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2024 年湖北云学名校联盟高二年级 10 月联考
数学试卷
命题学校：武汉二中 命题人：李凯丰 陈莉 张鹄 审题人：夷陵中学 王方 杨晓璐
考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 为虚数单位， 的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.
【详解】根据复数的乘方可知 ，
则 ，其虚部为 .
故选：C
2. 已知一组数据：2，5，7， ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平均数求 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值.
【详解】因为 .
所以数据为：2，5，6，7，10.
又因为 ，所以这组数据的第60百分位数为： .
故选：B
3. 直线 ： ， ： ，若 ，则实数 的值为（ ）.
A 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线垂直的公式 求解即可.
【详解】因为 ： ， ： 垂直，
所以 ，
解得 或 ，
将 ， 代入方程，均满足题意，
所以当 或 时， .
故选： .
4. 为了测量河对岸一古树高度 的问题（如图），某同学选取与树底 在同一水平面内的两个观测点
与 ，测得 ， ， ，并在点 处测得树顶 的仰角为 ，则树高
约为（ ）（取 ， ）
A. 100.8m B. 33.6m C. 81.6m D. 57.12m
【答案】D
【解析】
【分析】先在 中，利用正弦定理求出 ，再在 中求 即可.【详解】在 中， ， ，所以 ，又 ，
由正弦定理得： .
在 中， .
故选：D
5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A. P在圆外
B. P在圆上
C. P在圆内
D. P与圆的位置关系不确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得 ，所以点 在圆外
考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系
6. 在棱长为 的正四面体 中，点 与 满足 ，且 ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以 为基底，表示出 ，利用空间向量的数量积求模.
【详解】如图：以 为基底，则 ， ，
所以 .
因为 .
所以
.
所以 .
故选：D
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. ，则 ；
B. 若点 、 、 、 共面，点 、 、 、 共面，则点 、 、 、 、 共面；
C. 若 ，则事件 与事件 是对立事件；
D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 ；
【答案】D
【解析】
【分析】举反例说明ABC不成立，根据古典概型的算法判断D是正确的.【详解】对A：若 ， ，则 ，但 不成立，故A错误；
对B：如图：
四面体 中， 是棱 上一点，
则点 、 、 、 共面，点 、 、 、 共面，但点 、 、 、 、 不共面，故B错误；
对C：掷1枚骰子，即事件 ：点数为奇数，事件 ：点数不大于3，
则 ， ， ，但事件 、 不互斥，也不对立，故C错误；
对D：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有 种选法，
这三条线段能构成一个三角形的的选法有： ， ， 共3种，
所以条线段能构成一个三角形的的概率为： ，故D正确.
故选：D
8. 动点 在棱长为3的正方体 侧面 上，满足 ，则点 的轨迹长
度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，计算出 ，由点 平面 ，得出点 的轨迹为圆弧 ，利用弧
长公式计算即得.【详解】
如图，易得 平面 ,因 平面 ，则 ，
不妨设 ，则 , ，解得 ，
又点 平面 ，故点 的轨迹为以点 为圆心，半径为 的圆弧 ,
故其长度为 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 ；
B. 已知 ， ，若直线 ： 与线段 有公共点，则 ；
C. 过点 ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 的方程为 ；
D. 若圆 上恰有3个点到直线 的距离等于1，则 ．
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线是否存在斜率判断A的真假；数形结合求 的取值范围判断B的真假；根据截距的概念
判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求 判断D的真假.
【详解】对A：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 ”成立的前提是两条直线的斜率都存在且不为0，
若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A是错误的.
对B：如图：
对直线 ： ，表示过点 ，且斜率为 的直线，
且 ， ，
由直线 与线段 有公共点，所以： 或 ，即 或 ，进而得：
.故B正确；
对C：过点 ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 的方程为 或 ，故C错误；
对D：“圆 上恰有3个点到直线 的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线
的距离等于1”.由 .故D正确.
故选：BD
10. 如图所示四面体 中， ， ， ，且 ，
， 为 的中点，点 是线段 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ；
B. 当 是靠近 的三等分点时， ， ， 共面；
C. 当 时， ；
D. 的最小值为 ．
【答案】BCD
【解析】
【分析】以 为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方
法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假.
【详解】以 为基底，则 ， ， , .
对A：因为
.
所以 ，故A错误；
对B：当 是靠近 的三等分点，即 时，，
又 ，所以 .故 ， ， 共面.故B正确；
对C：因为
，
所以：
，
所以 ，故 ，故C正确；
对D：设 ， .
因为：
.
所以 ，
.
当 时， 有最小值，为： ，故D正确.故选：BCD
11. 已知 是圆 ： 内一点，其中 ，经过点 的动直线 与
交于 ， 两点，若|AB|的最小值为4，则（ ）
A. ；
B. 若|AB|=4，则直线 的倾斜角为 ；
C. 存在直线 使得 ；
D. 记 与 的面积分别为 ， ，则 的最大值为8．
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点 在圆内，列不等式，可求 的取值范围，在根据弦|AB|的最小值为4求 的值，
判断A的真假；明确圆的圆心和半径，根据 ，可求直线 的斜率，进而求直线 的倾斜
角，判断B的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C的真假；由三角形面积公式
和相交弦定理，可求 的最大值，判断D的真假.
【详解】对A：由 .
此时圆 ： .
因为过 点的弦|AB|的最小值为4，所以 ，
又 ，由 .故A正确；
对B：因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ，故B错误；
对C：当|AB|=4时，如图：， ，所以 ，
所以 为锐角，又随着直线 斜率的变化， 最大可以为平角，
所以存在直线 使得 .故C正确；
对D：如图：
直线 与圆 交于 、 两点，链接 ， ，
因为 ， ，所以 .
所以 .
又 ， ，
且 .
所以 ，当且仅当 ，即 时取“ ”.故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：在求 的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出
为定值，再结合三角形的面积公式求 的最大值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 实数 、 满足 ，则 的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 几何意义为圆上的点 与 距离的平方，找出圆上的与
的最大值，再平方即可求解.
【详解】解：由题意知：设 ， ，
则 为圆 上的点，
圆 的圆心O(0,0),半径 ，
则 表示圆上的点 与 距离的平方，
又因为 ,
所以 ；
故 的最大值是 .
故答案为： .
13. 记 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，其中，若 的面积 ， ，且 ，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理对 化简，可得 ，再由三角形面积公式求出 ，
根据题意写出 ，等式两边平方后，可求出 的值，由余弦定理
，求出 的长.
【详解】 ,
由正弦定理可得: ，
，
，
,
，即 , ，
,得 ，
∵ ，∴ ， ，
即 ，由 ，解得 或 ，根据余弦定理 ，
当 时， ，此时 ，不满足题意，
当 时， .
故答案为： .
14. 如图，已知四面体 的体积为 ， ， 分别为 ， 的中点， 、 分别在 、
上，且 、 是靠近 的三等分点，则多面体 的体积为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】多面体 的体积为三棱锥 与四棱锥 的体积之和，根据体积之比与
底面积之比高之比的关系求解即可.
【详解】
连接 ， ，
因为 为AD上的靠近 的三分点，所以 ，因为 为AB的中点，所以点 到AD的距离为点 到AD的距离的一半，
所以 ，
又 为CD上靠近 的三分点，
1
所以点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的 ，
3
所以 ，
，
所以 ，
所以多面体 的体积为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求
解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取
100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为
13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．
【答案】（1）14 （2）16
【解析】
【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.
（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.
【小问1详解】样本中男生的人数为： ；女生的人数为： .
所以总样本的平均数为： .
【小问2详解】
记总样本的方差为 ，
则 .
所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.
16. 在平面直角坐标系 中， 的顶点 的坐标为 ， 的角平分线所在的直线方程
为 ， 边上中线 所在的直线方程为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求直线 的方程．
【答案】（1） ；
.
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，则 ，代入 ，求解即可；
（2）设直线 的方程为： ，在直线 取点 ，利用点 到直线 的
距离等于点 到直线 的距离，求解即可.
【小问1详解】
解：由题意可知点 在直线 上，所以设 ，
所以 中点 ，
又因为点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以 ；
【小问2详解】
解：因为 ，
设直线 的方程为： ，
又因为 ，
所以直线 的方程为： ，
又因为 的角平分线所在的直线方程为 ，
在直线 取点 ，
则点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
即有 ，整理得 ，
解得： 或 ，当 时，所求方程即为直线 的方程，
所以 ，
所以直线 的方程为： .
17. 直三棱柱 中， ，其中 分别为棱 的中点，已
知 ，
（1）求证： ；
（2）设平面 与平面 的交线为直线 ，求直线 与直线 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 证得四边形 为平行四边形，得到 ，利用
，证得 ，得到 ，即可证得 ；
（2）根据题意，证得 平面 ，得到 ，以A为原点，建立空间直角坐标系，求得
，再取 的中点 ，延长 交于点 ，得到直线 与直线 所成角，即为直线与直线 所成角，求得 ，得到 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：取 的中点 ，连接 ，
因为 的中点，可得 ，且 ，
又因为 ，且 ，所以 ，且 ，
为
所以四边形 平行四边形，所以 ，
在正方形 中，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在
中，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
【小问2详解】
解：在直三棱柱 中，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
即直三棱柱 的底面为等腰直角三角形，
以A为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为 ，可得 ，则 ，
取 的中点 ，连接 ，可得 且 ，因为 且 ，所以 ，且 ，
延长 交于点 ，可得 为 的中点，
连接 ，可得 即为平面 与平面 的交线，
所以直线 与直线 所成角，即为直线 与直线 所成角，
又由 ，
设 ，可得 ，即 ，
可得 ，所以 ，可得 ，
设直线 与直线 所成角为 ，
可得 ，
即直线 与直线 所成角的余弦值为 .
18. 已知圆 ： ，过直线 ： 上的动点 作圆 的切线，切点分别为 ， ．（1）当 时，求出点 的坐标；
（2）经过 ， ， 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
（3）求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】（1） 或
（2）过定点 或
（3）
【解析】
【分析】（1）点 在直线 上，设 ，由对称性可知 ，可得 ，从而可得
点 坐标．
（2） 的中点 ，因为 是圆 的切线，进而可知经过C，P，M三点的圆是以Q为圆
心，以MC为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到
结果；
（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线 的方程，且得直线 过定点 ，由几何性质得
，即点N在以 为直径的圆上，进而可得结果.
【小问1详解】
（1）直线 的方程为 ，点 在直线 上，设 ，
因为 ，由对称性可得：由对称性可知 ，
由题 所以 ，所以 ，
解之得： 故所求点 的坐标为 或 ．
【小问2详解】
设 ，则 的中点 ，因为 是圆 的切线，
所以经过 三点的圆是以 为圆心，以 为半径的圆，
故圆E方程为：
化简得： ，此式是关于 的恒等式，
故 解得 或 ,
所以经过 三点的圆必过定点 或 ．
【小问3详解】
由
可得 ： ，即 ，
由 可得 过定点 .因为N为圆 的弦 的中点，所以 ，即 ，
故点N在以 为直径的圆上，
点N的轨迹方程为 .
19. 四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，侧面 为正三角形；
（1）当 时，线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（2）当 与平面 所成角最大时，求三棱锥 的外接球的体积．
【答案】（1）存在；1.
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平面 平面 ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空
间向量，结合线面角的求法确定点 的位置.
（2）根据 与平面 所成角最大，确定平面 平面 ，利用（1）中的图形，设三棱锥
的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.
【小问1详解】因为底面 为等腰梯形， ，
所以 ， ， ，所以 .
所以 ，
又 ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
取 中点 ，因为 是等边三角形，所以 ，
平面 平面 ，
所以 平面 .
再取 中点 ，连接 ，则 ，所以 .
所以可以 为原点，建立如图空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， ， .
.
设 ，可得
所以 ，取平面 的法向量 .因为 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
所以：线段 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 .
【小问2详解】
当平面 平面 时, 与平面 所成角为 .
当平面 与平面 不垂直时，过 做 平面 ，连接 ，
则 为 与平面 所成角，因为 ，
， ， ，所以 .
故当平面 平面 时， 与平面 所成角最大.
此时，设棱锥 的外接球球心为 ， ,
所以 ，解得
.
所以三棱锥 的外接球的体积为： .
【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，
根据球心到各顶点的距离相等列方程求解.
