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高三年级 12 月月考数学答案
1．C 2．D 3．B 4． D 5．D 6．C 7．A 8．C 9．ACD 10．BD 11．BC
12． 13. 14． /1：8
15. (1) (2)
(1)由正弦定理及 可得 ，又 ，
则 ，即 ，
则 ，因为 ，所以 ， ，因为 ，所以
．
(2)由余弦定理得 ，因为 ， ，所以 ，当且仅当
时取等号．又因为 ，所以 ．综上所述， ，b的取值范围是 ．
16.(1) (2)
（1） ，因为 在 处取得极值，故 ，
解得 .当 时， ， ，故 在 处导函数为0，且在
左右导函数异号，满足极值点条件，故
（2） ，构造函数
，即 ，因为任意 ，
，当 时，不等式 恒成立，所以函数
在 上单调递减，即 在 上恒成
1
学科网（北京）股份有限公司立，由 ，
设 ，因为 ，所以 ，所
以函数 单调递减，
故 ，因此 ，故实数m的取值范围为
17.（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，所以
， 平 面 ， 平 面 ， 所 以
，所以 ，正方形 中， 为 的中点，
为 的中点，所以 ，所以 ，设
、 交点为 ，则 ，所以 ，即
；又 、 平面 ， ，所以
平面 .
（2）如图，以点 为原点，分别以 、 、 为 ， ， 轴建立
空间直角坐标系.因为正方体棱长为2， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点. 所以
， ， ， ， .
所以 ， .由（1）知 平面 .
所以 是平面 的一个法向量，设 是平面 的法向量，则
取 ，得 ，
所以 ，所以二面角 的余弦值为 ，
18. （1） ； （2）（i）证明见解析；（ii） 面积的最大值为 .
【小问1详解】由题意可得椭圆焦点在x轴上，且 ，
所以椭圆的方程为 .
2
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然 ，所以
；当直线斜率不为0时，设直线方程为 ，
联立 ，
则 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
所以 ，
因为 ，
所以 .综上， 为定值0.
（ii）由（i）可得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 .
19. （1） ， （2）证明见解析；
（3）当 为偶数时， 的最小值为 ；当 为奇数时， 的最小值为 ；
【小问1详解】以 为首项的最长递增子列是 ，所以 ，因为 后面的项都比 小，所以
3
学科网（北京）股份有限公司，以 为首项的最长递增子列是 ，所以 ，因为 后面没有项，所以 ；
因为 后面的项都比 大，所以 ，以 为首项的最长递减子列是 或者 ，所以 ；
因为 后面的项都比 大，所以 ，因为 后面没有项，所以 ；
所以 ，即 ，
【小问2详解】对于 ，由于数列 是 的一个排列，故 ，
若 ，则每个以 为首项的递增子列都可以在前面加一个 ，得到一个以 为首项的更长的递增
子列，所以 ，而每个以 为首项的递减子列都不包含 ，且 ，
故可将 替换为 ，得到一个长度相同的递减子列，所以 ，这意味着 ；
若 ，同理有 ， ，故 ，
总之 ，且 和 不能同时为零，
故 .
【小问3详解】由（2）可知 和 不能同时为零，故 ，
当 为偶数时，设 ，一方面有 ；
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， ，
则对 有 ，
故此时 ；
结合以上两方面可得，当 为偶数时， 的最小值为 ；当 为奇数时，设 ，
一方面有 ；
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学科网（北京）股份有限公司另一方面，考虑这样一个数列 ： ， ，
则对 有 ，
故此时 ；
结合以上两方面可得，当 为奇数时， 的最小值为 ；
综上可得，当 为偶数时， 最小值为 ；
的
当 为奇数时， 的最小值为 ；
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