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运城中学 2025-2026 学年第一学期高二年级期中考试
数学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D D A C D ACD AC
题号 11
答案 BC
12． /0.4
【分析】根据空间向量共面定理即可求得 .
【详解】∵ ，
由空间向量共面定理得： ，
故答案为： .
13．8或
【分析】利用直线平行的距离公式进行求解即可．
【详解】解：由 ： 得 ，
直线 与直线 ： 的距离为1
则两平行直线的距离 ，
解得 或
故答案为 或
【点睛】本题主要考查平行直线的距离公式，根据条件进行转化结合平行直线的距离公式
是解决本题的关键．
14．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关
系算出PA的最大值.
【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，则 ，设 ，
由 ，得 ，
整理得 ，即
因此，点P的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
PA长的最大值等于 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：
由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出 点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大
值为 点到圆心距离加上半径.
15．(1)
(2) 或 .
【分析】（1）先求 点坐标，由垂直关系得 斜率后求解，
（2）由题意得 过原点或斜率为 后求解
【详解】（1）联立 得 即 .
因为 ，不妨设直线l的方程为 ，将点 代入 ，得 ，
所以直线l的方程为 .
（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是 ，即 ；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为 ，
将点 代入 ，得 ，
所以直线l的方程为 ，即 .
综上所述，直线l的方程是 或 .
16．（I） ； （II）答案见解析.
【分析】(Ⅰ)首先求得抛物线的方程，然后求得AO的斜率，最后利用直线垂直的充分必要
条件可得直线 的方程；
(Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理得到系数之间的关系，然后结合直线方程的
形式即可证得直线恒过定点.
【详解】（I）因为 在抛物线 上，所以 ，
所以 ，抛物线 .
当点 与点 重合时，易知 ，
因为以线段 为直径的圆恒过点 ，所以 .所以 .
所以 ,即直线 的方程为 .
（II）显然直线 与 轴不平行，设直线 方程为 .
，消去 得 .
设 ，因为直线 与抛物线交于两点，所以 ①
因为以线段 为直径的圆恒过点 ，所以 .
因为 是抛物线上异于 的不同两点,所以 , .
,同理得 .
所以 ,即 , .
将 ①代入得， ，即 .
代入直线方程得 .
所以直线 恒过定点 .
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到
根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，
可直接使用公式|AB|＝x＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
1 2
17．(1) ， ；
(2)
【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解；
（2）连接 ，取 的中点 ，连接 ，推导出异面直线 ， 所成角就是
，利用余弦定理解三角形，能求出结果．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，
所以 ；
（2）连接 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ， 是异面直线 ， 所成的角，
因为 分别是 的中点，
所以 ， ， ，
又 ， ，
，
异面直线 ， 所成的角的余弦值为 ．
18．(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明；
（2）利用垂直关系，以点 的中点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面 和平
面 的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明： 平面 ， 平面 ，
．
，且 ， ， 平面 ，
平面 ．
（2）取 的中点 ，连结 ，
， ，
平面 ， 平面 ，
， ， 平面 ，
平面 ，取 中点 ，又 ， ．
分别以OA，OM，OP为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰 中， ， ．
， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
， ，令 ，得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
，则 ，令 ，得 ， ， ．
．
注意到二面角的平面角为钝角，
二面角 的余弦值为 ．
19．(1) (2) (3) 或9
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式列式计
算.
（2）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求解.（3）依题意，列出 的解析式，通过作商判断概率 的增减性，即可求出 的最大值以
及此时 的值.
【详解】（1）“经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各
取到了1个黑球和1个红球，
且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，
所以所求概率为 .
（2）“经过两次操作后，手上恰好有1个黑球”，
即“两次操作中一次取到黑球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”，
因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上，
所以所求概率为 .
（3）依题意， ，
由 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以当 或9时， 取最大值.
