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江苏省连云港市灌云县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题
1．抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）.
A． B． C．2 D．4
2．两圆 与 的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线 与直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知 、 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则双曲线C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
5．一动圆与圆 外切，与圆 内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．设抛物线 的焦点为F，斜率不为0的直线l过点 ，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C
上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．7
7．曲线 与直线 的公共点的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且 ．若 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知双曲线 过点 且渐近线方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为 B．双曲线 的离心率为
C．曲线 经过双曲线 的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为1
10．已知点P在圆 上，点 ， ， ，则（ ）
A． B．当 面积最大时，
C．当 最小时， D．当 最大时，
11．拋物线 的焦点为 ，过 的直线交拋物线于 两点，点 在拋物线 上，则下列结论中正
确的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为4
B．当 时，
C．若 ，则 的取值范围为
D．在直线 上存在点 ，使得三、填空题
12．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线上， 于点 ．若 是锐角三角形，
则 的取值范围是 ．
13．过点 作圆 的两条切线，切点分别为M，N，则 ．
14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，M为C上任意一点，N为圆
上任意一点，则 的最小值为 ．
四、解答题
15．已知 的顶点 ，重心 ．
(1)求线段BC的中点坐标；
(2)记 的垂心为H，若B、H都在直线 上，求H的坐标．
16．已知圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切于点 .
(1)求圆 的方程；
(2)若圆 与直线 交于 两点，_____________，求 的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： ；条件②： ；条件
③： .
17．已知抛物线 和圆 ，倾斜角为45°的直线 过 的焦点且与 相切．
(1)求p的值：
(2)点M在 的准线上，动点A在 上， 在A点处的切线l 交y轴于点B，设 ，求证：点
2
N在定直线上，并求该定直线的方程．18．已知椭圆 的左、右顶点为 ， ，焦距为 . 为坐标原点，过
点 、 的圆 交直线 于 、 两点，直线 、 分别交椭圆 于 、 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)记直线 ， 的斜率分别为 、 ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点，并求该定点坐标.
19．平面直角坐标系 中， 为动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线
垂直，垂足 位于第四象限， 且 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，交 于另一点 ，求 的最大值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B B C B C ACD ACD
题号 11
答案 BC
1．B
根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离.
【详解】由抛物线方程知： ，即 ，
根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是 .
故选：B
2．C
【解析】根据两圆的标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于 ，恰好等
于两圆的半径之和，由此可得两圆位置关系是外切，进而求出结果．
【详解】由题意，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ；
所以 ，且 ，所以 ，
所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线．
故选:C．
3．A
【详解】当 时，直线 ，直线 ，此时 ，即 可以推出 ，
当 时，由 ，得到 或 ，
又 时， ， ，显然有 ，所以 推不出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
4．B
根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ，
由余弦定理可得
即 ，
整理可得 ，
所以 ，即 .
故选：B
5．B
先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出 满足
的关系式后即可求解.
【详解】由 可得， ，圆心为 ，半径 ；
由 可得 ，圆心为 ，半径 .
设动圆的圆心为 ，半径为 ，
由于动圆和 外切，根据两圆外切的性质， ，
由于动圆和 内切，根据两圆内切的性质， ，
于是 ，
即动点到 的距离之和是 ，且 大于两定点间距离 ，
根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆.
故选：B
6．C
分析点 的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可得.
【详解】 ，因为 ，垂足为 ，
所以点 的轨迹是以FA为直径的圆（不包括F，A两点），半径 ，圆心为 ，又因为 在拋场线 上，
其准线为直线 ，过点 作准线的垂线，垂足为 ，
则 ，
当 四点共钱且 在 点下方时取等号，
.
故选：C.
7．B
根据 以及 分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线 与其关系即可求解.
【详解】当 时，曲线 的方程为 ，表示椭圆的上半部分 含与 轴的交点 ，此
时曲线与 的交点为(0,3),(4,0),
当 时，曲线 的方程为 ，表示双曲线在 轴下方的部分，
其一条渐近线方程为： ，故直线 与 无交点，
曲线 与直线 的公共点的个数为 .
故选：B
8．C
根据题意延长 交椭圆另一交点为 ，由条件结合椭圆性质可知 ，再通过通径的性质有即可得解.
【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长 交椭圆另一交点为 ，
由 再结合椭圆的对称性，
易知 ，
所以 ，
由椭圆过焦点的弦通径最短，
所以当 垂直 轴时， 最短，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：C
9．ACD
根据已知条件求得 ，由此对选项逐一分析，从而确定选项.
【详解】设双曲线方程为 ，将点 代入可得 ，
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 .
由 解得 ，故选项 正确；
由上可知， ,所以双曲线的离心率为 ，故选项 错误；双曲线的焦点坐标为 ，其中 满足 ，故选项 正确；
双曲线的一个焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，即 ，
焦点到渐近线的距离为 ，故选项 正确，
故选：ACD.
10．ACD
根据两点间的距离、三角形的面积、角的大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设 ，则 ，
，
，
所以 ，A选项正确.
，
当 ， 时， 面积最大，
对应 ，所以B选项错误.
对于CD选项，只需过 点的直线与圆相切即可，
而 ，则当 与圆相切时， ，
所以CD选项正确.
故选：ACD11．BC
对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可；对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线
倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对C，根据抛物线的定义可得 ，再分
析临界条件求解即可；对D，
【详解】对A，如图，由抛物线的定义， 的长度为 到准线的距离，故 的最小值为 与
到准线距离之和，故 的最小值为 到准线距离 ，故A错误；
对B，不妨设 在第一象限，分别过 作准线的垂线 ，垂足 ，作 .则根据抛物线
的定义可得 ，故
.
故 ，所以 .故B正确；对C，过 作 垂直于准线，垂足为 ，则 ，由图易得 ，故
随 的增大而增大，当 时 在 点处，此时 取最小值1；当 与抛物线相切时
最大，此时设 方程 ，联立 有 ， ，此时解得
，不妨设 则 方程 ，此时倾斜角为 ， .
故 的取值范围为 ，故C正确；
对D， 设 ， 中点 ，故 到准线 的距离 ，又
，故 ，故以 为直径的圆与准线 相切，又满足 的所有点在以
为直径的圆上，易得此圆与 无交点，故D错误；故选：BC
12．
在 轴上取点 ，推导出 为锐角，设点 ，可得出 ，可求得 的范围，再根据抛物
线焦半径公式求解即可．
【详解】由题意得 ，
由抛物线的定义得 ，所以 ，
由于 是锐角三角形，则 为锐角，
在 轴上取一点 ，由 轴，所以 ，则 为锐角，
设点 ， ，
则 ，所以 ，
则 ，
故答案为： ．13． /
根据题意作出图像，利用两点距离公式求得 ，再在 与 中利用正弦函数的定义求得
，进而求得 .
【详解】依题意，连结 ，记 为 的交点，
因为 与圆 相切，所以 ， ， ， 是 的中点，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以在 中， ， ，
故在 中， ，
所以 .
故答案为： .
14． /
首先根据椭圆的定义将 的最小值转化为 ，再根据 （当且仅当
M、 N、 E共线时取等号），结合 ，求得 的最小值．【详解】如图，
由M为椭圆C上任意一点，则 ，
又N为圆E： 上任意一点，
则 （当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），
，
，
当且仅当M、N、E、 共线且M、N在E、 之间时等号成立．
由题意知， ， ，
则 ，
的最小值为 ，
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）设 中点 ，
因为 为 的重心，且 ，
所以 ，即所以 ，所以 中点
（2）因为 的方程为 ，且 为 的垂心
所以 即 ，所以
所以直线 的方程为： ，即
所以设点 ，又因为 的中点 ，设 则
即
又因为点 在直线 上，即 ，所以
所以 ，所以 ，则 边上的高线 为
而点 也在直线 ： 上，所以点 的坐标即为 与 的交点
即 .
16．(1)
(2)
（1）设圆心坐标为 ，半径为，由 ， ， 求出圆心坐标和半径得圆方程；
（2）选①，由等腰三角形求得圆心到直线 的距离，再由点到直线距离公式得参数值；
选②，由等腰三角形求得圆心到直线 的距离，再由点到直线距离公式得参数值；
选③，由数量积的定义求得 ，然后同选①求解．
【详解】（1）设圆心坐标为 ，半径为，
因为圆心 在直线 上，所以 .
又圆 与 轴相切于点 ，所以 ，
所以圆 的圆心坐标为 ，则圆 的方程为 ；（2）如果选择条件①，因为 ， ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
则 ，解得 ，
如果选择条件②，因为 ， ，
由垂径定理可知圆心 到直线 的距离 ．
则 ，解得 ，
如果选择条件③，因为 ，所以 ，
得 ，又 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
则 ，解得 ．
17．(1) ；
(2)证明见解析，定直线方程为 .
（1）设直线l 的方程为 ，再根据直线和圆相切求出 的值得解；
1
（2）依题意设 ，求出切线l 的方程和B点坐标，求出 ， ，即得
2
证.
【详解】（1）由题得抛物线 的焦点坐标为 ，
设直线l 的方程为 ，
1
由已知得圆 的圆心 ，半径 ，因为直线l 与圆 相切，
1
所以圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
所以 .
（2）依题意设 ，由（1）知抛物线 方程为 ，
所以 ，所以 ，设A ， ），则以A为切点的切线l 的斜率为
2
所以切线l 的方程为 ．
2
令 ，即l 交y轴于B点坐标为 ，
2
所以 ，
∴ ，
∴ ．
设N点坐标为（x，y），则 ，
所以点N在定直线 上．
18．(1)(2)
(3)证明见解析，
【详解】（1）由已知得 ， ，则 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）法一：设 ，则圆 的方程为： ，
圆 过 ，代入圆的方程得 ，
故 ；
法二：设 ，圆 半径为r，则圆 方程为： ，
圆 过 ， ，由题意可设 ，
则 ；
（3）由题意知，当圆 的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在，
设直线 ， ，
则 ，需满足 ，则 ， ，
则 ，
结合第一问知 ，即 ，
即得 ，
化简得 ，
解得 或 ，
当 时，直线PQ方程为 ，直线PQ过点 ，不合题意，
当 时，直线PQ方程为 ，
故直线PQ过定点 ；
当圆 的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在，
圆G方程为 ，
令 ，则 ，此时不妨设 ，
则 的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，解得 或 ，
即P点横坐标为 ，则直线PQ此时也过点 ，
故直线PQ过定点 .19．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意设 ，由点到直线距离公式得
， ，
∴ ，
∴ ，又∵垂足 位于第一象限，
垂足 位于第四象限， ，
∴ 的轨迹方程为 .
（2）解：由对称性，不妨设 在第一象限，设 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，记 ，由 为 的角平分线，
则有 ，
其中 ， ， ， ，
∴ ，
同理得： ，代入 中，
∴ ，化简得： .将 代入 ， 中，
解得： ， ，
∴ ， ，
设直线 的方程为 ，将 代入，
解得： ，
∴直线 的方程为 ， ，
由点到直线距离公式得： .
由直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ，
将 点代入，解得： ，
∴直线 的方程为 ，将其与 联立得：
，
设 ，则 ， ，
由 可知 ， ，由均值不等式， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ ，故 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立.
