文档内容
巴中市 2024 年秋学期高二期末考试
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的方程求出 ，然后由离心率公式求解.
【详解】因为双曲线 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 .
故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的离心率求法，属于基础题.
2. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法
抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出抽样比例，进而求解.
【详解】由题意知，抽样比例为 ，
则 ，
所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为 .
故选：A
3. 经过点 且与直线 垂直的直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程.
【详解】与直线 垂直的直线 的斜率为 ，又直线过点 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 .
故选：C
4. 将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷 次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为 ，则 的大小关系为（ ）
A. 的大小由 确定 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由相互独立事件的概念判断求解即可.
【详解】质地均匀的正四面体，每次抛掷每个面朝下的概率均为 ，且每次抛掷相互独立，
故第5次和第8次某一面朝下的概率都是 ，即 .
故选：D
5. 已知圆 ，圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（
）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，根据圆心距与半径和差关系判断位置关系.
【详解】由 ，得 ，半径 ，
由 ，得 ，半径 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以圆 与圆 的位置关系是相交.
故选：C
6. 已知空间向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则m的值为（ ）
.
A 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果.
【详解】因为 ， ， ，且 ， ， 共面，
所以 ，又 ，得到 ，解得 ，
故选：D.
7. 某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平
均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是
1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是（ ）
A. 平均来说乙队比甲队防守效果好
B. 甲队比乙队技术水平更稳定
C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
D. 甲队每场比赛必失球
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、标准差的意义逐项分析判断即可.
【详解】对于选项A：因为 ，平均来说甲队比乙队防守效果好，故A错误；
对于选项BC：因为 ，乙队比甲队技术水平更稳定，故B错误；
且甲队在防守中的波动性较大，可知甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故C正确；
对于选项D：虽然甲队每场比赛平均失球数是1.3，但不能确定每场比赛是否失球，故D错误；
故选：C.
8. 已知点集 ， 分别表示曲
线 、 ，若 、 有四个公共点，则 的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】化简曲线 、 的方程，分析可知 ，数形结合可知点 在曲线 外，且点 在
曲线 内，可得出关于实数 的不等式组，解之即可.
【详解】对于曲线 ，当 时，该曲线的方程可化为 ，即 ，
当 时，该曲线的方程可化为 ，即 .
曲线 的方程即为 ，即为 ，
当 时，曲线 的方程为 ，此时，两曲线只有一个公共点，不合乎题意，
所以， ，如下图所示：
由图可知，只需点 在曲线 外，且点 在曲线 内，
所以， ，解得 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于化简两曲线的方程，抓住关键点与曲线的位置关系，列不等式
（组）求解.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某人连续投篮三次，每次投一球，记事件 为“三次都投中”，事件 为“三次都没投中”，事件 为“恰
有二次投中”，事件 为“至少有二次投中”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由事件的关系，积事件，和事件的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，事件 为“至少有二次投中”，包含恰有二次投中和三次都投中，故A正确；
对于B，“三次都没投中”与“至少有二次投中”的交事件为不可能事件，故B错误；
对于C，“三次都投中”与“恰有二次投中”的和事件为“至少有二次投中”，故C正确；
对于D，事件 为“至多有一次投中”，与“三次都没投中”的交事件为“三次都没投中”，故D正确；
故选:ACD.
的
10. 下列说法中，正确 是（ ）
A. 直线 的一个方向向量为
B. 三点共线
C. 直线 （其中 ）必过定点
D. 经过点 ，倾斜角为 的直线方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可
得 ，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：因为直线 的斜率不存在，
所以直线 的一个方向向量为 ，故A正确；对于选项B：因为 ，
即 ，所以 ， ， 三点共线，故B正确；
对于选项C：直线 即为 ，
令 ，解得 ，
所以直线 （其中 ）必过定点 ，故C正确；
对于选项D：例如 ，可知 不存在，故D错误；
.
故选：ABC
11. 在平面直角坐标系中，已知两定点 ，动点 满足直线 与直线 的斜率之积为
，记 的轨迹为 ，则下列描述正确的是（ ）
A. 当 时，曲线 是以原点为圆心，半径为1的圆
B. 当 时，点 所在曲线的焦点在 轴上
C. 当 时，过点 的直线 与曲线 至少有一个公共点
D. 当 时，直线 与曲线 有两个不同公共点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】设P(x,y)，根据题意先求得点 的轨迹方程，再逐项判断即可.
【详解】设P(x,y)，由题知 ，
即点 的轨迹方程为 ， ，当 时，点 的轨迹方程为 ，
∴曲线 是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点 ，故选项A错误；
当 时，点 的轨迹方程可化为 ，故曲线 是焦点在 轴上的双曲线，除去两定点
，故选项B正确；
联立方程组 ，消去 并整理得 .
∵直线 与曲线 有两个不同公共点，
.
， 恒成立， ，故选项D正确；
当 时，点 的轨迹方程可化为 ，故曲线 是除去两定点 的椭
圆或者圆.
当 时，点 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点 ，此时直线 与曲
线 至少有一个公共点；
当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，左、右顶点分别为 ， ，此时点
(1,0)在椭圆内，直线 与曲线 至少有一个公共点；
当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，左、右顶点分别为 ， ，此时
点(1,0)在椭圆外，直线 与曲线 的位置关系不确定. 故选项C错误.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对 的合理分类讨论，讨论曲线时要注意去除某些特殊的点.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 ，若 与 互相垂直，则实数 的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示列式求出 .
【详解】由向量 ，得 ， ，
由 与 互相垂直，得 ，
所以 .
故答案为：2
13. 已知直线 与直线 平行（其中 为实数），则它们之间
的距离为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据直线平行求得 ，即可求两平行线之间的距离.
【详解】因为直线 与直线 平行，
则 ，解得 ，
可知两直线分别为 ， ，符合题意，
所以两直线的距离为 .
故答案为：3.
14. 已知三棱柱 ，点 在 内， 分别为 三边的一个三等分点， 为
面 的一个法向量，且 .若 到面 的距离为2，则 ___________.
【答案】【解析】
【分析】设平面 的重心为 ，则 ，点
到面 的距离为 ，从而求解即可.
【详解】设点 到面 的距离为 ，则 ，设平面 的重心为 ，
则 ，
则 ，
又因为 为面 的一个法向量， ，因为 ，所以
所以 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用中心的性质，其次是注意绝对值的考虑.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆 长轴长为8，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）以 的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为 ，求 的方程及其渐近线方程.
【答案】（1）
（2） ；
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求 ，即可得方程；（2）设 ，再根据题意得到 ，进而可得双曲线方程和渐近线方程.
【小问1详解】
由题意可知： ，可得 ，
则 ，
所以椭圆 方的程为 .
【小问2详解】
椭圆 的焦点为 ，且短轴长为 ．
以 为左，右顶点的双曲线 的方程设为 ．
依题意得 ，所以双曲线 的方程为 ．
其渐近线方程为 ．
16. 已知直线 ，圆 （点 为圆心）.
（1）若直线 与圆 相切，求实数 的值；
（2）当 时，判断直线 与圆 是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为 ，
并求 的面积，如果不相交，请说明理由.
【答案】（1） 或 ；
（2）直线 与圆 相交于不同的两点，
【解析】【分析】（1）借助切线定义计算即可得；
（2）计算点 到直线 的距离，比较半径即可得直线 与圆 是否相交于不同的两点，再借助垂径定理
可计算 ，即可的 的面积.
【小问1详解】
由 可得 ，即 、半径 ，
由 可得 ，
由直线 与圆 相切，则有 ，化简得 ，
即 或 ；
【小问2详解】
当 时， ，此时点 到直线 的距离为 ，
故直线 与圆 相交，即直线 与圆 相交于不同的两点，
由 ，则 ，
则 .
17. 甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步，比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有 个
红球 个白球，乙的盒子里面有 个红球 个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲，乙同
时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，
乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.
（1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？
（2）以频率作为概率，试求 轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.
【答案】（1）甲，理由见解析（2）
【解析】
【分析】（1）在一轮比赛中，记“甲向前走一步”为事件 ，“乙向前走一步”为事件 ，计算出 、
的值，比较大小后可得出结论；
（2）在 轮比赛后，事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步，甲没有前进”和“乙恰好向
前走两步，甲最多向前走一步”两个事件，利用独立事件的概率公式计算出这两个事件的概率，相加即为
所求事件的概率.
【小问1详解】
经过多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多，
原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，具体如下：
一轮比赛中，记“甲向前走一步”为事件 ，“乙向前走一步”为事件 ，
根据古典概型概率的计算可得 ， ，
则 ，即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，
所以，多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多.
【小问2详解】
在 轮比赛后，事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步，甲没有前进”和“乙恰好向前走两
步，甲最多向前走一步”两个事件，
分别记为 、 ，且事件 、 为互斥事件，
则 ，
，
所以， 轮比赛后，乙走的步数比甲多的概率为 .
18. 如图，等腰梯形 的高为 是 上靠近 的三等分点，如图①所示，将 沿 折起到 的位置，使得 ，如图②所示，点 在棱 上.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）若 是 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若平面 与平面 所成的锐二面角为 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 ，进而可得 ，结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，求平面 的法向量，利用空间向量求线面夹角；
（3）设 ，求平面 的法向量，利用空间结合面面夹角运算求解.
【小问1详解】
在图（1）中，作AB的靠近 的三等分点 ，
连接 ，所以 ，结合 和 ．
所以四边形 为平行四边形，所以 ．
所以 为等腰三角形，
因为 是 上靠近 的三等分点，所以 为等腰三角形 底边上的中点，所以 ．
在
所以 图（2）中， ．
又因为 ，且 ， 平面 ，
所以直线 平面
【小问2详解】
由（1）知 两两垂直，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标
系，如图所示．
则 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 .
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．【小问3详解】
.
设 ，则 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，
令 ，得 ，可得平面 的一个法向量为 ，
由题知 ，解得 ，且点 在棱 上，
所以 的值为 ．
19. 已知抛物线 的焦点为 ，第一象限内的一点 在抛物线 上，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 的另一个交点为 ，求 的面积（其中 为坐标原点）；
（3）斜率分别为 、 的两条直线都经过点 ，且与抛物线 的另一个交点分别为 、 ，若 ，
求证：直线 过定点.
【答案】（1）（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义求出 的值，由此可得出抛物线 的方程；
（2）求出点 的坐标，进而可求出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线方程联立，求出点 的坐
标，利用三角形的面积公式可求得 的面积；
（3）分析可知，直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ，设点A(x ,y )、B(x ,y )，将
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该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，根据斜率公式以及 可得出关于 、 所满足的关
系式，化简直线 的方程，即可得出直线 所过定点的坐标.
【小问1详解】
由抛物线的定义可得 ，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
由 在抛物线 上，且在第一象限内，所以， ，即点 ，
易知点F(1,0)，所以，直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得 ，解得 或 ，
则点 、 ，
所以， .
【小问3详解】
若直线 的斜率为零，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点A(x ,y )、B(x ,y )，
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联立 可得 ， ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，
因为 ，
可得 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，由 可得 ，
因此，直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
