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数学答案
1【答案】 ．【详解】由 可得： ，所以 ，
由 可得： ，所以 ， ，所以 ， ．故选： ．
2【答案】 ．【详解】 复数 满足 ，
， ．故选： ．
3【答案】 ．【详解】 ，
，即 ， 非负实数 ， ， ， ，
，
当且仅当 时取等号， 的最小值为2．故选： ．
4【答案】D【详解】由 得 ，因此可
知 方向相反，且 ，
对于A, ，由于 与 的关系不确定，故A错误，
对于B，由于 ，故B错误，
对于C， ，所以 ，故C错误，
对于D， ，故D正确，故选：D
5【答案】 ．【详解】根据辅助角公式可知，，
由题意可知 ，
所以 ，
对于 项，当 时， ， 正确；
对于 项，令 ，此时函
数 单调递增，故 正确；
对 于 项 ， ， ， 则 当 时 ，
，此时 有两个零点，即
，
正确．
故选： ．
6．【答案】 ．【详解】由题意，令 ，则方程 的解
为1，
所以 ，解得 ，
故可得 ，显然当 时， ；
当 时， ；当 时， 或4．由题意可得 ．故选： ．
7【答案】B．【详解】因为 ，则 ，
由 ，得x ＞1，x ＞0，作函数 的图象，同时
2 3作出y＝m，如上图，变换m的值可以发现x ＞x ＞x ，x ＞x ＝x ，x ＞x ＞x
3 2 1 2 1 3 2 1 3
均能够成立，x ＞x ＞x 不可能成立．故选：B．
3 1 2
8【答案】 ．【详解】因为 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
以 所在直线为 轴， 轴经过点 ，则 ，
设 ，
可得
则 表示 轴上的点 与 和 的距离和，
利用对称性 关于 轴的对称点为 ，
可得 的最小值为 ．
故选： ．
9【答案】 ．【详解】 ，， ， ，与向量 平行的单位向量为
，向量 在 方向上的投影向量为 ．
故选： ．
10【答案】 ．【详解】 ．因为 ，所以
， ，又 ，所以 ， 错；
．若 ，且 ，则 ，三角形有两解， 正确；
．若 为锐角三角形，则 ， ，所以 ，
， ， ， 正确；
． 若 为 边 上 的 中 点 ， 则 ，
，
又 ， ，
， ，当且仅当 时
等号成立，
所以 ，所以 ，当且仅当
时等号成立， 正确．
故选： ．11．【答案】 ．【详解】由题意 得
，
由于 有两个不同的极值点 ， ，
即 有2个正数根 ， ，则 ， ，
故需满足 ，解得 ，
对于 ， ， 错误；
对于 ，故 ，
令 ， ，
即 在 上单调递减，故 ，
即 ， 正确；
对于 ，
， 正 确 ； 对 于 ，
，
可看作曲线 上两点 ， ， ， 连线的斜率，由于 ，故不妨设 ， ，
由于 ，则曲线 在 处的切线斜率为1，
由于 ， ，故 ， ， ， 连线的斜率小于1，
即 ，所以 ，即 ， 正确．
故选： ．
12．【答案】 【详解】解：因为 且 ，
所以 ，
又因为 ，所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以
.
13.【答案】 【详解】已知 ， 满足 ， ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
2 2 2 2 2 2
14．【答案】8【详解】解：因为a +b +ab＝c ，即a +b ﹣c ＝﹣ab ，
2 2 2
由余弦定理可得a +b +﹣c ＝2abcosC，所以cosC＝﹣ ，而C （0， ），
∈ π
所以C＝ ，
因为 • ＝| |•| |cos（ ﹣C）＝﹣bacosC＝ ab，由S△ABC ＝ absinC＝
π（b+a）•CMsin ，即 ab＝ •2（a+b），
可得ab＝2（a+b）≥2•2 ，当且仅当a＝b时取等号，即ab≥16，
所以 • ＝ ab≥ •16＝8．即 • 的最小值为8．
15．【详解】（1）等差数列 的前 项和为 ， ，
，
，-------------------------3分
解得 ， ，----------------------6分
． 的通项公式为 ．----------------------8分
（2） ，----------------------10分
数列 的前 项和为：
．--13
分
16 ． 【 详 解 】 （ Ⅰ ） 因 为 ， 由 正 弦 定 理 可 得
，2分
又 ，
所以 ，可得 ，------4
分
又 ，所以可得 ，又 ，所以 ；-----6分
（Ⅱ）因为 ， ，由正弦定理 ，可得 ， ，-----8分
又 ，所以 ，可得 ，-----10分
由 余 弦 定 理 ， 可 得
，---13分
所以 ．-----15分
17.【详解】（1）由已知得 ，则 ，又
，-----2分
所以 的图象在点 处的切线方程为 ，-----4分
将点(2,1)代入得 ，解得 .-----6分
（2）所以 ，定义域为 ，
所以 ，-----8分
令 ，则 ，
易得 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，-----10分
又 ，所以当 时， ，即 ， 在 上单调递减，
当 时， ，即 ， 在 上单调递增，-----13分
所以 的极小值为 ，无极大值.-----15分
18．【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得： ，-----2分所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，-----4分
即 ，所以 ，-----6分
因为 ，所以 ，可得 ；-----8分
（2）因为 ， ，所以 的面积 ，-----10分
由正弦定理得 ．-----12分
由于 为锐角三角形，故 ， ，
因为 ，所以 ，----14分
可得 ， ，可得 ，-----16分
从而 ．因此， 面积的取值范围是 ， ．-----17分
19．【详解】（1）证明：设 ，-----2分
当x （0， ）时， ，
∈ π
所以g（x）在（0， ）上单调递减．-----4分
π又因为 ，
所以g（x）在 上有唯一的零点a，-----6分
即函数f′（x）在（0， ）上存在唯一零点，
当x （0，a）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，a）上单调递增；
π
当x （a， ）时，f′（x）＜0，f（x）在（a， ）上单调递减，
∈
所以f（x）在（0， ）上存在唯一的极大值点a．-----8分
∈ π π
（2）①由（1）知：f（x）在（0， ）上存在唯一的极大值点
π
π
，
所以 ，
又因为 ，
所以f（x）在（0，a）上恰有一个零点，-----10分
又因为f（ ）＝ln ﹣ ＜2﹣ ＜0，
所以f（x）在（a， ）上也恰有一个零点．-----12分
π π π π
②当x [ ，2 ）时，则sinx≤0，f（x）≤lnx﹣x，
π
∈ π π
设 ，
所以h（x）在[ ，2 ）上单调递减，所以h（x）≤h（ ）＜0，
所以当x [ ，2 ）时，f（x）≤h（x）≤h（ ）＜0恒成立，
π π π
所以f（x）在[ ，2 ）上没有零点．-----14分
∈ π π π
③当x [2 ，+∞）时，f（x）≤lnx﹣x+2，
π π
∈ π
设 ，
所以 （x）在[2 ，+∞）上单调递减，
所以 （x）≤ （2 ）＝ln2 ﹣2 +2＜2﹣2 +2＝4﹣2 ＜0，
φ π
所以当x [2 ，+∞）时，f（x）≤ （x）≤ （2 ）＜0恒成立，
φ φ π π π π π
所以f（x）在[2 ，+∞）上没有零点．-----16分
∈ π φ φ π
综上，f（x）有且仅有两个零点．-----17分
π
