第41届全国中学生物理竞赛决赛理论试题_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1028第41届全国中学生物理竞赛决赛理论试题+实验试题（含答案）

第 41 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题 2024年10月26日9:00-12:00 一、（50 分）实验研究发现，某些原子核会释放出一个电子而转变为另 一种原子核，释放出的电子的动能呈连续谱分布，这种现象被称为原子 核的β 衰变。例如原子核210Bi发生β 衰变释放出的电子的动能分布谱 83 （在210Bi静止的参考系中测得）如图1a所示。已知电子的静止质量𝑚 83 (cid:3032) 0.511 MeV/c2。忽略电子在原子中的结合能。 （1）记发生β 衰变的母原子的静止质量、发生β 衰变后的子原子的静 止质量分别为𝑀 (𝑍,𝐴)、𝑀 (𝑍+1,𝐴)，其中𝑍、𝐴分别是母原子的原子序 (cid:2900) (cid:2888) 数、核子数。由于将原子的电子都电离掉而研究原子核的β 衰变非常困 难，因此通常在原子层次上考察原子核的β 衰变。试给出原子发生β 图1a 衰变的条件。 （2）已知210Bi的原子质量为M  209.984130 amu（其中amu为原子质量单位，1 amu 931.494MeV/c2）， 83 P 在β 衰变后生成的原子质量为M  209.982883 amu 。假如在β 衰变过程中除去释放出β 电子之外没有 D 生成另外的新粒子，那么β 电子的动能（以MeV为单位）是多大？设210Bi原子在初始时是静止的。 83 （3）第（2）问得到的β 电子的动能是完全确定的，这显然不符合实验观察到的连续谱的结果；所以在β 衰变的过程中必然有其他粒子生成。若只生成了一个其他粒子，试根据图1a所示的实验结果估算该粒子的 静止质量的范围。 （4）研究表明，原子核发生β 衰变的元过程是其中的一个中子 n 转变成了一个电子e(cid:2879)、一个质子 p 和一 个其他粒子X。已知中子、电子和质子自身都具有固有的角动量，称为粒子的自旋；进一步的研究表明，中 1 h 子、电子和质子的自旋的取值都是量子化的，它们各自在任意给定方向上的投影的大小都为 （  ，h   2 2π 是普朗克常量）。设微观粒子1的角动量为L （它在任意给定方向上的最大投影为l ）、微观粒子2的角动 1 1 量为L 2 （它在任意给定方向上的最大投影为l 2 ），这两个粒子的总角动量L  L 1  L 2 在任意给定方向上的 最大投影的可能值为 l l ,  l l 1  , ,l l  。求粒子X的带电量和自旋。 1 2  1 2   1 2  二、（50分） 晶格的热振动问题常可简化成耦合的弹簧振子问题。考虑一个一维耦合弹簧振子系统模型。设有 N （N1）个质量为M的大珠子，编号为1、3、5、···、2N1；N个质量为m的小珠子，编号为2、4、6、···、 2N。这2N个珠子按编号从小到大的次序套在一个光滑、水平、闭合、刚性的固定大圆环上。所有编号相邻 的珠子之间（包括1号和2N号）都由相同的、劲度系数为k的轻弹簧相连，并达到静力平衡状态。 现研究上述一维耦合弹簧振子系统S在平衡状态附近的微振动。由于圆环半径远大于相邻珠子的间距， 可近似认为每个珠子是各自在相应的直线上振动的质点。 （1）试写出第 i（i1,2, ,2N ）个珠子满足的运动方程，设其偏离平衡位置的位移为𝑥 ，𝑥 的正方向均与  (cid:3036) (cid:3036) 环的逆时针方向一致。 （2）S 有各种振动形式。其中有一类特别的振动模式，在此振动模式中所有珠子都以相同的频率作稳定的 微振动。这称为S的本征模式，其频率称为本征频率。试求出S的所有可能的本征频率𝜔。提示：可尝试用 波（行波）的形式（相邻珠子振动的相位差为𝛼）求解。 （3）对于频率为𝜔的本征模式，设所有大珠子的振幅都为𝐴，小珠子的振幅都为𝐵。求 （3.1）𝐴和𝐵之间的关系； （3.2）所有珠子在一个振荡周期内的平均动能 E 和S的总能量E，结果中均不能出现𝐵。（设静力平 k 第1页 共5页衡状态的能量为0。） （4）假设1号珠子被锁定不动，但其余所有珠子仍可无摩擦滑动。试求出这种情况下S的所有微振动的本 征频率𝜔；并对频率为𝜔的本征模式，导出其𝑥 =𝑥 (𝑡)（i1,2, ,2N ）的表达式（结果中均不能出现𝐵）。 (cid:3036) (cid:3036)  （5）如1号珠子的锁定被解除，且其质量变为。即使在这种情况下，该系统也有一些本征频率𝜔完全不依 赖于。试求出这种情况下 S 的所有不依赖于的微振动的本征频率𝜔；对于频率为𝜔的本征模式，试导出 𝑥 =𝑥 (𝑡)（i1,2, ,2N ）的表达式（结果中均不能出现𝐵）。 (cid:3036) (cid:3036)  三、（50分）本题中的一些物理量用复数表示。例如，电场强度的某分量随传播距离𝑙和时间𝑡变化的关系式 的复数表示为E(t) Eei(klt 0 )，其中和k分别为角频率和波矢的大小，𝜙 为初相位；𝐸(cid:3560)是复数，而相应 (cid:2868) 𝐸是𝐸(cid:3560)的模(cid:3627)𝐸(cid:3560)(cid:3627)，余类推。 第一部分：光学器件的矩阵表示。 （1）（1.1）马赫-曾德尔（Mach-Zenhder，简称MZ） 干涉仪示意图如图3a所示。入射光经过半透半反分束 器，再经过上下两处全反镜（全反射镜），分为上路（射 向M1）和下路（射向M2）；再经过第二个相同的半透 半反分束器后发生干涉。可调节光路，使第二个分束器 下方的探测器探测的光强为零。这时入射光的能量去 了哪里？作图并简明描述。 （1.2）利用图3a所示的装置可研究分束器的透 图3a：马赫-曾德尔干涉仪示意图（部分） 射系数和反射系数之间的关系。这里分束器是一个 50/50半透半反（对所有偏振）分光器件，即反射系数𝑟̃和透射系数𝑡̃的大小满足 √2 𝑟 =|𝑟̃|=𝑡 =|𝑡̃|= 2 反射、透射都会引入相位差，即 𝑡̃ 𝑟̃ =𝑟e(cid:3036)(cid:3083)(cid:3293), 𝑡̃ =𝑡e(cid:3036)(cid:3083)(cid:3295)， =e(cid:3036)((cid:3083)(cid:3295)(cid:2879)(cid:3083)(cid:3293)) =e(cid:3036)(cid:3109) 𝑟̃ 试求𝜙为多少？ （2）图3b给出了光的P、S偏振正方向的定义：在图3b(a)中，k为光的传播方向，P-S-k构成右手正交系， P 方向又称为水平方向 H，S 方向又称为垂直方向 V；图 3b(b)画出了分 束器涉及的入射、反射和透射光中的 P、S、k 方向，以反射为例，𝒌 、 (cid:3045) P、S 分别代表反射光的传播方向、反射光中P、S偏振的正方向。经分 (cid:3045) (cid:3045) 束器后，反射光的P、S 偏振分量均可用入射光的P、S 分量表示 (cid:3045) (cid:3045) (cid:3036) (cid:3036) 𝐸(cid:3560) =𝑎(cid:3556)𝐸(cid:3560) +𝑏(cid:3560)𝐸(cid:3560) , 𝐸(cid:3560) =𝑐̃𝐸(cid:3560) +𝑑(cid:4634)𝐸(cid:3560) (cid:3045)(cid:2900) (cid:3036)(cid:2900) (cid:3036)(cid:2903) (cid:3045)(cid:2903) (cid:3036)(cid:2900) (cid:3036)(cid:2903) (a) (b) 它们可由一个矩阵表示 (cid:4678) 𝐸(cid:3560) (cid:3045)(cid:2900)(cid:4679)=(cid:3436) 𝑎(cid:3556) 𝑏(cid:3560) (cid:3440)(cid:4678) 𝐸(cid:3560) (cid:3036)(cid:2900)(cid:4679) 图3b 𝐸(cid:3560) 𝑐̃ 𝑑(cid:4634) 𝐸(cid:3560) (cid:3045)(cid:2903) (cid:3036)(cid:2903) 上式中的2×2矩阵称为分束器的反射 矩阵，余类推。已知分束器对P和S分 量的反射系数分别为𝑟̃ =𝑟 e(cid:3036)(cid:3083)(cid:3293)(cid:3148)和 (cid:2900) (cid:2900) 𝑟̃ =𝑟 e(cid:3036)(cid:3083)(cid:3293)(cid:3151)，试写出分束器的反射矩阵 (cid:2903) (cid:2903) 𝑅(cid:3560)和透射矩阵𝑇(cid:3560)的具体形式（用本问中 给的已知量和常数表示）。 (a) 全反镜 (b) 1/4波片(快轴 ) (c) 线偏振片 （3）图3c(a)为全反镜示意图，试写出 图3c 它的反射矩阵𝑀(cid:3561). (cid:3095) （4）对于 1/4 波片，偏振沿其快轴的光经过波片后会比偏振沿其慢轴的光的相位领先 。图 3c(b)为快轴沿 (cid:2870) 第2页 共5页45方向的1/4波片的示意图，𝒌垂直于此波片。写出该波片的矩阵𝑄(cid:3560)，并将其表示成标准形式𝑄(cid:3560) =𝑎(cid:3556)(cid:3436) 1 𝑏(cid:3560)′ (cid:3440)。 𝑐̃′ 𝑑(cid:4634)′ （5）线偏振片的透光方向沿水平（H）、垂直（V）和45方向的示意图如图3c(c)所示，分别写出它们的矩 阵𝐿(cid:3560) 、𝐿(cid:3560) 、𝐿(cid:3560) . (cid:2892) (cid:2906) (cid:2878)(cid:2872)(cid:2873)° 第二部分：四象限干涉。 干涉仪是通过光强的变化测量相位变化的一 种仪器。一般的干涉仪（如迈克尔逊干涉仪）仅测 量光强并可据其定出相位∆𝜙的大小，但无法确定其 正负，还需要通过观察条纹的吞吐变化才能判断∆𝜙 的正负。这在某些应用中并不方便。图3d给出了四 象限干涉仪的示意图，它可以通过仅测量A、B处 探测器的干涉光强，便可得到∆𝜙的确定值（−𝜋 < ∆𝜙 ≤𝜋）。 激光经过一个垂直透光方向（垂直于纸面）的 线偏振片(V)被全反镜 1 反射后射入半透半反分束 器1，分成光路1和光路2。光路1的光被全反镜5 图3d： 四象限干涉仪示意图 反射，再经过快轴沿45的1/4波片进入半透半反 分束器2，再次被分成两路后分别通过线偏振片(V)到达探测器A和线偏振片(H)到达探测器B。光路2的光 被全反镜2、3和4反射后，通过一个透光方向沿45的线偏振片，再由分束器2分成两路，分别射向探测 器A、B。 （6）已知激光器发出的激光到达分束器 1前的振幅为𝐸 ，𝑙 、𝑙 、𝑘分别表示光从分束器1 沿光路 1、2 到 (cid:2868) (cid:2869) (cid:2870) 达分束器 2 的光程和激光的真空波矢的大小，分别写出探测器 A 的光强和探测器 B 的光强中的干涉项 干涉 干涉 𝐼 、𝐼 （干涉项是指光强中因干涉所引起的贡献，即两路光同时存在的光强减去两路光单独存在时的光 (cid:2885) (cid:2886) 干涉 干涉 干涉 强）。进而将𝐼 的计算结果中的总相位记为∆𝜙，再将𝐼 、𝐼 用∆𝜙表示出来。 (cid:2885) (cid:2885) (cid:2886) 干涉 干涉 （7）简述如何通过𝐼 、𝐼 的数值求得∆𝜙的方法。 (cid:2885) (cid:2886) 不计光在传播过程中的所有损耗。 四、（70分）考虑在刚性、粗糙的水平地面上的一个载人的两轮平衡车简化模型，如 图 4a 所示。该模型包含两个相同的刚性圆形车轮（厚度忽略不计），每个车轮的半 径为r，质量为m且均匀分布在车轮边缘；两车轮的圆心用长度为d 、质量可忽略 的细直刚性轮轴相连，两车轮各自所在平面始终与轮轴垂直。将平衡车除两轮、轮 轴以外的其它车体部分和车上站立的人简化为质量为M 、长度为L的匀质刚性细 杆，细杆底端和轮轴中心位置C相连，细杆可绕C做无摩擦转动；此外，细杆与轮 轴之间可以有沿轮轴方向的力偶矩（即扭矩，由杆上的发动机提供）。假设车轮在地 面上始终做纯滚动。忽略平衡车系统内部所有摩擦阻力、空气阻力和形变导致的能 图4a 量损失。取z轴正向为竖直向上，x轴与轮轴平行，y轴与车行进的方向平行。已知 重力加速度大小为g。 （1）本问中发动机不输出扭矩，细杆与轮轴之间的接触可视为点接触；设两个车轮 与轮轴不是刚性连接（可以各自独立转动），且车轮质量可以忽略。 考虑平衡车的转弯过程，C点在水平面上做角速度为的匀速圆周运动。细杆始 终保持在轮轴所在的竖直平面内，且向内侧的倾角𝜙保持不变，其后视图如图 4b 所 示。求 （1.1）C点运动轨迹的半径𝑅(𝜙)； （1.2）地面对左、右两个车轮的正压力的大小𝑁 、𝑁 （最后表达式中不得含𝑅）。 左 右 图4b 第3页 共5页在下面第（2）（3）问中，细杆在垂直于轮轴的平面内运动；两个车轮与轮轴刚 性连接，车轮质量不可忽略。 （2）考虑平衡车沿直线向前加速的过程，平衡车的侧视图如图4c所示。设细杆处 在向前倾角为的位置，为使保持不变，发动机需要对轮轴施加合适的扭矩()。 求()和平衡车质心的加速度a()。设 y 轴正向指向平衡车前进的方向，扭矩的 正向为图4c中的逆时针方向。 （3）考虑平衡车的小振动。假设发动机输出的扭矩()满足第（2）问求出的函数 关系式，关系式中的各参量仍为第（2）问中的值。但是，本问中细杆的质量变为 M。对于合适的M值，细杆倾角（在0附近）和C可以做频率相同的小振 动。求M需满足的条件，以及此小振动的角频率。 图4c 五、（50分）考虑一个球对称的恒星，其物质分布在半径为𝑅的球体中，总质量为M，球心为O．假设恒星 物质只含有两种成分：一是中性或电离的原子，称为原子物质；二是辐射，称为光子气体。已知万有引力常 量为𝐺. 假设恒星的总能量主要来自原子物质，在以下第（1）（2）（3）（4）问中可忽略辐射。 （1）首先研究恒星的静力平衡，此时可将恒星物质视为流体。设 r 为恒星内的任一点到其中心 O 的距离， 该点处流体的压强为𝑝(𝑟)，质量密度为𝜌(𝑟)，半径为𝑟的球体内的总质量为𝑚(𝑟)。试写出平衡状态下𝑚(𝑟)与 𝑝(𝑟)满足的微分方程。 （2）利用第（1）问的结果，证明𝑚(𝑟)与𝑝(𝑟)满足不等式 d  Gm2(r) p(r) 0 dr 8πr4    并据此估算恒星中心O处压强的下界，结果用𝑀、𝑅、G表示。 （3）试计算恒星自身的引力势能，用𝑝(𝑟)的积分式表示。设所有恒星物质被球对称地拉到无穷远处为势能 的零点。 （4）考虑恒星物质的热力学。假设恒星物质的内能密度u(r)与压强p(r)满足关系 (𝛾−1)𝑢(𝑟)=𝑝(𝑟) 其中𝛾为绝热指数。只考虑𝛾 >1且𝛾不依赖于𝑟的情形。如果恒星不会解体，𝛾应满足什么条件？ 以下各问考虑辐射的效应。假设恒星内部的光子仍然以真空中的光速𝑐传播。 （5）假设恒星内光子气体处处达到局域热平衡，光子气体的内能来自光子的能量，压强来自光子的光压。 试计算这种光子气体的绝热指数 𝛾. （6）原子物质能吸收光子。当辐射通过厚度为d𝑟、密度为𝜌的物质薄层时，有部分光子被吸收。被吸收的光 子所占的比例为𝜅(𝑟)𝜌(𝑟)d𝑟，其余光子穿过该物质薄层，其中𝜅(𝑟)称为不透明度。假设𝜅(𝑟)不依赖光的频率。 原子物质吸收光子而受到光压，由此导致了光子气体的压强差。设恒星在以O为中心、半径为𝑟的整个球面 向外辐射的功率（光度）为𝐿(𝑟)，试给出温度𝑇(𝑟) 满足的微分方程，结果可包含𝐿(𝑟)、𝑚(𝑟)、𝜅(𝑟)、𝑟及相 关常量和常数。 （7）假设恒星内原子物质的分压随半径 𝑟的增大而减小。试估算恒星表面处光度𝐿(𝑅) 的上界，结果用 𝑀、𝜅(𝑅)与相关常量和常数表示。 8π2 h 提示：可利用Planck 黑体辐射能谱为 B(,T) c3 eh/kT 1  z3dz π4 和积分公式   ez 1 15 0 第4页 共5页六．（50分）根据量子力学不确定性关系 xp（这里， 2 h x、p分别是粒子的位移𝑥、动量𝑝的不确定度，  是 2π 约化普朗克常量，h是普朗克常量），一个简谐振子的位移 𝑥和动量𝑝不可能都为零，因此其基态能量不可能为零。基 于类似的理由，真空中的量子电磁场最低态（即没有光子 的态）的能量也不能为零。这导致了一个有趣的现象：将两 块相距一定距离的不带电的导体板平行放置在真空中，它 图6a 们之间存在非零的电磁相互作用力。 现用一个简单模型来考察这个力的起源，该模型只考虑一维空间中电磁波的传播，并假设电磁波只有一 种偏振模式。将三块相同的不带电的理想导体薄板A、B、C相互平行放置，A、B之间距离为𝑎，A、C之 间距离为𝐿（𝐿 ≫𝑎），如图6a所示。已知真空中的光速为c。 （1）真空电磁波在A、B之间形成驻波，导体板表面的位置为波节。试求出A、B之间所允许的电磁波的 角频率。类似地，求出B、C之间所允许的电磁波的角频率。 （2）由于量子效应，一个振动角频率为𝜔的简谐振子的基态能量为1 ℏ𝜔。类似的，真空中角频率为𝜔的电 2 1 磁波的一个模式所贡献的真空电磁场能量（零点能）为 ℏ𝜔。试写出 A、C 之间真空电磁场总能量的表达 2 式。（提示：表达式可能是发散的，即不是有限的。） （3）推导出导体板B所受到的电磁相互作用力的表达式。 （4）自然界真实力的大小总是有限的。我们导出的结果之所以发散，是因为采用了过于简化的假设。例如， 实际的导体板不是理想导体，频率足够高的电磁波总能够穿过导体薄板，因而不受驻波条件的约束。所以这 些高频电磁波模式几乎不受导体板位置的影响，也不会对我们想要计算的电磁力产生贡献。为了将这一效 应考虑在内，可以采取如下方法：我们仍然保留第（1）问中求得的驻波条件，但假设每一个电磁波模式对 电磁场总能量的有效贡献是 1 ℏ𝜔𝑒(cid:2879) (cid:3343) (cid:3352) (cid:3195) 。这里𝛬与𝜔的量纲相同，且满足 (cid:3064)(cid:3028) ≫1。试计算在𝐿 →∞、𝛬 →∞的 2 (cid:3030) 极限下导体板B受到的电磁力。 （5）第（4）问中，用一个特定的指数函数来控制高频电磁波的贡献，得到了一个有限的电磁力；但是，这 个电磁力的大小不依赖于具体函数形式的选取。因此，考虑一个更一般的函数 f(x)，它只需要满足两个条 件： A. f(0)1， 1 B. 当𝑥 →∞时，|𝑓(𝑥)|以比 更快的速度趋于零； x 1  每一个电磁波模式对电磁场总能量的贡献为 f( )。试计算在𝐿 →∞、𝛬 →∞的极限下导体板B受到的  2 π 电磁力，并说明结果不依赖于函数 f(x)的具体形式。 （提示：欧拉-麦克劳林公式如下 N N F(N)F(0) F(N)F(0) F(j1)(N)F(j1)(0) F(n)F(n)dn    B j   2 12 j! n1 0 这里𝐹((cid:3037))是𝐹的𝑗阶导数，𝐵是伯努利数。如需用到该公式，可只取前两项。） (cid:3037) 第5页 共5页