文档内容
2024-2025 学年湖北省云学部分重点高中高二 12 月联考数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
x2 y2
1.椭圆 + =1的长轴长为( )
7 9
A. √ 7 B. 3 C. 2√ 7 D. 6
2.在空间直角坐标系O−x yz中，点(1,−2,3)关于y轴的对称点为( )
A. (−1,−2,−3) B. (−1,2,−3) C. (−1,−2,3) D. (1,2,3)
3.在四棱台ABCD−A B C D 中，一定能作为空间向量的一个基底的是( )
1 1 1 1
A. ⃗ ⃗ ⃗ B. ⃗ ⃗ ⃗
{AB,AD,B D } {AB,A A ,C D }
1 1 1 1 1
C. ⃗ ⃗ ⃗ D. ⃗ ⃗ ⃗
{AB,A A,A D } {A A ,AC,CC }
1 1 1 1 1
4.树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，
如图，已知考试分数均在区间[65,135]内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则( )
A. X>Y B. X=Y
C. X0) M.
⃗ ⃗ ， |FB|=5 ，则 |AB|=( )
FM=3F A
25 15 20 35
A. B. C. D.
3 2 3 6
8.点P是正方体ABCD−A B C D 的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若
1 1 1 1
A
⃗
B⋅A
⃗
P=2
，AP与平面ABCD所成的角为
30∘
，则点P的轨迹的形状是
( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，
部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.随机事件A，B满足P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.8，则有( )
A. P(AB)=0.2 B. P(AB)=0.24 C. A，B不是互斥事件 D. A，B相互独立
10.平行六面体ABCD−A B C D 所有棱长都等于1，∠A AB=∠A AD=∠BAD=60∘，如图，
1 1 1 1 1 1
则有( )
A. |BD |=2
1
B. BD ⊥CD
1C. 平面A A C C⊥平面BB D D
1 1 1 1
√ 2
D. 平行六面体ABCD−A B C D 的体积为
1 1 1 1 2
11.在平面直角坐标系内，动点P到两定点F (−2,0)，F (2,0)的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线
1 2
C.曲线C与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B. |OA|=√ 6
3
C. 当点P位于B点处时，∠F PF 最大 D. 点P到x轴的最大距离为
1 2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线y=kx+1将△AOB分割成面积相等的两部分(O为坐标原点)，则k=
.
13.在直棱柱ABC−A B C 中，AB=AC=√ 7，BC=4，BB =2，D为B C 中点，则直线BD，
1 1 1 1 1 1
A C所成角的余弦值为 .
1
14.双曲线 x2 y2 的左，右焦点分别为 ， ，P是双曲线E的右支上的一点， 的内切圆
E: − =1 F F △PF F
a2 b2 1 2 1 2
圆心为I(1,2)，记△PF I，△PF I的面积分别为S ，S ，则S −S = .
1 2 1 2 1 2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点P(1,1)，离心率e=√ 3.求双曲线C的方程，及其焦点坐标和渐
近线方程.
16.(本小题15分)7 1
甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为 ，答对第2道题的概率为 ，乙
10 2
3
答对每道题的概率都为 .甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响.
5
(1)求甲答对一道题的概率;
(2)求甲乙两人答对题目的个数相等的概率.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
BC//AD，AD=2，AB=BC=1，经过点C的平面α与侧棱PA、PB、PD分别相交于点Q、E、F，
且BD//平面α.
(1)求证：PA⊥平面ABCD;
√ 3
(2)若平面α与平面PAC的夹角为θ，且cosθ= ，求线段AQ的长度.
618.(本小题17分)
如图，已知圆M:(x−2) 2+(y−1) 2=25，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦AB，CD.
(1)求证：|AB|2+|CD|2为定值;
(2)当AC//BD时，求直线AC的方程和直线BD的方程.
19.(本小题17分)
已知直线l:y=kx+b与圆O:x2+ y2=1相切.
(1)求k2−b2的值;
x2 y2 x x y y
(2)已知椭圆E: + =1在点P(x ,y )处的切线方程为 0 + 0 =1，若直线l与椭圆E相交于A，B
4 3 0 0 4 3
两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程;(3)是否存在这样的二次曲线F:λx2+μ y2=1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有
OM⊥ON?若存在，求出λ+μ的值;若不存在，请说明理由.答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的方程以及性质，属于基础题．
根据椭圆的方程即可求解．
【解答】
解：由已知可得：a2=9，所以a=3，所以椭圆的长轴长为2a=6，
故选D.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间中点的对称，属于基础题．
根据一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，求解即可．
【解答】
解：∵一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，
∴点(1,−2,3)关于y轴对称的点的坐标为(−1,−2,−3)，
故选：A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基底，属于基础题.
根据空间向量的基底的定义对选项逐项判断即可.
【解答】
解：对于四棱台ABCD−A B C D ，
1 1 1 1
A选项中， ⃗ ， ⃗ ， ⃗ 共面，不符合要求；
AB AD B D
1 1
B选项中 ⃗ ， ⃗ 可能共线，不符合要求;
AB C D
1 1
D选项中， ⃗ ， ⃗ ， ⃗ 共面，不符合要求，
A A AC CC
1 1
故选C.4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图，平均数、中位数，属于基础题.
计算出Y的值，估计出X的范围，即可判断.
【解答】
0.075
解：Y =85+ ×10=88，
0.25
X>70×0.2+80×0.225+90×0.25+100×0.125+110×0.1+115×0.1=89.5，
∴X>Y，
故选A.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求圆的标准方程，属于基础题.
求出动直线l恒过定点(1,1)，即圆的圆心，结合圆半径即可得圆方程.
【解答】
解：动直线l:(k+2)x−(k−1)y−3=0，即k(x−y)+(2x+ y−3)=0，
{ x−y=0 {x=1
由 ⇒ ，即动直线l恒过定点(1,1)，
2x+ y−3=0 y=1
因为动直线l:(k+2)x−(k−1)y−3=0被定圆C截得的弦长等于2，
则定点(1,1)为圆的圆心，半径为1，
故圆C的方程为 ，
(x−1) 2+(y−1) 2=1
故选B.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.
根据点到直线的距离公式分情况即可判断.
【解答】
解：当直线l的斜率不存在时，设其方程为x=a，
由题意可知|a−(−2)|=1且|a−2|=3，则a=−1使得两个式子同时成立.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，即kx−y+b=0，因为点A(−2,0)到直线l的距离
为1，
所以
|−2k+b|
=1
①
.
√ k2+(−1) 2
因为点
B(2,0)
到直线l的距离为3，所以
|2k+b|
=3
②
.
√ k2+(−1) 2
① |−2k+b| 1
由 得 = ，则b=4k或b=k.
② |2k+b| 3
当b=4k时，
√ 3
代入①中，得3k2−1=0，该方程有2个不相等的实数根，即k=± ;
3
当b=k时，代入①中，得k2=k2+1，该方程无解.
所以这样的直线l共有3条，
故选C.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查抛物线中的线段长问题，属于基础题.
p2 p
根据抛物线的几何性质得出x x = ，根据已知条件得出x = ，利用抛物线的定义得出p，再利用抛物
A B 4 A 3
线的定义即可得出结论.
【解答】
解：设A(x ,y )，B(x ,y )，
A A B B
抛物线的焦点 (p )，直线AB的方程为 p，
F ,0 x=m y+
2 2{ p
由
x=m y+
，消去x得， ，
2 y2−2pm y−p2=0
y2=2px
则 ，
y y =−p2
A B
则有 (y y ) 2 p2 ，
x x = A B =
A B 4 p2 4
由于 ⃗ ⃗ ， F ⃗ A= ( x − p ,y ) ,F ⃗ M= ( − p ,y −y )，
FM=3F A A 2 A 2 M A
p 3p
所以x = ，则x = ，
A 3 B 4
p 3p p 5
所以|FB|=x + = + = p=5，所以p=4，
B 2 4 2 4
25
故|AB|=|BF|+|AF|=x +x +p= ，
A B 3
故选A.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数量积的坐标运算，直线与平面所成角的向量求法，轨迹方程的求法，属于中档题.
⃗ 1
由
A
⃗
B⋅A
⃗
P=2
可得，x=1，由
cos⟨ A
⃗
P
，A A
1
⟩=
2
，可得3z2−y2=1，故可判断点P的轨迹的形状.
【解答】
解：分别以AB，AD，A A 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
1⃗ ⃗
设P(x,y,z)，由
AB⋅AP=2
，可得x=1，①
⃗ |2z| 1
又 ⃗ ，A A ⟩= = ，
cos⟨ AP 1 2√ 1+ y2+z2 2
可得3z2−y2=1，②
由①②可知，P点轨迹为双曲线，
故选C.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查概率的性质、互斥事件、相互独立事件，属于中档题.
利用P(AU B)=P(A)+P(B)−P(AB)，求出P(AB)，再对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：由P(AU B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.4+0.6−P(AB)=0.8，
得P(AB)=0.2，故A正确，B错误;
因为P(AB)=0.2≠0，所以A，B不是互斥事件，故C正确;
因为P(AB)=0.2≠P(A)P(B)=0.4×0.6=0.24，所以A，B不是相互独立事件，故D错误.
故选AC.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查利用向量求线段的长，利用向量判断线线，面面垂直，柱体的体积，属于中档题.
利用向量对选项逐个计算即可判断.【解答】
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ √ ⃗ ⃗ ⃗
解：对于选项A，由|BD |=|BA+AD+DD |= (BA+AD+DD ) 2=√ 1+1+1−1−1+1=√ 2 ，
1 1 1
所以A错误;
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 1
对于选项B，BD ⋅CD=(BA+AD+DD )⋅CD=1− − =0，所以B正确;
1 1 2 2
对于选项C，B ⃗ D⋅A ⃗ A =(A ⃗ D−A ⃗ B)⋅A ⃗ A =0，∴BD⊥A A 1 ，又BD⊥AC，A A 1 ∩AC=A，
1 1
A A ,AC⊂平面A A C C，所以BD⊥平面A A C C，所以平面A A C C⊥平面BB D D，故C正
1 1 1 1 1 1 1 1 1
确;
1 √ 3 √ 6 √ 2
由题易知，A −ABD为正四面体，其体积为V = ⋅ ⋅ = ，
1 0 3 4 3 12
√ 2 √ 2
所以平行六面体的体积为V =6V =6× = ，故D正确，
0 12 2
故选BCD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，利用方程研究曲线的性质，属于较难题.
对于A，分别以−x代x，以−y代y，即可判断；对于B，令y=0即可判断；对于C，利用余弦定理和基本
不等式即可判断；对于D，利用三角形的面积公式即可判断.【解答】
解：设 ，由 ，可得 ，
P(x,y) |PF |⋅|PF |=6 √ (x+2) 2+ y2 ⋅√ (x−2) 2+ y2=6
1 2
对于A，由曲线方程可知，将−x代替x，方程不变;将−y代替y，方程不变，故A对；
对于B，令y=0，解得|x−2|⋅|x+2|=6，即x2=10，故B错;
对于C，设 ∠F PF =θ ，由余弦定理，有 cosθ= |PF 1 | 2 +|PF 2 |2−16 ≥ 2|PF 1 |⋅|PF 2 |−16 =− 1，
1 2
2|PF |⋅|PF | 2|PF |⋅|PF | 3
1 2 1 2
当且仅当|PF |=|PF |时等号成立，故C对;
1 2
1 1
对于D，仍设∠F PF =θ，由ΔPF F 的面积S可知S= |PF ||PF |sinθ= |F F ||y |，
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 p
3 3
|y |= sinθ，|y |最大时为 ，此时θ=90∘小于∠F BF ，故D对.
P 2 p 2 1 2
故选ACD.
1
12.【答案】
6
【解析】【分析】
本题考查直线的截距式方程，斜截式方程，直线过定点问题，属于较易题.
易知直线y=kx+1经过点D(0,1)，利用△BCD的面积为△AOB的面积的一半，求出点C的横坐标，
由点C在直线AB上，求出点C的纵坐标，再由直线y=kx+1过点C，即可求出k的值.
【解答】
解：直线y=kx+1经过定点D(0,1)，设直线y=kx+1与线段AB相交于点C，
1 1
∴S = S = ×x ×3=3，∴x =2，
△BCD 2 △AOB 2 C C
x y 4
易知直线AB的方程为 + =1，∴由点C在直线AB上，可得y = ，
3 4 C 3
4 1
∴直线y=kx+1过点(2, )，∴k= ，
3 6
1
故答案为 .
613.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的向量求法，属于基础题.
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【解答】
解：取 BC的中点O，连接AO，DO，因为AB=AC，
所以AO⊥BC，以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为BC=4，AB=AC=√ 7，所以OA=√ 3，
则A (√ 3,0,2)，B(0,−2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，
1
⃗ ⃗
所以A C=(−√ 3,2,−2) ，BD=(0,2,2) ，
1
⃗ ⃗
所以A C⋅BD=0+4−4=0，
1
则直线A C与BD垂直，即直线BD，A C所成角的余弦值为0，
1 1
故答案为0.
14.【答案】2【解析】【分析】
本题考查双曲线与三角形相结合设题，双曲线的定义、三角形的面积公式及三角形内切圆的性质，属于中
档题.
r r r
由已知求出S = |PF |，S = |PF |，作差得到 S −S = (|PF |−|PF |)=ar，进一步求r和
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2
a，即可解决问题.
【解答】
r r
解：由题设△PF F 内切圆的半径为r，则S = |PF |，S = |PF |，
1 2 1 2 1 2 2 2
r
∴ S −S = (|PF |−|PF |)=ar.
1 2 2 1 2
过点M作M A⊥PF 于点A，MB⊥F F 于点B，MC⊥PF 于点C，
1 1 2 2
则由△PF F 的内切圆圆心为I(1,2)，知r=2，
1 2
|AF |=|BF |=1+c，|BF |=|CF |=c−1，|AP|=|PC|，故
1 1 2 2
|PF |−|PF |=|AF |−|CF |=1+c−(c−1)=2a，得a=1，
1 2 1 2
故S −S =2.
1 2
故答案为2.
15.【答案】解：因为双曲线离心率
e=
c
=√ 3
，则b
=
√ b2
=√ e2−1=√ 2
，
a a a2
即b=√ 2a，c=√ 3a.
若焦点在x轴上，则双曲线方程为x2 y2 ，
− =1
a2 2a2
1 1 1
代入点P(1,1)可得 − =1，解得a2= ，
a2 2a2 2
所以双曲线方程为 ，焦点坐标为( √ 6 )，渐近线方程为
2x2−y2=1 ± ,0 y=±√ 2x;
2若焦点在y轴上，则双曲线方程为y2 x2 ，
− =1
a2 2a2
1 1 1
代入点P(1,1)可得 − =1，解得a2= ；
a2 2a2 2
所以双曲线方程为 ，焦点坐标为( √ 6)，渐近线方程为 √ 2
2y2−x2=1 0,± y=± x.
2 2
【解析】本题考查双曲线的方程与性质，属于基础题.
根据离心率可得b=√ 2a，c=√ 3a.分类讨论焦点所在位置，设双曲线方程代入点P(1,1)求得a，即可得
结果.
7 1
16.【答案】解：(1)记甲答对第i题为事件E (i=1,2)，则P(E )= ，P(E )= .
i 1 10 2 2
记甲答对i道题为事件A (i=0,1,2)，则A =E E +E E ，
i 1 1 2 1 2
其中E E 与E E 互斥，E ，E 相互独立，
1 2 1 2 1 2
7 1 3 1 1
所以甲答对一道题的概率为P(A )=P(E E )+P(E E )= × + × = ;
1 1 2 1 2 10 2 10 2 2
(2)记乙答对i道题为事件B (i=0,1,2)，
i
3 1 3 1 7 1 7
则P(A )= × = ，P(A )= ，P(A )= × = .
0 10 2 20 1 2 2 10 2 20
2 2 4 3 2 12 3 3 9
P(B )= × = ，P(B )=2× × = ，P(B )= × = .
0 5 5 25 1 5 5 25 2 5 5 25
记甲乙两人答对题数相等为事件C，则C=A B +A B +A B ，
0 0 1 1 2 2
且A B 、A B 、A B 两两互斥，A 与B (i=0,1,2)相互独立，
0 0 1 1 2 2 i i
3 4 1 12 7 9 39
P(C)=P(A B )+P(A B )+P(A B )= × + × + × = .
0 0 1 1 2 2 20 25 2 25 20 25 100
【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.
(1)对甲答对一道题分类：第1题答对且第2题答错，第1题答错且第2题答对;
(2)对甲乙两人答对题目的个数相等分类：两人都答对0题，都答对1题，都答对2题.
17.【答案】解：(1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，
AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，故AD⊥PA;
同理因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，
又因为AB、AD是平面ABCD内两相交直线，
所以PA⊥平面ABCD;
(2)以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，设Q(0,0,λ)(λ>0)，
⃗ ⃗
则BD=(−1,2,0) ，CQ=(−1,−1,λ) ，
因为BD//平面α，BD⊂平面PBD，平面PBD∩平面α=EF，所以BD//EF，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
设平面α的法向量为n=(x,y,z) ，则
n⊥BD
，
n⊥CQ
，
{ ⃗ ⃗
n⋅BD=−x+2y=0
⃗
得
⃗ ⃗
，取y=λ，则n=(2λ,λ,3) ，
n⋅CQ=−x−y+zλ=0
记AD中点为M，则AC⊥BM，又PA⊥BM，
所以BM⊥平面PAC，⃗
则可取平面PAC的法向量为BM=(−1,1,0) ，
|⃗ ⃗ |
n⋅BM |λ| √ 3
⃗ ⃗ = =
由 cosθ=|cos|=
|⃗|| ⃗ | √ 2√ 5λ2+9 6
，
n BM
解得λ=3.
线段AQ的长度为3.
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，平面的夹角，属于中档题.
(1)利用面面垂直的性质得出直线AB，AD都垂直于PA，再利用线面垂直的判定定理即可得出结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量根据平面的夹角即可求出线段AQ的长.
18.【答案】解：由题意可知：圆M的圆心为M(2,1)，半径r=5，
(1)设AB,CD的中点分别为E,F，
则M E⊥AB,M F⊥CD，且AB⊥CD，
可知EOFM为矩形，则|M E|
2+|M
F|
2=|OM| 2=5，
所以|AB|
2+|CD| 2=4(r2−|M
E|
2)+4(r2−|M
F|
2)=200−4(|M
E|
2+|M
F|
2)=180
为定值；
(2)因为点O在圆M内，可知过点O的直线与圆M必相交，分析可知，当直线AB或CD中有斜率不存在时不满足，
根据对称性不妨假设直线AB的斜率存在，设直线AB:y=kx，A(x ,y ),B(x ,y ),x =λx ，
1 1 2 2 1 2
{(x−2) 2+(y−1) 2=25
联立方程 ，消去y可得(k2+1)x2−2(k+2)x−20=0，
y=kx
2(k+2) 20 2(k+2) 20
则x +x = ,x x =− ，即(1+λ)x = ,λx2=− ，
1 2 k2+1 1 2 k2+1 2 k2+1 2 k2+1
4λ(k+2) 2 20(1+λ) 2 λ −5(k2+1)
消去x 可得 =− ，整理可得 = ，
2 (k2+1) 2 k2+1 (1+λ) 2 (k+2) 2
可知直线CD的斜率不为0，设直线CD:x=−k y，C(x ,y ),D(x ,y ),y =μ y ，
3 3 4 4 3 4
{(x−2) 2+(y−1) 2=25
联立方程 ，消去x可得(k2+1)y2+2(2k−1)y−20=0，
x=−k y
2(2k−1) 20
则y + y =− ,y y =− ，
3 4 k2+1 3 4 k2+1
2(2k−1) 20
即(1+μ)y =− ,μ y2=− ，
4 k2+1 4 k2+1
4μ(2k−1) 2 20(1+μ) 2 μ −5(k2+1)
消去y 可得 =− ，整理可得 = ，
4 (k2+1) 2 k2+1 (1+μ) 2 (2k−1) 2
λ μ
若AC//BD，则λ=μ，可得 = ，
(1+λ) 2 (1+μ) 2−5(k2+1) −5(k2+1) 1
即 = ，解得k=3或k=− ，
(k+2) 2 (2k−1) 2 3
根据对称性不妨取k=3，代入求解，不妨取A(−1,−3),B(2,6),C(−3,1),D(6,−2)，
所以直线AC的方程为2x+ y+5=0，直线BD的方程为2x+ y−10=0.
(或直线AC与直线BD互换)
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于较难题；
取弦的中点，可得 ，利用垂径定理求弦长，进而分析证明；
(1) |M E| 2+|M F| 2=5
设直线 ， ，联立方程利用根与系数关系可得
(2) AB:y=kx A(x ,y ),B(x ,y ),x =λx
1 1 2 2 1 2
λ
−5(k2+1)
，同理可得 μ
−5(k2+1)
，若 ，则 ，进而解得k，求交点坐标，
= = AC//BD λ=μ
(1+λ) 2 (k+2) 2 (1+μ) 2 (2k−1) 2
进而可得直线方程.
19.【答案】解： 由直线l与圆O相切，可得圆心O到直线l的距离 |b| ，
(1) d= =1
√ 1+k2
即k2−b2=−1;
(2)设A(x ,y )，B(x ,y )，Q(x ,y )，由条件所给的公式，
1 1 2 2 Q Q
x x y y
可知椭圆E在点A(x ,y )处的切线AQ方程为 1 + 1 =1.
1 1 4 3
x x y y
又因为点Q(x ,y )在切线AQ上，可得 1 Q+ 1 Q=1①，
Q Q 4 3
x x y y
同理可得 2 Q+ 2 Q=1②，
4 3
x x y y
由①②，可知A(x ,y )，B(x ,y )都在直线 Q + Q =1上，
1 1 2 2 4 3
x x y y
即直线AB方程为 Q + Q =1③，因为圆O与直线AB相切，
4 31
d= =1
所以点O到直线AB的距离 ，
√ x y
(
Q
)
2+( Q
)
2
4 3
所以x2 y2
，
Q+ Q=1
16 9
x2 y2
由于点Q(x ,y )具有任意性，且直线l的斜率存在，故点Q的轨迹方程为 + =1(y≠0)，
0 0 16 9
假设存在曲线F满足条件，设 ， ，联立{ y=kx+b ，
(3) M(x ,y ) N(x ,y )
3 3 4 4 λx2+μ y2=1
消去y，得 ， ，
(λ+μk2 )x2+2kbμ y+μb2−1=0 Δ>0
则 2kbμ ， μb2−1，
x +x =− x x =
3 4 λ+μk2 3 4 λ+μk2
由OM⊥ON，
所以 ⃗ ⃗
OM⋅ON=x x + y y
3 4 3 4
=(k2+1)x x +kb(x +x )+b2
3 4 3 4
ub2−1 2kbu
=(k2+1)× +kb×(− )+b2
λ+uk2 λ+uk2
b2 (λ+μ)−(k2+1)，
=
λ+μk2
由(1)可知：b2=k2+1，上式
(k2+1)(λ+μ−1)
恒成立，
∴ = =0
λ+μk2
所以存在曲线F，且λ+μ=1.
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，与椭圆有关的轨迹问题，向量的数量积与向量的垂
直关系，属于较难题.
(1)利用圆心到直线的距离等于圆半径即可求出答案；
(2)分别求出切线AQ，BQ的方程，由两方程即可求出AB的方程，因为圆O与直线AB相切，所以点O到
直线AB的距离等于1，即可求出点Q的轨迹方程.
由 ⃗ ⃗ ，即可求出
(3)
OM⋅ON=0
λ+μ=1.
