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三明一中 2025-2026 学年上学期 10 月月考高二
数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
第 I 卷（选择题共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.
【详解】因为直线方程为 ，所以斜率 ，
设倾斜角为 ，所以 ，所以 ，
故选：C.
2. 若 ， ，则 （ ）
A. 22 B. C. D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的坐标运算公式，以及数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
详解】由向量 ， ，可得 ，且 ，
则 .
故选：C.
3. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
第 1页/共 18页【分析】先化方程为 ，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】由直线 ，可得 ，
则直线 和 的距离为 .
故选：B.
4. 已知 ， ， ，若向量 ， ， 共面，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理，得到存在实数 使得 ，结合题意，列出方程组，即可求
解.
【详解】由向量 ， ， ，
因为向量 ， ， 共面，则存在实数 使得 ，
即 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
5. 已知直线 ： 与 ： 平行，则 m 的值是（ ）
A. B. 2 或 C. 6 D. 或 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解.
【详解】由直线 ，得 ,解得 或 ，
当 时，直线 ： 与直线 ： 平行，
当 时，直线 ： 与直线 ： 平行，
所以 m 的值是 或 6.
第 2页/共 18页故选：D
6. 在正三棱锥 中， ，点 分别是棱 的中点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到 ， ，结合向量的数量
积的运算公式化，即可求解.
【详解】如图所示，在正三棱锥 中， ，
可得 ，
因为点 分别是棱 的中点，
可得 ， ，
所以
．
故选：D．
7. 已知点 ， ．若直线 与线段 无公共点，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第 3页/共 18页【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段无公共点，结合图形可得直线斜率的范
围，利用直线的斜率公式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以直线 的方程恒过定点 ，斜率为 .
因为 ， ，
所以 ， .
如图所示，
由图象可知， ， 即 时，直线 与线段 无公共点，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：A.
8. 已 知 实 数 ， ， ， 满 足 ， ， ， 则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把问题转化为点到直线的距离求解.
【详解】设 ， .
因为 ， ，所以 .
第 4页/共 18页又 ，即 .
所以 为等边三角形.如图：
取 中点为 ，则 ，点 在以 为圆心， 为半径的圆上.
分别过 做直线 的垂线，垂足分别为 .
则 .
又 ，
所以 ，
即 .
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B. 经过点 且斜率为 2 的直线方程为
C. 直线 的斜率为 0
D. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断 AC，利用点斜式直线方程求解判断 B，求出直线与坐标轴的
第 5页/共 18页交点坐标，进而计算三角形面积求解判断 D.
【详解】对于 A，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角为 ，斜率不存在，故 A 错误；
对于 B，过点 且斜率为 2 的直线的方程为 ，即 ，故 B 正确；
对于 C，直线 的斜率不存在，故 C 错误；
对于 D，对于直线 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以直线 在 轴上的截距为 2，在 轴上的截距为 ，
所以直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ，故 D 正确.
故选：AC.
10. 已知直线 过点 且交圆 于 两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若圆 关于直线 对称，则
B. 的最小值为
C. 若 的方程是 ，则圆 上有 3 个点到直线 的距离为 2
D. 圆 在 两点处的切线的交点轨迹方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线 过圆心，求得 ，可判定 A 正确；由圆的性质得，当 垂直于 时，求得
，可判定 B 正确；求得圆心 到直线的距离为 ，结合 ，可判定 C 错误；设
，结合 和 ，联立方程组，求得 ，结
合 在圆 上，得到 ，可判定 D 正确.
【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
对于 A，若圆 关于直线 对称，则直线 过圆心，此时 ，所以 A 正确；
对于 B，由点 满足 ，可得点 在圆内，
由圆的性质得，当 垂直于 时，此时 最短，且 ，
所以 ，所以 B 正确；
第 6页/共 18页对于 C，若直线 的方程是 ，则圆心到直线的距离为 ，
因为 ，所以圆 上有 个点到直线 的距离为 ，所以 C 错误；
对于 D，设 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
由 ，可得 ，
可得 ，
联立方程组 ，两式相减得到 ，
因为 在圆 上，满足 ，即 ，
所以 ，即 成立，所以 D 正确.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为 6 正方体 中，M 是棱 的中点，点 P 是线段 上的动点，点
Q 在正方形 内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（ ）
A. 若存在点 Q，使得
B. 存在点 P，使得
第 7页/共 18页C. 面积的最小值是
D. 若 ，则三棱锥 体积的最大值是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用线面垂直推理判断 A；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断 BC；求出点 的轨迹求
解判断 D.
【详解】对于 A，假定存在点 ，使得 ，连接 ，由 平面 ， 平面
，
得 ，而 平面 ，
于是 平面 ，又 平面 ，因此 ，
而点 在正方形 内（含边界）运动，显然不存在这样的点 ，故 A 错误；
对于 BC，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
令 ，则 ，
第 8页/共 18页，假定存在点 ，使得 ，
则 ，整理得 ，而 ，
解得 ，因此存在点 ，使得 ，故 B 正确；
显然点 在直线 上的投影为点 ，
则点 到直线 的距离 ，
当且仅当 时取等号，因此 面积的最小值是 ，故 C 错误；
在 中， ，则 ，即 ，
在平面 内以直线 为 轴，线段 中垂线为 轴建立平面直角坐标系，如图，
有 ，于是 ，整理得 ，
因此以点 为圆心，4 为半径的圆 在正方形 及内部的圆弧即为点 的轨迹，
当点 为线段 与圆 的交点时，点 到底面 的距离最大，最大距离为 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 ，故 D 正确.
故选：BD
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 恒过定点 ，则直线 关于 点对称的直线方程为_________．
【答案】
【解析】
第 9页/共 18页【分析】根据直线过定点的求法可求得 点坐标，根据关于 对称的两条直线平行，且到 点距离相等
可构造方程求得结果.
【详解】由 得： ，当 时， ， ；
设直线 关于 点对称的直线方程为 ，
，解得： 或 （舍），
直线 关于 点对称的直线方程为 .
故答案为： .
13. 已知点 和点 到直线 的距离相等，且 过点 ，则直线 的方程为______.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意，分 和直线 过线段 的中点两种情况讨论，结合直线的点斜式方程，即可求
解.
【详解】因为点 和点 到直线 的距离相等，且 过点 ，
当直线 时，可得 ，
可得直线 的方程为 ，即 ；
当直线 过线段 的中点 ，由 ，即 ，
则 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
综上可得，直线 的方程为 或 .
14. 若实数 、 满足 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【详解】令 ，此时， ，
第 10页/共 18页且题设等式化为 .
于是， 满足方程 .
如图，在 平面内，点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆在 的部分，即点 与
弧 并集.
故 .
从而， .
15. 已知空间中三点 ，设
（1）已知 ，求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的坐标.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据条件得到 ， ，再利用向量垂直
的坐标表示，即可求解；
（2）根据条件得到 ，再利用 ，即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，得到 .
第 11页/共 18页【小问 2 详解】
因为 ，又 ，所以 ，解得 或 ，
所以 的坐标为 或 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）求 BC 边上的中线 AD 的所在直线方程；
（2）求△ABC 的外接圆 O 被直线 l： 截得的弦长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求 BC 边的中点 D 的坐标，再得 AD 的斜率即可求解；
（2）先求△ABC 的外接圆 O，再求圆心到直线.直线 l 的距离，再由勾股定理可求解.
【小问 1 详解】
∵ ，
∴BC 边的中点 D 的坐标为 ，
∴中线 AD 的斜率为 ，
∴中线 AD 的直线方程为： ，即
【小问 2 详解】
设△ABC 的外接圆 O 的方程为 ，
∵A、B、C 三点在圆上，
∴
第 12页/共 18页解得：
∴外接圆 O 的方程为 ，即 ，
其中圆心 O 为 ，半径 ,
又圆心 O 到直线 l 距离为 ,
∴被截得的弦长的一半为 ,
∴被截得的弦长为 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ， ，M
为 的中点，N 为 的中点，解答以下问题：
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 的距离；
（3）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量 ，结合 ，
即可证得直线 平面 ；
（2）由（1）知： 平面 ，得到直线 与平面 的距离即为点 N 到平面 的距离，
结合向量的距离公式，即可求解；
第 13页/共 18页（3）设直线 与平面 所成角为 ，利用向量的夹角公式，求得 的值，进而得到直线 与
平面 所成角的余弦值.
【小问 1 详解】
证明：如图所示，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 x，y，z 轴建立坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以直线 平面 .
【小问 2 详解】
解：由（1）知： 平面 ，且平面 的法向量为 ，
所以直线 与平面 的距离即为点 N 到平面 的距离，
设点 到平面 的距离为 ，
又由 ，可得 ，
所以直线 与平面 的距离为 .
【小问 3 详解】
解：设直线 与平面 所成角为 ，且 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .
第 14页/共 18页18. 已知圆 .
（1）若直线 与圆 相交，求实数 的取值范围；
（2）若点 为 轴上一点，过点 作圆 的切线，切点分别为 和 .
①求四边形 面积的最小值；
②当点 横坐标为 4 时，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用距离公式即可得到答案.
（2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案.
【小问 1 详解】
命题等价于 到直线 的距离小于 ，
即 ，解得 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
①易知 ，
所以 ，
等号对 成立，故最小值是 ；
②因为 ，所以 四点共圆，圆心为 的中点 ，
因为 ，所以圆 的半径为 ，
第 15页/共 18页方程为 ，即 ，
直线 为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线 的方程为 .
19. 已知圆 和定点 ，动点 ､ 在圆 上.
（1）过点 作圆 的切线，求切线方程；
（2）若满足 ，设直线 与直线 相交于点 .
①求证：直线 过定点；
②求证： .
【答案】（1） 或 ，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解，
（2）设直线 方程，与圆方程联立后由韦达定理化简 后证明，
以 得直线 方程与 坐标，再由斜率公式计算 后化简证明
【小问 1 详解】
第 16页/共 18页当直线斜率不存在时， 与 相离，
当直线斜率存在时，设切线方程 即 ，
，解得 或 ，
切线方程为 或 ，
【小问 2 详解】
若直线 斜率不存在，由对称性得 ，
令 ，由 解得 ，则 ，
直线 方程为 ，
若直线 斜率存在，设方程为 ，
联立直线与圆方程得 ，
时得 ，
而 ，
化简得 ，当 时，直线过 ，不合题意，
故 ，直线过 ，而直线 也过 ，
综上，直线 过定点 ；
， ，故直线 方程为 ，
得 ， ，
第 17页/共 18页
