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问津教育联合体 2027 届高二 10 月联考
数学试卷
考试时间：2025年10月14日 14:30-16:30 试卷满分：150分
一.单选题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过 ， 两点的直线的倾斜角为（ ）
.
A 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜率的概念，求出两点之间的斜率，根据正切函数，求出倾斜角大小即可.
【详解】由 ， 得 ，
设直线倾斜角为 ，则 ，可得 .
故选：D.
2. 集合 ，集合 ，从 ， 中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是
奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算．
【详解】组成两位数的样本空间 ，有11个；
样本点这个两位数是奇数的两位数为 ，有5个.
故所求概率为 .
故选：C3. 如图，在四面体 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 是线段 上靠近点 的一个
三等分点，令 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算来求得正确答案.
【详解】连接 ， ，
则
.
故选：A
4. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4， 为圆锥底面圆的直径， 是 的中点， 是母线
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长 至点 ，使 ，连接 ， ， ，得到 为异面直线 与 所成
的角（或补角），再解 即得解.
【详解】延长 至点 ，使 ，连接 ， ， ．
因为 是母线 的中点，所以 ，
所以 为异面直线 与 所成的角（或补角）．
由题意知 ， ，又 是 的中点，所以 ，
所以在 中， ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
在 中， ，则由余弦定理得 ，
故选：A．
【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法：方法一：（几何法）找 作（平移法、补形法） 证
（定义） 指 求（解三角形）；方法二：（向量法） ，其中 是异面直线 所成的
角， 分别是直线 的方向向量.
5. 抛掷一枚骰子两次.设事件 为“第一次向上的点数是2”，事件 为“第二次向上的点数是奇数”，事件
为“两次向上的点数之和能被5整除”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件 与事件 互为对立事件
B.
C.
D. 事件 与事件 相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求得 判断B；应用列举法求得 判断C；根据独立事件的定义计算判断D,
【详解】对于A，由事件定义，当第一次出现2点，第二次出现1点，则事件 与事件 同时发生，故不
互为对立事件，故A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
对于B， 事件的 发生的样本点为 ，共3种，
所以 ，故B错误；
对于C， “第二次向上的点数是偶数”，且“第一次向上的点数是2”，
包含的基本事件为 共3种，所以 ，故C正确．
对于D，事件 包含的样本点有
，
共18种，所以 ，
事件 包含的样本点有 共7种，
所以 ， ，
所以 ，故D错误.
故选：C．
6. 已知向量 ， ， ，当 时，向量 在向量 上的投影向量为
（ ）（用坐标表示）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出 ，再利用投影向量公式求出答案.
【详解】 ， ，解得 ，
，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：A.
的
7. 如图，在长方体 中， ， ， ，点 是棱 中点，点 是
棱 的中点， 是侧面四边形 内一动点（含边界），若 平面 ，则线段 长度的
最小值为（ ）
A. B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，可证平面
平面 ．然后可知点 的运动轨迹为 ，进而可以利用解三角形的知识求出线段 长度的最小值．
【详解】如图所示：取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，
所以 ，又因为点 是棱 的中点，点 是棱 的中点，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又点 是棱 的中点，点 是棱 的中点，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ， ，
又因为 ， ，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ．
又 是侧面四边形 内一动点（含边界），且 平面 ，
所以点 的运动轨迹为 ，故当 时，线段 的长度取得最小值．
又在长方体 中， ， ， ，
所以 ， ，
，
所以 ，当 时， 为 的中点，此时 ，
所以线段 长度的最小值为 ．
故选：A．
8. 如图，在正方体 中， 是 中点，点 在线段 上，若直线 与平面
所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设棱长为1， ，建立如图坐标系，根据 计算点P坐标和向量
，再写出平面 的一个法向量 的坐标，根据 构建关系，求其值域即
可．
【详解】如图，设正方体棱长为1， ，则 ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
则 ，故 ， ，又 ，则，所以 ．
在正方体 中，可知体对角线 平面 ，
所以 是平面 的一个法向量，
所以 ．
所以当 时， 取得最大值 ，当 或1时， 取得最小值 ．
所以 ．
故选：A．
二.多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 空间中三点 是坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 点 关于平面 对称的点为 D. 与 夹角的余弦值是
【答案】AB【解析】
【分析】利用空间向量的求模公式，数量积公式及点的对称性即可判定.
【详解】由题意可得： ， ，
所以 ，故A正确；
，即 ，故B正确；
点 关于平面 对称的点为 ，故C错误；
，故D错误.
故选：AB
10. 下列叙述错误的是（ ）
A. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或
B. 若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
C. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
D. 若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可.
【详解】对于A，与 轴垂直的直线的倾斜角为 ，与 轴垂直的直线的倾斜角为 ，
所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或 ，故A正确；
对于B：由于直线倾斜角 的取值范围是 ，
因此 不在此范围内时不是直线的倾斜角，
如当 时，直线斜率 ，但直线倾斜角为 ，故B错误；
对于C，设直线的倾斜角为 ，
当 ，斜率 ，当 ，斜率 ，故C错误；
对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误.故选：BCD.
11. 已知正方体 的棱长为1，动点P满足 （ ， ，
），下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，
B. 当 ， ， 时，则P到平面 的距离的最小值是
C. 当 ， 时， 的最小值为
D. 当 ，且 时，则P的轨迹总长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，计算 ， 可判断A；利用点到平面的
距离的向量公式，即可判断B；将折线距离和转化为平面内两点间距离即可判断C；利用点到平面的距离
公式，结合点 的轨迹，利用数形结合，即可判断D.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系 ，则
因为 ，∴
对于A，当 时， ，此时 , ， ，得
， ，
所以直线 与平面 垂直，故A正确；对于B，由选项A知，向量 也是平面 的一个法向量，当 ， ，
时， ， ，则点 到平面 的距离
，所以P到平面 的距离的最小值是 ，故B不正确；
对于C，当 ， 时， ， ，
故 ，
故
令 ，则
如图所示， ，
显然当 三点共线时， 取得最小值，最小值为 ，当且仅当 ，即 时，等号成
立，此时
则 的最小值为 ，故C正
确；
对于D，当 时，可得 四点共面，所以点 的轨迹在 内（包括边界），设点
在平面 内的投影为点 ，
因为 ，所以点 是 的中心，
，平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离 ，
若 ，则 ，
即点 落在以 为圆心， 为半径的圆上，点 到 三边的距离为 ，
此时 ，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，其轨迹长度为
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间三点 ， ， ，则 到直线 的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间中点得到对应向量，利用向量数量积可得到 ，进而即可求解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
则点 到直线 的距离为 .
故答案为：
13. 已知点 ， ，经过点 作直线 ，若直线 与线段 没有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合并根据斜率计算公式即可得到答案．
【详解】作出示意图如图所示：
由题意知直线 的斜率分别为 ， ．
因为直线 与线段 没有公共点，所以 或 ，
所以直线 斜的率 的取值范围是 .
故答案为： ．
14. 已知平行六面体 中，各条棱长均为 ，底面是正方形，且
，设 ， ， .则异面直线 与 所成的角的余弦值为
__________.【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可表示出 ，根据向量数量积的定义和运算律可求得 ，利用向量数量
积的定义和运算律可求得 ，由向量夹角运算求得 ，由此可得所求余弦值.
【详解】因为 ，
所以
，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以
，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知坐标平面内直线 经过 、 两点，直线 经过 、 两
点.（1）若直线 ，求实数 的值；
（2）若直线 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
的
【分析】（1）根据直线平行 条件列出方程，求解即可；
（2）分 与 两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可.
【小问1详解】
， ，
因为 ，所以 ，解得 或 .
又因为 ，且 与 不能重合，所以 ，即 ，
故 .
【小问2详解】
当 时， ，解得 ；
当 时，直线 斜率不存在，倾斜角为 ；而 ，倾斜角为 ，
满足 ，合题意，故 或 .
16. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着
国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对
， 两部门开展专项技能培训.
（1）已知该公司 ， 两部门分别有3位领导，需要从这6位领导中随机选取3位当组长负责组织培训工
作，假设每人被抽到的可能性都相同，求组长中有两位来自于 部门的概率；（2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ， ， ，每轮的培
训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用列举法求得选取3位当组长的总的方法数，进而求得两位来自于 部门的不同结果，利
用古典概型概率公式求解即可；
（2）记 “甲经过培训合格”， “甲第 轮培训达到优秀” ，可得
，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式求
解即可.
【小问1详解】
记 部门的3名领导为 ， ， ， 部门的3名领导为 ， ， ，
从这6位领导中随机选取3位当组长，不同结果有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种，
组长中有两位来自于 部门的不同结果有： ， ， ， ， ， ， ，
， 共9种，
所以组长中有两位来自于 部门的概率为 .
【
小问2详解】
记 “甲经过培训合格”， “甲第 轮培训达到优秀” ，则 ， ， ， ，
依题意，
，
所以甲经过培训合格的概率为 .
17. 如图，四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且 底
面 ， 是棱 的中点，点 在棱 上．
（1）证明： ；
（2）若 平面 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，再证明 平面 ，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可.
【小问1详解】
如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，由 知 ，∴ ， ， ， 四点共面，
由题设知 ， ，
又 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，且 ， 均为锐角，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ；
【小问2详解】
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
由题设知 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，得 ．
设 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，得 ．
∴ ，
即二面角 的余弦值为 ．
18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的
两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当
一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛
中，甲胜乙和乙胜丙的概率均为 ，甲胜丙的概率为 ，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛乙
轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式及互斥事件和的概率公式求解；
（2）决出冠军为四个互斥事件的和，分别求概率，利用互斥事件和的概率公式得解.
【小问1详解】
记事件 为甲胜乙，则 ， ，
事件 为甲胜丙，则 ， ，
事件 为乙胜丙，则 ， ，
前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况分两种：
丙被淘汰的概率为 .
【小问2详解】
只需四场比赛就决出冠军的情况有四种：
所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为：
.19. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 .
①若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
②在线段 上是否存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上？若存在，求线段 的长；若
不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得 平面 ，然后根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）①建立空间直角坐标系，设 ，求得 ，求出平面 的法向量，利用线
面角的向量公式列式，即可求得线段 的长.
②由题意 ，从而得 ，由 得 （*），因为方程（*）无实数解，
故不存在点 .
【小问1详解】
在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问2详解】如图以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，
建立如图所示直角空间坐标系 ，
设 ，则 ，由 ， ， ， ，
则 ， ，
因 ，则 ， ，且
所以 ， ，
①设平面 的法向量为 ，由 ， ，
得： ，可取 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ，
则有： ，
即 ，化简得： ，
解得 或 ，
又因为 ，即 ，所以 ，即 ；②如图，假设在线段 上存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
又 得 ， ，所以 ， ，
由 得 ，即 ，
亦即 （*），
因为 ，所以方程（*）无实数解，
所以线段 上不存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上.
