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丰城中学 2024-2025 学年下学期高二第一次月考试卷
数 学
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；在每小题给出的四
个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）
1. 在数列 1，2，3，2，5，…中，第 9 个数是(
)
A．10 B．10 C. 3 D．33
2．已知数列 ，满足 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
3．在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．3 B．5 C．8 D．15
4. 给出下列关系： ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产
量与气候；④正方形的边长与正方形的面积.其中具有相关关系的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①③
5．设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 为递增数列的充要条件是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
6．设无穷等比数列所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和为 ， 为其首项，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列 的前 项和为 ，若关于 的不等式
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．54
8．过双曲线 的右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 1 时，
直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右
支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；在每小题给出的四
个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得 6 分，有错选的得 0 分,
部 分选对的得部分分）
9．已知数列 中， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是递增数列 C． D．
10．公差为 的等差数列 满足 ,则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D． 的前 项和为
11．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是线段 AD，BC 上的动点，且 AE
＝BF，AC 与 EF 交于 G，EF 在 AB 与 CD 之间滑动，但
与 AB 和 CD 均不重合．在 EF 任一确定位置，将四边形
EFCD 沿直线 EF 折起，使平面 EFCD⊥平面 ABFE，则 EF
从 AB 向 CD 滑动的过程中，下列说法中正确的是( )
A．∠AGC 的角度不会发生变化
B．二面角 G－AC－B 的大小不可能为 90°
C．AC 与平面 ABFG 所成的角变小
D．AC 与 EF 所成的角先变小后变大
三．填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．若等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 .
13．一件家用电器，现价 2000 元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月
第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付 12 次，月利率为 0.8%，
并按复利计息，那么每期应付款 元．（参考数据： ，
， ， ）
14．反棱柱（Antiprism）是由两个互相平行且边数相同的多边形作
共 5页 第 2页为底面和侧面的三角形所组成的一个多面体.如图所示的是一个“正三角反棱
柱”，上下底面都是边长为 1 的正三角形，侧面的三角形都是腰长为 的等腰
三角形，则其外接球的体积为 ．
四、解答题（本大题共6 小题，共77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
15.(本小题满分 13 分)
已知数列 是等差数列，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 的最小值．
16.（本小题满分 15 分）
随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联
网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络
犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机
抽取了 400 人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表
所示：
(1)根据所提供的数据，完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，
能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
(2)对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取 8
人，再从这 8 人
中随机抽取3 人，
记 为抽取的 3 人中女生的人数，求 的分布列和数学期望.
共 517.(本小题满分 15 分)
如图，四边形 是直角梯形，满足 平面
为 的中点，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（本小题满分 17 分）
在递增的等比数列 中， ， ， 为等差数列 的前 项和，
， .
（1）求 、 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
19.（本小题满分 17 分）
已知双曲线 ： ，双曲线 与 共渐近线且经过点 .
(1)求双曲线 的标准方程．
(2)如图所示，点 是曲线 上任意一动点（第一
共 5页 第 4页象限），直线 轴于点 ， 轴于点 ，直线 交曲线 于点 （第
一象限），过点 作曲线 的切线交 于点 ，交 轴于点 ，求
的最小值．
共 5页 第 5页高二数学第一次月考参考答案
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
答 C A B C D A D B BD BC
案
题 11
号
答 ACD
案
12．511 13．176 14．
15．解：（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ， ，得
．
当 时， 有最小值-105．
16．（1）根据题意，得到 列联表为：
男 女 合计
了解 150 90 240
不了解 70 90 160
合计 220 180 400
零假设为 ：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联.
根据列联表中数据，可以求得：
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.
答案第 1 页，共 2 页（2）从男生中抽取： （人），
从女生中抽取： （人）.
的所有可能取值为 ， ， ， ，
，
，
的分布列为：
所以 ..
17．（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
为 的中点， ，
又∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
又∵ 平面 平面 ，
平面 .
（2）解：由题知， 三条直线两两相互垂直，
以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，则 ，故 ，
又 ，故 ，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
答案第 1 页，共 2 页则 ,令 ，可得 ，
易知 为平面 的一个法向量，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．解：（1）设递增的等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
故 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
故 ， ，
（2）因为 ，所以 ， ，
则 ， ，
故
，
故 .
19．解：（1）由题意设 ： ，
将 代入得到 ，
∴曲线 ： ．
（2）设 ， ， ， ，
答案第 1 页，共 2 页则 （*）
设 ，则 ，
解得： ，
代入 ： 方程，得 ，
结合（*）式可知
由于 ，则 ，所以 ．
所以 是 、 的中点， ．
因为四边形 是矩形， ， ，
所以 为四边形 的中心，所以 ，
在 与 中， ，分别以 为底时，高相同，
所以 ，
则 ，
因为过双曲线 上一点 的切线方程为 ，
所以直线 的方程为： 即 ，
因为 ，所以 ，令 ，所以 ，
，，
令 ， ，
令 ， ．
当且仅当 ，即 ， ， 时，取得最小值．
