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2024－2025 学年度（上）期末考试
高 2026 届数学试题
考试时间120分钟 试题总分150分 试卷页数4页
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
的
1. 直线 倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
.
2 已知等比数列 中， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. 6 D. 不确定
3. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过 的直线 的一
个法向量为 ，则直线 的点法式方程为： ，化简得 .类
比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 的平面的一个法向量为 ，则该平面的
方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 方程 所表示的图形是（ ）
A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 两个圆 D. 两个半圆
5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运
算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列 满足： ， ，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6. 已知椭圆 的一个焦点是 ，过原点的直线与 相交于点 ， ， 的面积是
，则 （ ）
.
A B. C. D.
7. 数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8. 如图： ， 是双曲线 的左右焦点，以 为圆心的圆与双曲线 的左右两支分别交于
， 两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错得0分.
9. 已知数列 和 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A. 是等比数列
B. 可能是等差数列
C. ， ， 是等比数列
D. 是等比数列
10. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两
点，分别过 ， 作准线的垂线，垂足为 ， ，线段 的中点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 线段 长度的最小值为
B. 若 ， ，则 为定值
C.
D. 若 ，则直线 倾斜角的正弦值为
的
11. 如图，在棱长为6 正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段
上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 体积为定值
B. 存在点 ，使平面 平面C. 设直线 与平面 所成角 为，则 最小值为
D. 平面 截正方体 所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 内一点 的坐标为 ，平面 外一点 的坐标
为 ，则点 到平面 的距离为______.
13. 已知等差数列 中，前 项和为 ，这 项中的偶数项之和为 ，且 ，则数
列 的通项公式 ______.
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过 作直线交椭圆 于 、 两点，其中点
在 轴下方， 内切圆交边 于点 ，则线段 的长度取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 与两坐标轴均相切，且过点 .直线 过点 交圆 于 ，
两点.
（1）求圆 的方程；
（2）若 且 ，求直线 的方程.
16. 如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为2的正三角形， ，点 ， 分别在
线段 ， 上，且 ， .（1）求证： 平面
（2）求直线 与平面 所成角正弦值.
17. 已知 为等差数列， 为等比数列且公比大于 ， ， ， ，
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，求 .
18. 如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，把三角形 沿着
翻折，得到如右图所示的四棱锥 ，记二面角 的平面角为 .
（1）当 时，求证： 平面 ；
（2）当 时，
（i）求点 到底面 的距离；（ii）设 是侧棱 上一动点，是否存在点 ，使得 的余弦值为 ，若存在，求
的值.
19. 已知椭圆 左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，经过点 且倾斜角为
的直线 与椭圆交于 ， 两点（其中点 在 轴上方）， 的周长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半轴和
轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直.
①若 ，求三棱锥 的体积；
②是否存在 ，使得 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ？若存在，求 的
值；若不存在，请说明理由.
