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2024 级校际联考（五）数学学科试题
时间：120分钟 满分：150分
一､单选题.（本题共8小，每小题5分，共40分.在每小题四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1. 已知 ，则 （ ）
A. 11 B. C. 45 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先根据空间向量的线性运算得出 ，再应用数量积公式计算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：
2. 若直线 与直线 平行，则 （ ）
A. 0 B. 或0 C. D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】由直线平行得到 ，求解并验证即可.
【详解】由直线 与直线 平行，
可得： ，
解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，两直线重合，舍去，
当 时，经检验符合题意，
故选：C
3. 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为
，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量
共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断 C；
根据法向量垂直则面面垂直可判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，则 ，解得 ，故A错误；
对于B，由 ，得 ，则 ，解得 ，故B错误；
对于C，由 ，得 ，则 或 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ，故D正确.
故选：D.
4. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为
（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由渐近线斜率求离心率.
【详解】直线 的斜率为 ，所以双曲线一条渐近线的斜率为-3，
即 ，所以离心率 .
故选：A.
5. 如图，在棱长为1的正方体 中，那么直线 与平面 所成的角的余弦值是 （
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的性质及边长，得出坐标关系，从而求出平面的法向量，再利
用空间向量的余弦公式计算求解．
【详解】以 为原点，以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
，
设平面 法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
的
设直线 与平面 所成的角为 ， ，则
，
．
故选：B．
6. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为坐标原点，点 为椭圆 上一点，点
为 中点，若 的周长为6，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由中位线性质得出焦点 的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得．
【详解】因为 为 的中点，而 是 中点，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的周长是 周长的一半，
又 的周长为6，所以 周长是12，
即 ，得 ，
又 ，所以 ， ．
故选：B．
7. 已知 ， ，圆 上有且仅有一个点 满足 ，则
的取值可以为（ ）
A. 1或3 B. 2 C. 3 D. 1或5
【答案】A
【解析】
【分析】点 在阿波罗尼斯圆上，且是圆 上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的
圆心和半径.
【详解】设 ，由 ，两边平方得 ，
整理得 ，圆心 为，半径为2．
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时 无解，
所以只能是两圆内切，即 ，
解得 或1．
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学科网（北京）股份有限公司时圆 在内， 时圆 在外
故选：A
8. 如图，已知在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形， 是以 为斜边的等腰直角三
角形， 平面 ，点 是线段 上的动点（不含端点），若线段 上存在点 （不含端点），
使得异面直线 与 成 的角，则线段 长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先取取 中点 ，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，结合二次函数
的值域即可求出线段 长度的取值范围.
【详解】如图，取 中点 ，连接 ，因 平面 ， 平面 ，故平面
平面 ，
因 是以 为斜边的等腰直角三角形，
故 ，又 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，
如图分别以 和过点 与 平行的直线为 轴建立空间直角坐标系.
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
设 ，设 ，
故 ，得
又因为 ，且异面直线 与 成 的角，
故 ，即
即 因 则有 ，
则 故得 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查运用建系法求解空间角的问题，属于较难题.
解题关键是根据条件建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，然后利用二次函数的值域
求参数取值范围.
二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 向量 ，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为
B. 在空间直角坐标系中，点 关于坐标平面 的对称点是
C. 已知向量 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底
D. 已知 ，则向量 在向量 上的投影向量是
【答案】BC
【解析】
【分析】由共线反向得到 可判断A，坐标系中点的对称，可判定B；根据共面向量定理，可判定C；根据
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学科网（北京）股份有限公司投影向量的计算方法，可判定D.
【详解】对于A，当 时， 共线反向，故A错；
对于B，由对称坐标表示可知点 关于坐标平面 的对称点是 ，B正确，
对于C，若 共面，则存在 ，使得 ，
由 ，则 ，显然这两个未知量无实数解，
所以 也是空间的一个基底，C正确；
对于D中，由 ， ， ，
可得 ，则 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，所以D错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “直线 与直线 互相垂直”是“ ”的充分不必要条件
B. 直线 的倾斜角 的取值范围是
C. 若圆 上恰有两点到点 的距离为1，则 的取值范围是
D. 过点 且在 轴， 轴上的截距互为相反数的直线方程是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直线垂直求出 的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为 计算斜率的取值范围，
进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得
到选项C正确；对于D：分截距是否为0两种情况求解可判断；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A.由两直线垂直得， ，解得 或 ，
“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，选项A错误.
B.由 得， ，直线斜率 ，
∵ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴倾斜角 的取值范围是 .选项B正确.
C.到点 距离为 的点在圆 上，
由题意得， ，圆 与圆 有两个公共点，两圆
相交，
∵圆心距 ，
∴ ，
∴ ，即 的取值范围是 ，选项C正确.
对于D：截距为0时，设直线方程为 ，又直线过点 ，
所以可得 ，所以直线方程为 ，
当截距不为0时，设直线方程为 ，又直线过点 ，
所以可得 ，所以直线方程为 ，
所以过点 且在 轴， 轴上的截距互为相反数的直线方程为 或 ，故D错误；
故选：BC
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，短轴长为 ，离心率为 ， 是椭
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学科网（北京）股份有限公司圆 上异于长轴端点 的一动点，点 与点 关于原点对称，则（ ）
A. 的面积最大值为
B. 的最小值为
C. 若以 为直径的圆经过 两点，则 点的轨迹方程为
D. 椭圆 上存在点 ，使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点 位于短轴顶点时， 的面积最大；B证明四边形
为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点 的圆的一般方程，将 三点坐标代入求出
圆方程，利用 关于圆心对称，求出 点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点 位于短轴顶点
时符合题意.
【详解】由题意可知， ， ， ，解得 ，
则 ， ， ,
当点 位于短轴顶点时， 的面积最大，最大值为 ，故A错误；
因点 与点 关于原点对称，则四边形 为平行四边形，则 ，
因 ，则
,
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学科网（北京）股份有限公司等号成立时 ，故B正确；
设过点 的圆的方程为 ，
设 ，且 ， ， ，
则 ， ， ，
得 ， ，
则过点 的圆的方程为 ，圆心 ，
因 为圆 的直径，则 关于点 对称，则 ，
令 ，则 ，
因 ，则 ，
因 ，则 点的轨迹方程为 ，C正确；
当点 位于短轴顶点时，此时 为等边三角形， ，故D正确.
故选：BCD
三､填空题（本题共3小题.每小题5分，共15分，）
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学科网（北京）股份有限公司12. 设椭圆 ： ( ， )的左､右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 是 上一点，
且 ，若 的面积为 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解.
【详解】根据题意，离心率为 ，所以 ，所以 ，设 ， ，
由椭圆的定义可得， ，因为 ，所以 ，因为 的面积为 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体 中， ，
点M为 与 的交点，则 的长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】可以通过向量的加法将 表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式 来求解.
【详解】根据向量加法三角形法则得到， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，即 ，展开得到，
，
运用数量积公式计算得到 .
因为 ，所以 .
为
故答案 ： .
14. 已知点 为直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ，切点为
，则 的最小值为__________；当 最小时，则直线 的方程为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由切线可知 ， ，可得 ，进而分析最值；整理可得
，进而分析最值，利用两圆相交时公共弦的方程求法运算求解.
【详解】因为圆 可化为 ，可知圆心为 ，半径 ，
又因为 是圆 的两条切线，则 ，
可知 四点共圆，且 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
当且仅当 时， 取到最小值，即 取得最小值，
可设直线 的方程为 ，
代入点 可得 ，即 ，所以直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 ，即 ，
则 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ；
又因为 ，
当且仅当 时， 取到最小值，即 取得最小值，
此时 ， ，且线段 的中点为 ，
则以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
因为圆 ，两圆相交，
所以两圆方程相减即为直线 的方程 .
故答案为： ； .
四､解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分，16､17题每题15分，18､19题每题17分，
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学科网（北京）股份有限公司解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知圆过点 ， 且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 经过点 ，且与圆 相交截得的弦长为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求出线段 的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解；
（2）按直线 的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解.
【小问1详解】
因为 ，
所以线段 的中点坐标为 ，直线 的斜率 ，
因此线段 的垂直平分线方程是 .
联立 ，解得 ，
所以圆心 的坐标 .
圆 的半径长
所以圆心为 的圆的标准方程是 ；
【小问2详解】
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以圆 到直线 的距离 .
①当直线 的斜率不存在时，此时圆心 到直线的距离为 ，不符合题意.
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学科网（北京）股份有限公司②当直线 的斜率存在时，设 ，
即 .
所以 ，解得 或 .
直线 的方程为 或
16. 如图，四棱锥 的侧棱 底面 ，已知底面 是正方形，若 ，且
是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可.
【小问1详解】
如图，连接 交 于点 ，连接 ，
因为底面 是正方形，
所以 为 的中点，
又因为 是 的中点，
所以在 中， ，
又 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ；
【小问2详解】
因为四棱锥 的底面 是正方形，所以 ，
又因为侧棱 底面 ， 底面 ，
所以 ， ，
如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， .
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知椭圆 的上、下焦点分别为 ， ， 为椭圆 上的一个动点，当
取最大值时，其余弦值为 ，且点 到上焦点 的距离的最大值为9.又知双曲线 与椭圆
有公共焦点，它们的离心率之和为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求双曲线 的标准方程；
（3）设 是双曲线 与椭圆的一个交点，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设椭圆的焦距为 .当点 在椭圆左右顶点时， 取最大值；当点 在椭圆下顶点
时，点 到上焦点 的距离最大.由此得到 关系，根据 求出 ，得到椭圆 的标准
方程.
（2）由双曲线 与椭圆 有公共焦点且它们的离心率之和为 ，可得到双曲线的实半轴长和半焦距，从
而求出双曲线 的标准方程.
（3）结合双曲线和椭圆的定义，得到 的关系，利用余弦定理求得 ，从而求得
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学科网（北京）股份有限公司，并求得 的面积.
【小问1详解】
当 取最大值时， 为短轴的端点，如图1：
由 ， ， ，所以 .
又点 到上焦点 的距离的最大值为9，如图2，即 ，解得 ， .
由 ，可得 ， 椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
由题意，设双曲线 的方程为 ，且 .
由椭圆方程为 ，得到焦点坐标为 ，椭圆的离心率为 .
因为双曲线 与椭圆 有公共焦点，则 .
因为椭圆与双曲线的离心率之和为 ，即 ，所以双曲线 的离心率 ，
则 ，即 ，所以 ，故双曲线 方的程是 .
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）（2）结合椭圆和双曲线的定义，得 ， ，
解得 或 又 ，所以在 中，
由余弦定理得 ，
所以 .
故 的面积为 .
18. 如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点， 为
正三角形，平面 平面 .
（1）连接 ，求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）在线段 上是否存在异于端点的点 ，使得平面 和平面 夹角的余弦值为 ？若存在，
确定点 的位置；若不存在，说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， 为 中点
【解析】
【分析】（1）根据已知条件利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据（1）中的结论以及已知条件以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
写出相应点的坐标，从而得出相关向量的坐标，设平面 的法向量为 ，建立方程组得出法
向量的坐标，再利用向量法求出点到面的距离即可；
（3） ，且 ，根据（1）的结论和（2）建立的空间直角坐标系以及已知条件，利用
向量法列出平面 和平面 夹角的余弦值的表达式求出参数 分析即可.
【小问1详解】
连接 ，如图所示：
为正三角形，又 为 中点，
，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
分别为 的中点，
，
，
如图：
，
以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则
则点 到平面 的距离为 .
【小问3详解】
设存在，
由（1）可知 是平面 的一个法向量，
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学科网（北京）股份有限公司由题可设 ，且 ，
，
则 ，
设平面 的法向量为 ，由于 ，
则 ，
令 ，则 ，
，
整理得 ，解得 或 （舍），
故存在点 ，使得平面 和平面 夹角的余弦值为 ，
此时 为 中点.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，椭圆 上有两点 关于原点对
称，动点 与 两点的连线分别交椭圆 于点 ，满足 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求动点 的轨迹方程；
（3）过 点作椭圆 的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）为定值，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程，求出基本量，进而得到椭圆方程即可.
（2）结合题意，设出点的坐标，利用 得到 ，利用 得到
，再将两式相加即可.
（3）设出切线方程并联立方程组得到 ，再结合判别式
得到 ，最后利用韦达定理求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆的短轴长为2，离心率为 ，所以 ， ，
由椭圆的性质得 ，且 ，解得 ， ，
则椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
设 ，
而 关于原点对称，则 ，可得 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
可得 ，因为 在椭圆上，所以其坐标满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，化简得 ，
而 ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ，则 ，
因为 在椭圆上，所以其坐标满足 ，
则 ，化简得 ，
两式相加可得 ，即 .
【小问3详解】
如图，作出符合题意的图形，
由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为 ，得到切线方程为 ，
联立方程组 ，
得到 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，
化简得 ，
设过 的两条切线的斜率分别为 ，
因为 的轨迹方程为 ，所以解得 ，
由韦达定理得 .
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学科网（北京）股份有限公司
