2007年广东高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_广东

2007 年广东高考理科数学真题及答案 本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点， 再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1 参考公式：锥体的体积公式V  sh，其中S 是锥体的底面积，h是锥体的高。 3 如果事件A、B互斥，那么P(AB)  P(A)P(B). 如果事件A、B相互独立，那么P(AB) P(A)P(B). n x y nxy i i 用最小二乘法求线性回归方程系数公式b  i1 ,a  ybx. n x2 nx 2 i i1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求的. 1 1.已知函数 f(x)  的定义域为M ，g(x) ln(1 x)的定义域为N ，则M N  1x       A. x x1 B. x x1 C. x 1 x1 D. 2.若复数(1bi)(2i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝ 1 1 A.2 B. C. D.2 2 2 1 3.若函数 f(x)sin2 x (xR),则f(x)是 2  A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 2 C.最小正周期为2的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 4.客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 第1页 | 共8页km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地 所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 A B C D 5.已知数|a|的前n项和S n2 9n，第k项满足5a 8,则k  n n k A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6.图1是某县参加2007年高考 的学生身高条形统计图，从左 到右的各条形表示的学生人数 依次记为A A、…、A （如A 1、 2 10 2 表示身高（单位：cm）（150，155） 内的学生人数）.图2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图.现要统计 身高在160~180cm(含160cm,不 含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件 是 A. i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<9 7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点 的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上 述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8.设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的 a,bS ，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a﹡b与之对应）.若对任意的 a,bS ,有 a﹡(b﹡a) b,则对任意的a,bS ,下列等式中不恒成立的是 A. (a﹡b)﹡a a B. [a﹡(b﹡a)]﹡(a﹡b)a C. b﹡(b﹡b)b D. (a﹡b)﹡[b﹡(a﹡b)b 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只 能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分. 第2页 | 共8页9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装 有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取 出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）           10.若向量a,b满足 a  b 1,a与b的夹角为120°，则aaab . 11.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂 直平分线过抛物线 y2 2px (p0)的焦点，则该抛物线的准线 方程是 . 12.如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定 的直线共有 条.这些直线中共有 f(n)对异面直线，则 f(4)＝ 图4 ; f(n)＝ .（答案用数字或n的解析式表示） xt3 13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ， y 3t x2cos (参数tR),圆C的参数方程为 (参数0，2)，则圆C的圆心坐标 y 2sin2 为 ，圆心到直线l的距离为 . 14.（不等式选讲选做题）设函数 f(x)  2x1  x3,则f(2)＝ ;若 f(x) 2，则x的取值范围是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O的直径AB 6，C 为圆周上一点，BC 3，过C作圆的切线l，过 A作l的垂线 AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则 ∠DAC＝ ，线段AE的长为 . 图5 三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). （1）若c 5，求sin∠A的值; （2）若∠A是钝角，求c的取值范围. 17.(本题满分12分) 下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生 产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=b  xa; 第3页 | 共8页（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回 归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 2的圆C与直线y  x相 x2 y2 切于坐标原点O.椭圆  ＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10. a2 9 （1）求圆C的方程. （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长. 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分14分） 如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6 6,高CD=3， 点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上， 且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使 PE⊥AE.记BE  x V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积. （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ (3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值 20.（本小题满分14分） 已知a是实数，函数 f(x)2ax2 2x3a.如果函数y  f(x)在区间[1,1]上有零 点，求a的取值范围. 21.（本小题满分14分） 已知函数 f(x) x2 x1, 、是方程 f(x)0的两个根(), f(x)是 f(x) f(a ) 的导数.设a 1,a a  n (n1,2, ), 1 n1 n f(a )  n (1)求、的值； (2)证明：对任意的正整数n，都有a ; n a  (3)记b ln n (n1,2, ),求数列{b }的前n项和S . n a   n n n 第4页 | 共8页参考答案 一. CADBB CBA 1 1 5 n2 n n(n1)(n2) 二. 9. 10. 11. x 12. ,12 , 9 2 4 2 2 13. (0,2), 2 2 14. 6, [1, 1] 15. 30, 3 三.解答题 AM 5 2 5 16.(1)解: AC 2 5,设AC中点为M,则cosA  sinA ; AB 5 5   (2)解:AC (c3,4),AB(3,4),若A是钝角,则   25 ACAB3(c3)160c . 3 17. 解: (1) 散点图略 4 4 (2) X Y 66.5 X2 32 42 52 62 86 X 4.5 Y 3.5 i i i i1 i1 66.544.53.5 66.563 b ˆ   0.7 ; aˆ Y b ˆ X 3.50.74.50.35 8644.52 8681 所求的回归方程为 y 0.7x0.35 (3) x100, y 1000.70.3570.35吨, 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65(吨) 18. 解:(1) 设圆C 的圆心为 (m,n)  mn,   m0,n0 m2 则  解得  mn  n2 2 2   2 所求的圆的方程为 (x2)2 (y2)2 8 (2) 由已知可得 2a10 a 5 x2 y2 椭圆的方程为  1 , 右焦点为 F(4,0). 25 9 (x2)2 (y2)2 8 4 12 设存在点Q(x,y)C满足条件,则 解得Q( , ) (x4)2  y2 16 5 5 4 12 故存在符合要求的点Q( , ). 5 5 第5页 | 共8页1 1 x 6 19.解: (1)V  (9 6  x)x (0 x3 6)即V 3 6x x3 (0 x3 6); 3 2 6 36 6 6 (2)V3 6 x2  (36x2), 12 12 x(0,6)时 ,V0; x(6,3 6)时 , V0; x6时V(x)取得最大值. (3)以E为空间坐标原点,直线EF为x轴,直线 EB 为 y轴 , 直 线 EP 为 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则  A(0,66 6,0),C(3,63 6,0),AC (3,3 6,0);  P(0,0,6),F( 6,0,0)PF ( 6,0,6),设异面直线AC与PF夹角是 3 6 1 cos  3 7 6 7 7 3 20.解:若a 0,则 f(x)2x3有唯一零点为 [1,1],故a 0不符合要求; 2 32x 由 f(x)2ax2 2x3a 0a(2x2 1)32xa  , x[1,1]且 (2x2 1) 2 2(2x2 6x1) 3 7 x . 由 a  当 2x2 6x10时 ,x  [1,1], 2 x (2x2 1)2 1 2 3 7 x  1, 2 2 2 2 当x[1, ),( ,x )时,a0,a在两个区间上分别递增; 2 2 1 2 2 当x(x , ),( ,1]时, a0,a在两个区间上分别递减; 1 2 2 3 7 3 7 由 x1时 ,a5, x1时 ,a 1,x  时 ,a 1 2 2 第6页 | 共8页3 7 a(, ] [1,)  2 分析如图: 解法二: 若a 0 , f(x)2x3 ,显然在上没有 零点, 所以 a 0 令 48a3a8a2 24a40 3 7 得 a 2 3 7 当 a 时, y  f x恰有一个零点在1,1 上; 2 当 f 1 f 1a1a50 即 1a5 时, y  f x也恰有一个零点在1,1 上; 当 y  f x在1,1上有两个零点时, 则  a 0  a0   8a2 24a40 8a2 24a40    1  1  1 1 或 1 1 2a 2a    f 10  f 10   f 10 f 10   3 7 解得a5或a 2 3 7 因此a的取值范围是 a 或 ; a1 2 1 5 1 5 1 5 21解:(1) 由 x2 x10 得x   2 2 2 51 (2)(数学归纳法)①当n1时,a 1 ,命题成立; 1 2 第7页 | 共8页51 ②假设当nk(k 1,kN*)时命题成立,即a  , k 2 1 5 a  a2 1 k 2 8 1 5 1 51 a  k    2  ,又等号成立时a  , k1 2a 1 2 1 2 16 2 k 2 k a  k 2 51 a  时,a nk1时命题成立;由①②知对任意nN*均有a . k 2 k1 n a2 a 1 a2 1 (3) f(x)2x1 a a  n n  n n1 n 2a 1 2a 1 n n a2 1 (a )2 (2 1) (a )2 a  n  n  n n1 2a 1 2a 1 2a 1 n n n (a )2 a  a  a  a  同理 a  n  n1 ( n )2ln n1 2ln n n1 2a 1 a  a  a  a  n n1 n n1 n a  3 5 1 5  b 2b 又 b ln 1 ln 4ln n1 n 1 a  3 5 2 1 1 5 数列b 是一个首项为 4ln ,公比为2的等比数列; n 2 1 5 4ln  12n 1 5  S  2 4  2n 1  ln . n 12 2 第8页 | 共8页