BA
3 2 4
二.13、1 i，14、 ，15、 ，16、3
2 3 7
三.解答题：
（17）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分
第3页 | 共8页则A、B、C相互独立，
由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05
P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分
解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴A、B、C相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
P(ABC) P(A)P(B)P(C)0.80.750.50.3……………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 p1P(ABC)10.30.7……12分
（18）证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面
ABCD．…………………………1分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为
1，…………………………2分
1 1 1
则A（ ，0，0），B（ ，1，0），C（- ，1，
2 2 2
1 3
0），D（- ，0，0），V（0，0， ），
2 2
   1 3
∴AB(0,1,0),AD(1,0,0),AV ( ,0, )………………………………3分
2 2
   
由ABAD(0,1,0)(1,0,0)0 AB AD……………………………………4分
  1 3  
ABAV (0,1,0)( ,0, )0 AB AV ……………………………………5分
2 2
又AB∩AV=A
∴AB⊥平面VAD…………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB(0,1,0)是面VAD的法向量………………………………7分

设n(1,y,z)是面VDB的法向量，则
   1 3  x1
 nVB0 (1,y,z)( ,1, )0   3
    2 2  3 n(1,1, )……9分
nBD0  z  3
 (1,y,z)(1,1,0)0  3
第4页 | 共8页3
(0,1,0)(1,1, )
  3 21
∴cos AB,n  ，……………………………………11分
21 7
1
3
21
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos …………12分
7
3 3 7
（19）（I）由cosB= 得sinB  1( )2  ，
4 4 4
1 1
cotAcotB  
于是 tanA tanB
cosA cosC sinCcosAcosCsin A
  
sin A sinC sin AsinC
sin(AC) sinB 1 4
=    7
sin2 B sin2 B sinB 7
  3 3 3
(II)由BABC  得cacosB  ,由cosB  ,可得ca  2,即b2  2
2 2 4
由余弦定理 b2  a2 c2 2accosB得a2 c2 b2 2accosB 5
a+c=3
（20）解：由题意得：a2 a a ……………………………………………………1分
2 1 4
即 (a d)2 a (a 3d)……………………………………………………………3分
1 1 1
又d 0,∴a d…………………………………………………………………………4分
1
又a ,a ,a ,a , a 成等比数列,
 
1 3 k1 k2 kn
a 3d
∴该数列的公比为q  3  3，……………………………………………………6分
a d
1
所以a a 3n1 …………………………………………………………………………8分
kn 1
又a a (k 1)d k a …………………………………………………………10分
kn 1 n n 1
∴k 3n1
n
所以数列{k }的通项为k 3n1 …………………………………………………………12分
n n
第5页 | 共8页y 1
（21）解：（Ⅰ）∵抛物线y
2x2 ，即x2
 ，∴ p ，
2 4
1
∴焦点为F(0, )………………………………………………………………1分
8
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x x =0………………………………3分
1 2
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线l：y=kx+b
由已知得：
y  y x x
 1 2 k 1 2 b
 2 2
 ……………………………………………………5分
y  y
 1
1 2 

x x k

1 2
2x2 2x2 x x
 1 2 k 1 2 b
 2 2


2x2 2x2
1
1 2 
 x x k

1 2
 x x
 x2 x2 k 1 2 b
 1 2 2
 ………………………………………………7分
1

x x 
 1 2 2k
1

x2 x2
 b0
1 2 4
1
b
4
1
即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0, )……………………………………8分
8
所以当且仅当x x =0时，直线l经过抛物线的焦点F…………………………9分
1 2
（Ⅱ）当x 1,x 3时，
1 2
直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b………………………………10分
则由（Ⅰ）得：
 x x
 x2 x2 k 1 2 b
 1 2 2

1

x x 
 1 2 2k
第6页 | 共8页 x x
k 1 2 b10
 2
 ………………………………………………11分
1

 2
 2k
 1
k 

 4
 ………………………………………………………………13分
41

b
 4
1 41
所以直线l的方程为y  x ，即x4y410………………14分
4 4
(22)解：(I)对函数 f(x)求导，得
4x2 16x7 (2x1)(2x7)
f`(x)  
(2x)2 (2x)2
1 7
令 f`(x) 0解得 x  或x 
2 2
当x变化时。 f`(x)， f(x)的变化情况如下表：
x 0 1 1 1 1
(0, ) () ,1
2 2 2
_ 0 +
f`(x)
7 -4 -3
f(x) 
2
1 1
所以，当x(0, )时， f(x)是减函数；当x( ,1)时， f(x)是增函数。
2 2
当x(0,1)时， f(x)的值域为[-4，-3]。
（II）对函数g(x)求导，得图表 1
g`(x) 3(x2 a2)
a 1,当 x(0,1)时，g`(x)3(1a2)0

因此当x(0,1)时。g(x)为减函数，从而当x[0,1]时有
g(x)[g(1),g(0)]
第7页 | 共8页又g(1) [12a3a2,2a,g(0)  2a,即当x[0,1]时有
g(x)[12a3a2,2a]
任给x [0,1]， f(x )[4,3]，存在x [0,1]，使得g(x )  f(x )，则
1 1 0 0 1
[12a3a2,2a][4,3]
12a3a2  4 3
即 解得a 
2a  3 2
3
又a 1，所以a 的取值范围为1 a 
2
第8页 | 共8页