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江西省 ２０２５—２０２６学年度第一学期期中考试
高二数学参考答案及评分细则
１．【答案】Ａ
４
【解析】显然该直线的斜率ｋ＝－ ＝－２槡２．故选Ａ．
槡２
２．【答案】Ｄ
槡３ 槡５
【解析】易知其渐近线方程为ｙ＝± ｘ＝± ｘ．故选Ｄ．
槡１５ ５
３．【答案】Ｂ
ａ－（－２）
【解析】由题意知 ＝２槡２，即ａ＋２＝４，解得ａ＝２．故选Ｂ．
槡１２＋（－１）２
４．【答案】Ｂ
【解析】易知以点（－４，０），（－４，２）为端点的线段的中垂线方程为 ｙ＝１，以（－２，２），（－４，２）为端点的线段的中垂
线方程为ｘ＝－３．设圆心为（ｍ，ｎ），显然（ｍ，ｎ）为直线ｘ＝－３与直线ｙ＝１的交点，故 ｍ＝－３，ｎ＝１，故圆的半径 ｒ＝
槡（－３＋２）２＋（１－２）２＝槡２．故选Ｂ．
５．【答案】Ｄ
{ｙ２＝２ｐｘ，
【解析】联立 可得 ｙ２－２ｐｍｙ＋２ｐ２＝０，由相切可得 Δ＝（－２ｐｍ）２－４×２ｐ２＝４ｐ２（ｍ２－２）＝０，由 ｐ＞０可知
ｘ＝ｍｙ－ｐ
ｍ２＝２，即ｍ＝±槡２．故选Ｄ．
６．【答案】Ｃ
槡１５ 槡ａ２－ｂ２ 槡ａ２＋ｂ２ ( ｂ)４
【解析】易知椭圆的半焦距为槡ａ２－ｂ２，双曲线的半焦距为槡ａ２＋ｂ２，则 ＝ · ＝
槡
１－ ，即
４ ａ ａ ａ
( ｂ)４ １ ｂ ｂ １ ａ
＝ ，由 ＞０可知 ＝ ，于是 ＝２．故选Ｃ．
ａ １６ ａ ａ ２ ｂ
７．【答案】Ｃ
{（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝４，
【解析】显然Ｍ（ａ，０），Ｎ（－２ａ，０），线段 ＭＮ上符合题意的三等分点坐标为（０，０），联立 可得
（ｘ＋２ａ）２＋ｙ２＝９，
５－３ａ２ ５
（ｘ＋２ａ）２＋４－（ｘ－ａ）２＝９，化简得６ａｘ＋３ａ２＝５，得ｘ＝ ＝０，可得ａ２＝ ．故选Ｃ．
６ａ ３
８．【答案】Ａ
ｙ２ ｘ２
－ ＝１，
１－ｂ２ ａ２ ｂ２ ｘ２ ｂ２－１
【解析】因为Ｅ与Ｗ在第一象限内存在交点，所以 ＞０，又ｂ＞０，所以ｂ∈(０，１)．联立 得 ＋ ｘ＋１＝
ｂ １－ｂ２ ｂ２ ａ２ｂ
ｙ２＝ ｘ，
ｂ
(ｂ２－１)２
０，由对称性可知Ｅ与Ｗ在第四象限的交点的横坐标与点 Ａ的横坐标相等，故 ｘ仅有一解，所以 Δ＝ －
ａ２ｂ
４ １－ｂ２ １－ｂ２ １－ｂ２ ｘ２ ｂ２－１ ( ｘ )２
＝０，得 ＝２，所以ａ２＝ ．将ａ２＝ 代入 ＋ ｘ＋１＝０得 －１ ＝０，所以点Ａ的横坐标为ｘ＝ｂ，纵坐
ｂ２ ａ２ ２ ２ ｂ２ ａ２ｂ ｂ
标为ｙ＝槡１－ｂ２，则ｘ２＋ｙ２＝１（０＜ｘ＜１），轨迹是圆的一部分．故选Ａ．
高二数学 第 １页（共５页）
书书书９．【答案】ＡＣ（每选对１个得３分）
０＋２×０－５
【解析】当ａ＝５时，ｌ：ｘ＋２ｙ－５＝０，点Ｏ到ｌ的距离ｄ＝ ＝槡５，故Ａ正确；当Ｏ在ｌ上时，ａ＝０，ｌ：－４ｙ＋
１ １ １ ２
槡１２＋２２
３＝０，与ｘ轴无交点，故无截距式方程，故Ｂ错误；由垂直可得１·ａ＋２×（－４）＝０，解得 ａ＝８，故 Ｃ正确；由平行关
系可得１×（－４）＝２·ａ，可得ａ＝－２，故Ｄ错误．故选ＡＣ．
１０．【答案】ＡＢ（每选对１个得３分）
【解析】设椭圆Ｃ的长半轴长为ａ，半焦距为ｃ，因为Ｆ（－１，０），Ｆ（３，０），所以２ｃ＝４．因为点 Ａ（３，３）在 Ｃ的内
１ ２
部，所以 ＡＦ ＋ ＡＦ ＝槡（３＋１）２＋（３－０）２＋槡（３－３）２＋（３－０）２＝８＜２ａ．因为点 Ｂ（１，６）在 Ｃ的外部，所以
１ ２
ＢＦ ＋ＢＦ ＝槡（１＋１）２＋（６－０）２＋槡（１－３）２＋（６－０）２＝４槡１０＞２ａ，故Ｃ的离心率
ｃ
∈
( 槡１０
，
１)
．故选ＡＢ．
１ ２ ａ １０ ２
１１．【答案】ＡＣＤ（每选对１个得２分）
{ｙ２＝４ｘ，
π
【解析】显然Ｆ（１，０），故直线ＡＢ的方程为ｙ＝（ｘ－１）ｔａｎ
３
，整理得槡３ｘ－ｙ－槡３＝０，故Ａ正确；联立
ｘ＝
槡３
ｙ＋１，
解
３
２槡３
ｙ＝－ ，
得
{ｙ＝２槡３，
或
３
由Ａ在第一象限知Ａ（３，２槡３），Ｂ
( １
，－
２槡３)
，由抛物线定义知 ＡＢ ＝３＋１＋
１
＋１＝
１６
，
ｘ＝３， １ ３ ３ ３ ３
ｘ＝ ，
３
故Ｂ错误；显然Ａ
→
Ｆ＝（－２，－２槡３），Ｆ
→
Ｂ＝
(
－
２
，－
２槡３)
，Ａ
→
Ｆ＝３Ｆ
→
Ｂ，故Ｃ正确；易得ＡＢ的中点 Ｐ
( ５
，
２槡３)
，故以 ＡＢ
３ ３ ３ ３
为直径的圆的方程为
(
ｘ－
５)２
＋
(
ｙ－
２槡３)２
＝
６４
，代入ｙ＝０知
(
ｘ－
５)２
＝
５２
，可得ｘ＝
５
±
２槡１３
，于是 ＭＮ ＝
４槡１３
．
３ ３ ９ ３ ９ ３ ３ ３
故四边形ＡＭＢＮ的面积Ｓ＝
１
ＭＮ ２槡３＋
２槡３
＝
１６槡３９
，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ．
２ ３ ９
１２．【答案】［２π，＋!）
【解析】易得该圆的标准方程为（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝２ａ２＋１，即半径ｒ＝槡２ａ２＋１≥１，故其周长的取值范围为［２π，＋!）．
ｘ２
１３．【答案】 ＋ｙ２＝１
２
( ３ ) → → ( ３ )
【解析】由题意设Ｍ（ｘ，ｙ），则Ｐ ｘ，０，Ｑ（０，３ｙ），Ｎ（ｘ，－ｙ），由 ＰＱ·ＯＮ＝－３，得 － ｘ，３ｙ·（ｘ，－ｙ）＝－３，即
２ ２
３ ｘ２
－ ｘ２－３ｙ２＝－３，即 ＋ｙ２＝１．
２ ２
１４．【答案】３
ｘ２ ｙ２ ＰＦ ＰＦ
【解析】对于双曲线Ｅ： － ＝１，Ｆ（－４，０），Ｆ（４，０）， ＰＦ －ＰＦ ＝２ａ＝４，所以ｋ＝ １ ２ ．设Ｐ（ｘ，ｙ），
４ １２ １ ２ １ ２ ４
ＰＦ ＰＦ
则ｙ２＝３ｘ２－１２，所以 ＰＦ ＝槡（ｘ＋４）２＋ｙ２＝槡４ｘ２＋８ｘ＋４＝２ｘ＋１，同理，ＰＦ ＝２ｘ－１．故 ｋ＝ １ ２ ＝
１ ２ ４
ｘ２－１，因为 ｘ≥２，所以ｘ２≥４，所以ｋ＝ ｘ２－１≥３．
１５．解：（１）显然ｌ：ｙ＝０，ｌ：ｘ＝－１，故ＡＢ⊥ＢＣ，（２分）
ＡＢ ＢＣ
π π
易知∠ＡＢＣ的平分线所在直线的倾斜角为 ，所以其方程为ｙ－０＝（ｘ＋１）ｔａｎ ，（４分）
４ ４
高二数学 第 ２页（共５页）即其斜截式方程为ｙ＝ｘ＋１．（６分）
６－０
（２）由题意ＡＣ的斜率ｋ＝ ＝－２，（８分）
０ －１－２
１ １
故ＡＣ边上的高所在直线的斜率ｋ＝－ ＝ ，（１０分）
ｋ ２
０
１
又其经过点Ｂ，故其方程为ｙ－０＝ （ｘ＋１），（１１分）
２
即其一般式方程为ｘ－２ｙ＋１＝０．（１３分）
【评分细则】
若考生的最终答案不符合题干所要求的直线方程形式扣２分．
１６．解：（１）设Ｆ（－ｃ，０），Ｐ（ｘ，ｙ），
１ ０ ０
由题意可知，当ｘ＝－ｃ时，ｙ ＝３，（１分）
０ ０
（－ｃ）２ ｙ２
由点Ｐ在Ｅ上可得
－０＝１，
ａ２ ３
ｃ２
即 －３＝１．①（３分）
ａ２
又ａ２＋３＝ｃ２．②（４分）
解①②式得ａ＝１，ｃ＝２，（６分）
ｙ２
所以Ｅ的方程为ｘ２－ ＝１．（７分）
３
（２）由（１）可知Ｆ（－２，０），Ｆ（２，０），（８分）
１ ２
→ →
则ＰＦ＝（－２－ｘ，－ｙ），ＰＦ＝（２－ｘ，－ｙ），（１０分）
１ ０ ０ ２ ０ ０
→ →
{ＰＦ·ＰＦ＝－４＋ｘ２＋ｙ２＝１，
１ ２ ０ ０
由题得 ｙ２
ｘ２－０＝１，
０ ３
解得ｘ＝±槡２，ｙ＝±槡３，（１２分）
０ ０
１ １
所以△ＰＦＦ的面积Ｓ＝ · ＦＦ · ｙ ＝ ×４×槡３＝２槡３．（１５分）
１ ２ ２ １ ２ ０ ２
【评分细则】
若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
１７．解：（１）由椭圆的第一定义可得△ＡＦＦ的周长为２×（２＋１）＝６．（４分）
１ ２
（２）设Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ），（５分）
１ １ ２ ２
{３ｘ２＋４ｙ２＝１２，
联立 得（３＋４ｋ２）ｘ２－３２ｋ２ｘ＋６４ｋ２－１２＝０，（７分）
ｙ＝ｋ（ｘ－４），
１ １
故Δ＝（－３２ｋ２）２－４（３＋４ｋ２）（６４ｋ２－１２）＞０，解得－ ＜ｋ＜ ，
２ ２
１ １ ３２ｋ２ ６４ｋ２－１２
又ｋ≠０，故－ ＜ｋ＜０或０＜ｋ＜ ，且ｘ＋ｘ＝ ，ｘｘ＝ ．（１０分）
２ ２ １ ２ ３＋４ｋ２ １２ ３＋４ｋ２
ｘ＋ｘ １６ｋ２ １２ｋ
设ＰＱ的中点为Ｍ（ｘ，ｙ），则ｘ＝１ ２＝ ，ｙ＝ｋ（ｘ－４）＝－ ．（１２分）
０ ０ ０ ２ ３＋４ｋ２ ０ ０ ３＋４ｋ２
高二数学 第 ３页（共５页）１２ｋ
－
ｙ ３＋４ｋ２ １
若 ＰＦ ＝ ＱＦ ，由Ｆ（１，０），得ｋ ＝ ０ ＝ ＝－ ，可得４ｋ２－１＝４ｋ２，（１４分）
２ ２ ２ ＭＦ２ ｘ－１ １６ｋ２ ｋ
０ －１
３＋４ｋ２
因为此方程无解，所以结论 ＰＦ ＝ ＱＦ 不成立．（１５分）
２ ２
【评分细则】
若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
{ｙ２＝２ｐｘ，
１８．解：（１）联立 得ｙ２＝４ｐ２，ｙ＝±２ｐ，故 ＭＮ ＝４ｐ，（２分）
ｘ＝２ｐ，
５ ＭＮ ８
而 ＤＴ＝ ｐ，故 ＝ ．（３分）
２ ＤＴ ５
( ｐ )
（２）设Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ，ｙ），易知Ｔ－ ，０，ｌ的斜率存在且不为０．
１ １ ２ ２ ２
ｐ
设ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ－ ，则ＡＢ的中垂线斜率为－ｍ．（４分）
２
{ｙ２＝２ｐｘ，
联立 ｐ可得ｙ２－２ｍｐｙ＋ｐ２＝０，
ｘ＝ｍｙ－ ，
２
故Δ＝４ｍ２ｐ２－４ｐ２＞０，即ｍ２＞１，
且ｙ＋ｙ＝２ｍｐ，ｙｙ＝ｐ２，则ｘ＋ｘ＝ｍ（ｙ＋ｙ）－ｐ＝（２ｍ２－１）ｐ，
１ ２ １２ １ ２ １ ２
(２ｍ２－１ )
故ＡＢ的中点为 ｐ，ｍｐ，（６分）
２
( ２ｍ２－１)
ＡＢ的中垂线方程为ｙ－ｍｐ＝－ｍｘ－ ｐ，（７分）
２
( ２ｍ２－１) ３
代入Ｄ（２ｐ，０）可得－ｍｐ＝－ｍ２－ ｐ，即ｍ２＝ ，（８分）
２ ２
３ ３
故 ＡＢ＝槡１＋ｍ２ 槡（ｙ
１
＋ｙ
２
）２－４ｙ
１
ｙ
２
＝
槡
１＋
２
×
槡
４×
２
ｐ２－４ｐ２＝槡５ｐ＝２槡１０，（１０分）
可得ｐ＝２槡２，故Ｅ的方程为ｙ２＝４槡２ｘ．（１１分）
( 槡６)
（３）依题意Ｆ（ｐ，０），Ｄ（２ｐ，０），又Ｇｐ，± ｐ，则ＧＦ⊥ＦＤ，
２
故△ＤＦＧ的外接圆圆心为ＤＧ的中点，即（３槡２，±槡３），（１３分）
其半径ｒ＝
２
１
槡
（ｐ－２ｐ）２＋ ( ± 槡
２
６ ｐ )２ ＝槡５，（１４分）
而圆心到Ｔ（－槡２，０）的距离ｄ＝槡（３槡２＋槡２）２＋（±槡３）２＝槡３５＞ｒ．（１５分）
故 ＴＲ的取值范围为［槡３５－槡５，槡３５＋槡５］．（１７分）
【评分细则】
若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
１９．解：（１）设ｃ为椭圆的半焦距，Ｆ为圆Ｆ：（ｘ－３）２＋ｙ２＝９的圆心，得Ｆ（３，０），ｃ＝３．（１分）
又右顶点为Ａ，且点Ａ在圆Ｆ：（ｘ－３）２＋ｙ２＝９上，故Ａ（６，０）（原点舍去），即ａ＝６，（３分）
则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝２７，（４分）
高二数学 第 ４页（共５页）ｘ２ ｙ２
则Ｃ的方程为 ＋ ＝１．（５分）
３６２７
（２）（ｉ）由于Ｐ，Ｐ，Ｐ为圆Ｆ上三等分圆周的任意三点，且Ｑ，Ｑ，Ｑ 分别为ＦＰ，ＦＰ，ＦＰ的延长线与Ｃ的交
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３
２π
点，故∠ＱＦＱ＝∠ＱＦＱ＝∠ＱＦＱ＝ ．（７分）
１ ２ ２ ３ １ ３ ３
设Ｃ的左焦点为Ｆ，∠ＱＦＡ的补角为α，则ｃｏｓα＝－ｃｏｓθ．
１ １
ＦＱ ２＋ＦＦ２－ＦＱ ２ ＦＱ ２＋３６－（１２－ＦＱ ）２
在△ＱＦＦ中，由余弦定理可得ｃｏｓα＝ １ １ １ １ ＝ １ １ ．（１０分）
１ １ ２· ＦＱ · ＦＦ ２· ＦＱ ·６
１ １ １
９ ９
化简得 ＦＱ ＝ ＝ ．（１２分）
１ ２－ｃｏｓα ２＋ｃｏｓθ
９ ９
（ｉｉ）由题，由（ｉ）可知 ＦＱ ＝ ，ＦＱ ＝ ．（１３分）
２ ( ２π) ３ (２π )
２＋ｃｏｓθ＋ ２＋ｃｏｓ －θ
３ ３
( ２π) (２π )
６＋ｃｏｓθ＋ｃｏｓθ＋ ＋ｃｏｓ －θ
３ １ ３ ３
则∑ ＝ ，（１４分）
ｉ＝１ ＦＱ ９
ｉ
( ２π) (２π ) ２π ２π ２π ２π
又ｃｏｓθ＋ｃｏｓθ＋ ＋ｃｏｓ －θ＝ｃｏｓθ＋ｃｏｓθ·ｃｏｓ －ｓｉｎθ·ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ·ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ·ｓｉｎ ＝０．（１６分）
３ ３ ３ ３ ３ ３
３ １ ２
故∑ ＝ ．（１７分）
ｉ＝１ ＦＱ ３
ｉ
【评分细则】
第二问的第一小问若最终结果不是最简形式扣２分．
高二数学 第 ５页（共５页）
