文档内容
届高三 月联考数学
２０２５ １０
参考答案、提示及评分细则
．【答案】
１ A
{m２
＝１
【解析】因为A B A 所以 即得m ．
＝{－１,１}, ⊆ , , ＝－１
m
＝－１
．【答案】
２ D
【解析】当a b 时a２ b２ 但是 a b 故a２ b２ a b
＝－２,＝１ , ＞ , e＜e, ＞ /⇒e＞e
当a b 时 a b 但是a２ b２ 故 a b a２ b２
＝１,＝－２ ,e＞e, ＜ , e＞e/⇒ ＞
故a２ b２ 是 a b 的既不充分也不必要条件．
“ ＞ ” “e＞e”
．【答案】
３ C
【解析】由已知可得 a b a b 解得a ．
－２＝ ＋i＋ －i, ＝－１
．【答案】
４ C
θ π ２ θ ２ θ
cos(＋ ) cos－ sin θ
【解析】依题意有 θ 且 θ ４ ２ ２ １－tan
tan ＞０, tan ＝ ＝ ＝ θ,
cos( θ － π ) ２ cos θ ＋ ２ sin θ １＋tan
４ ２ ２
故 ２θ θ 结合 θ 解得 θ ．
tan ＋２tan －１＝０, tan ＞０, tan ＝ ２－１
．【答案】
５ B
【解析】因为fx 在R上单调递增 所以当x y x２ ax单调递增 所以a
() , ＜０,＝－ ＋ , ≥０,
当x 时f′x x a 由fx 单调递增可知a
≥０ , ()＝e－ ≥０, () ≤１,
且当x f 所以a的取值范围是 ．故选 ．
＝０,０≤ (０)＝１, [０,１] :B
．【答案】
６ C
【解析】设Pxy 则PA２ PB２ PC２ x ２ y ２ x ２ y ２ x ２ y ２
(,), ＋ ＋ ＝( ＋１)＋( －１)＋( －１)＋( ＋１)＋( －３)＋( －３)＝
x２ y２ x y 故Pxy 的轨迹方程为x ２ y ２ ．
３( ＋ －２ －２ )＋２２＝７０, (,) (－１)＋(－１)＝１８
PA→ PB→ PO→ ２ OA→ ２ PO→ ２ 而 PO 故PA→ PB→ 选 ．
＝ － ＝ －２, ≤３２＋ ２＝４２, ≤３０, C
．【答案】
７ B
【解析】对于 令x 则f 有 个函数值对应 故 错误
A, ＝±１, (e)＝±１, ２ , A ;
对于 取x 可知fx２ x f 再取x 可知fx２ x f 故 错误
C, ＝０, ( ＋２ )＝ (０)＝０, ＝－２, ( ＋２ )＝ (０)＝２, C ;
对于 取x π ５πf ２ 故 错误
D, ＝ , ,(０)＝± , D ;
４ ４ ２
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 １ ( ６ )】
{#{QQABIQIAogCIQAAAAQgCUQVwCAMQkgGCAQgOBAAEoAAAyRNABAA=}#}对于 选项 令t xx 对于每一个t都有唯一的x与之对应 也即有唯一的x３ 与之对应 因此符合函数
B , ＝ ||, , , ＋１ ,
定义 故 正确．
, B
．【答案】
８ A
【解析】不妨设P在第一象限 设PAPB的倾斜角分别为αβ 则 β α APB ２
, , ,, tan(－ )＝tan∠ ＝
２
故tan β －tan α ２ 注意到 α β y P y P y２P １
１＋tan
α
tan
β＝
２
, tantan ＝x
P －３２
x
P ＋３２
＝x２P
－１８
＝
２
,
因此 β α ２ α β ３２ 解得 α ２ β
tan －tan ＝ (１＋tantan )＝ , tan ＝ ,tan ＝ ２,
２ ４ ４
y y
故
x
P
＝
２
, x
P
＝ ２,
代入解得
:
x
＝５２,
yP
＝４
P ＋３２ ４ P －３２
故
△
PAB的面积为S
＝
１
|
AB
||
yP
|＝１２２
．
２
．【答案】
９ ABD
【解析】对于 选项f x fx 正确
A ,(－ )＝－ (), ;
对于 选项f′x x２ a fx 单调递增 正确
B , ()＝３ － ＞０,() , ;
对于 选项f′x 恰有一个解 则a 但此时fx 无极值点 故 错误
C , ()＝０ , ＝０, () , C ;
对于 选项fx xx a x a 存在三个零点 a a 故 正确．
D ,()＝ (＋ )(－ ), ０, ,－ , D
．【答案】
１０ ACD
【解析】对于 A,B 选项 , 根据通项公式 , a m a n ＝ a １ qm －１a １ qn －１ ＝ a２ １ qm ＋ n －２ ＝ a p２ ＝ a２ １ q２ p －２ ,
故 A 正确 ; 若q ＝１, 则a m a n ＝ a p２ 恒成立 , 故 B 错误 ;
对于 由T T 不妨设m n 则a a a 则a a ．
C,D, m ＝ n, ＜ , m ＋１ m ＋２ n ＝１, m ＋１ n ＝１
而T２m
＋ n ＝(
a
１
a
m ＋ n)(
a
２
a
m ＋ n －１)(
a
３
a
m ＋ n －２)(
a
m ＋ n
a
１)＝１,
可知T
m ＋ n ＝１,
反之也成立 故 均正确．
, C,D
．【答案】
１１ AC
【解析】对于 选项 如图 连接PAPB 由α β 可知 APA BPE 故PA PB 以A点为原点 AB
A , １, , , ＝ , ∠ １＝∠ , ＝２ , ,
为x轴 AD为y轴建系 Bb 设Pxy 则x２ y２ x b２ y２ 即 x２ y２ bx b２ 故P
, , (,０), (,), ＋ ＝４(－ )＋４ , ３ ＋３ －８ ＋４ ＝０,
点的轨迹为圆 正确
,A ;
RT
对于 选项 如图 作PT AD于TTR AD 于R 则 γ 同理作PM CD于M MN CD
B , ２, ⊥ , ⊥ １ １ , tan ＝PT, ⊥ , ⊥ １ １
MN
于N 则 θ 由γ θ可知 PT PM 故P为 ADC的平分线 点P的轨迹为直线 错误
, tan ＝PM, ＝ , ＝ , ∠ , ,B ;
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ２ ( ６ )】
{#{QQABIQIAogCIQAAAAQgCUQVwCAMQkgGCAQgOBAAEoAAAyRNABAA=}#}AA MN
对于 选项 如图 α １ θ 由α θ可知 PM PA 根据抛物线的定义可知点P的轨迹为
C , ３,tan ＝PA,tan ＝PM, ＝ , ＝ ,
抛物线 正确
,C ;
对于 选项 由 选项可知PM PB 显然不是直线 错误．
D , C ＝２ , ,D
．【答案】 １３
１２ －
８
【解析】λa b λ λ 由 a b b 得 λ λ 解得λ １３．
＋ ＝(＋２,２ ＋３), (２ ＋ ) ＝０, ２(＋２)＋３(２ ＋３)＝０, ＝－
８
．【答案】
１３ [４,＋∞)
y a２ a２ a
【解析】x ４ x ４ x ４ a 故 a 即a ．
＋x＋xy≥ ＋２ x２ ＝ ＋x≥４ , ４ ≥８, ≥４
．【答案】２π
１４
３
【解析】考虑fx 的周期为 不妨设x
() π, ∈[０,π],
f′x ２x x x x x ２x x ２x ２x x
()＝２cos cos２ －２sincos sin２ ＝２cos (cos２ －２sin )＝２cos (２cos２ －１)
é ù
令f′x 即 x １ 解得x ê êπ ５π ú ú 故b a ２π．
()≤０, cos２ ≤ , ∈ë , û, － ≤
２ ６ ６ ３
．【解析】 因为 B C 所以 b c 分
１５ (１) ２sin ＝ ３sin , ２ ＝ ３ , ２
又b２ c２ a２ 所以b ac a 分
＋ ＝５ , ＝ ３ ,＝ ２ , ４
b２ c２ a２ a２ a２
从而 A ＋ － ５ － ６． 分
cos ＝ bc ＝ a a＝ ６
２ ２３ ２ ３
由余弦定理可知b２ c２ bc A a２ 则bc A a２ 分
(２) ＋ －２ cos ＝ , cos ＝２ , ７
又AB→ AC→ bc A 故a 分
＝ cos ＝８, ＝２, ８
即b２ c２ 故 bc 即bc 分
＋ ＝２０, ２ ≤２０, ≤１０, １０
从而S △ ABC ＝ １bc sin A ＝ １ b２c２ －( bc cos A ) ２ ＝ １ b２c２ －６４≤３, １２ 分
２ ２ ２
当b c 时取等号 即 ABC的面积的最大值为 ． 分
＝ ＝ １０ , △ ３ １３
( )
．【解析】 法一 由PA PO可得P ３ 设直线ly kx ３ 分
１６ (１) : ２＝ １, , :＝ (－１)＋ , １
２ ２
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ３ ( ６ )】
{#{QQABIQIAogCIQAAAAQgCUQVwCAMQkgGCAQgOBAAEoAAAyRNABAA=}#}( )
联立椭圆方程 x２ y２ 得 x２ kx k ３ ２
３ ＋４ ＝１２ ３ ＋４ － ＋ ＝１２,
２
即 k２x２ k x k ２ ． 分
(３＋４ ) －(８ －１２)＋(２ －３)－１２＝０ ３
由 k ２ k２ k ２ 解得k １ 分
Δ＝(８ －１２)－４(３＋４ )[(２ －３)－１２]＝０, ＝－ , ６
２
因此直线l的方程为y １x ． 分
:＝－ ＋２ ７
２
x
法二 x２ y２ 则y １ x２ y′ １ －３ 令x 则y′ １ 分
:３ ＋４ ＝１２, ＝
２
１２－３ , ＝
２
１２－３
x２ , ＝１, ＝－
２
, ５
故直线l的方程为y １x 分
:＝－ ＋２, ７
２
依题意 直线MN的方程为y １x 联立椭圆 x２ y２ 可得x２ 即x
(２) , ＝－ , ３ ＋４ ＝１２ ＝３, ＝± ３,
２
( ) ( ) ( )
即M ３ N ３ P ３ A ． 分
－ ３, , ３,－ , １, ,１(－２,０) ９
２ ２ ２
设圆的方程为x２ y２ Dx Ey F 代入A P M 可得
＋ ＋ ＋ ＋ ＝０, １, , :
ì
ì ï ï D １
１３ D ３E F ï ＝
ï ＋ ＋ ＋ ＝０ ï ８
ï ４ ２
ï
ï ï
í D F 解得íE １ 分
ï ４－２ ＋ ＝０ , ï ＝ , １３
４
ï ï
ï ï
ï１５ D ３E F
î － ３ ＋ ＋ ＝０ ïïF １５
４ ２ î ＝－
４
此时圆方程为x２ y２ １x １y １５ 因为点N也在此圆上 所以P M A N四点共圆
＋ ＋ ＋ － ＝０, , , ,１, ,
８ ４ ４
( ) ( )
其标准方程为 x １ ２ y １ ２ ９６５． 分
＋ ＋ ＋ ＝ １５
１６ ８ ２５６
．【解析】证明 设AC BD OOP EF Q 过点D作DH BQ于H
１７ :(１) ∩ ＝ , ∩ ＝ , ⊥ ,
由面PBD 面BEF 且面PBD 面BEF BQ 故DH 面BEF
⊥ , ∩ ＝ , ⊥ ,
即DH EF 分
⊥ ; ２
因为EF分别为PAPC的中点 因此EF AC 因此DH AC． 分
, , , ∥ , ⊥ ４
由底面ABCD为正方形可知AC BD 因此AC 面PBD 分
⊥ , ⊥ ５
由PO 面PBD 故AC PO
⊂ , ⊥ ,
因为O为AC的中点 因此PA PC 分
, ＝ ; ６
不妨设AB 以O为坐标原点 OA为x轴 OB为y轴建立空间直角坐标系 则A B
(２) ＝ ２, , , , (１,０,０), (０,１,０),
C D 分
(－１,０,０), (０,－１,０), ７
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ４ ( ６ )】
{#{QQABIQIAogCIQAAAAQgCUQVwCAMQkgGCAQgOBAAEoAAAyRNABAA=}#}由 可知 点P在yOz平面内 设P y z 由PB２ PD２
(１) , , (０,０,０), ＝２ ,
即y ２ z２ y ２ z２ 即y ２ z２
(０－１)＋ ０＝２(０＋１)＋２０, (０＋３)＋ ０＝８,
当P ABCD的体积最大时z 分
－ ,０＝２２, １０
( ) ( )
此时P 则E １ ３ F １ ３
(０,－３,２２), ,－ ,２ , － ,－ ,２ ,
２ ２ ２ ２
( )
则FE→ BE→ １ ５ AB→
＝(１,０,０), ＝ ,－ ,２ , ＝(－１,１,０)
２ ２
ì ì ï a b
ï ï m AB→ ＝０ ï － ＋ ＝０
设面PAB的法向量为m abc 则í 即í
＝(,,), ïï , ï ,
îm BE→ ＝０ î ï１a － ５b ＋ ２ c ＝０
２ ２
令a 则m ． 分
＝１, ＝(１,１,２) １２
ì ì ï x
ï ï n FE→ ＝０ ï ＝０
设面BEF的法向量为n xyz 则í 即í
＝(,,), ïï , ï ,
în BE→ ＝０ î ï１x － ５y ＋ ２ z ＝０
２ ２
令z 则n 分
＝５, ＝(０,２２,５), １４
m n
则 mn ７２ ７ ６６
cos＜ ,＞＝ m n ＝ ＝ ,
| ||| ４ ３３ ６６
即平面PAB与平面BEF的夹角的余弦值为７ ６６． 分
１５
６６
．【解析】 依题意R a a 又R a a 分
１８ (１) ＝ln５＋ln５＝ln１６, ＝ln１＋ln９, ２
所以 a R 即a ． 分
ln９＝ ＝ln１６, ９＝１６ ４
a a
依题意b m － i ＋１ 则b i 因此bb 分
(２)(i) i ＝ a i , m ＋１－ i ＝a m i , i m ＋１－ i ＝１, ６
＋１－
从而 b b 即数列b 是一个项数为m的对数等和数列． 分
ln i ＋ln m ＋１－ i ＝０, {n} ７
( )m
(ii) 依题意 , b m ＝ b １ qm －１ ⇒ １ ＝１０２４ １ －１ ,
１０２４ ４
( )m ( )
即 １ －１ １ ２０ 即m 分
＝ , ＝１１, １０
４ ２
则b
i ＝１０２４
qi
－１ ＝４ ６－
i
, １１
分
又R 故 a a 即aa
＝０, ln i ＋ln m ＋１－ i ＝０, i m ＋１－ i ＝１,
a
此时b i ＝ m a － i i ＋１ ＝a １ i２ , 即a i２ ＝b １ i＝４ i －６ , a i ＝２ i －６ , １３ 分
注意到i i －６ i i －５ i i －６ 分
×２ ＝(－１)２ －(－２)２ , １５
m
所以 i∑ ia i ＝i∑ １１ i ×２ i －６ ＝i∑ １１ [( i －１)２ i －５ －( i －２)２ i －６ ]＝１０×２ ６ －(－１)×２ －５ ＝ ２０４８１． １７ 分
＝１ ＝１ ＝１ ３２
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ５ ( ６ )】
{#{QQABIQIAogCIQAAAAQgCUQVwCAMQkgGCAQgOBAAEoAAAyRNABAA=}#}( )
．【解析】 依题意fx x xf′x x x １ 分
１９ (１) ()＝eln , ()＝e ln ＋x , １
x
设px x １ 则p′x １ １ －１ 分
()＝ln ＋x, ()＝x－x２＝ x２ , ２
当 x 时px 单调递减 当x 时px 单调递增
０＜ ＜１ ,() , ＞１ ,() ,
故px p 即f′x fx 单调递增． 分
()≥ (１)＝１＞０, ()＞０,() ４
设a tt 则fx １tx x
(２)(i) ＝e(≠０), ()＝teln ,
tx tx( )
则f′x tx x e e x x １ ． 分
()＝eln ＋tx＝x ln ＋t ５
( ) ( )
设gx x x 则g′x x 即gx 在 １ 上单减 在 １ 上单增 分
()＝ ln , ()＝１＋ln , () ０, , ,＋∞ , ６
e e
当t 时 令gx １ 由g 且gx 在 上单调递增
＜０ , ()＝－t, (１)＝０, () (１,＋∞) ,
故gx １仅有一个零点x 不符合题意 分
()＝－t ０, ; ７
é ö
当t 时gx ê ê １ ÷
＞０ ,()∈ë－ ,＋∞ø,
e
当t 时 则 １ １ 此时gx １f′x
① ≤e , －t≤－ , ()≥－t, ()≥０,
e
fx 单调递增 不符合题意 分
() , ; ８
当t 时 则 １ １ 此时gx １存在两个零点x x
② ＞e , － ＜－t＜０, ()＝－t １＜ ２,
e
当x x 时gx １f′x 当x x x 时gx １f′x
∈(０,１) ()＞－t, ()＞０; ∈(１,２) ,()＜－t, ()＜０;
当x x 时gx １f′x fx 存在两个极值点 符合题意．
∈(２,＋∞) ,()＞－t, ()＞０,() ,
综上可知a e ． 分
,∈(e,＋∞) １０
( )
由 可知M fx 且x １ 满足x x １
(ii) (i) ＝ (１), １∈ ０, , １ln １＝－t,
e
故M ＝ f ( x １)＝t １ e tx １ ln x １＝－ x １(ln x １) ２ e －ln x１ １, １２ 分
设r x 则M r１ － rr２ ２ln r － r ＋r１ 分
＝－ln １∈(１,＋∞), ＝－e ＝－e , １４
r ２
设hr r r １ 则h′r ２ １ (－１) 分
()＝２ln － ＋r, ()＝r－１－r２＝－ r２ ＜０, １６
故hr 单调递减 且h 则hr
() , (１)＝０, ()∈(－∞,０),
即M ２ln r － r ＋r１ ． 分
＝－e ∈(－１,０) １７
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ６ ( ６ )】
{#{QQABIQIAogCIQAAAAQgCUQVwCAMQkgGCAQgOBAAEoAAAyRNABAA=}#}
