文档内容
2025～2026 学年高二上学期 10 月考试
数 学 试 题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间 120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作
答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.⃗AB+⃗BC−⃗DC=
A.⃗AD B.⃗AC C.⃗BC D.⃗BD
2.已知点A(-4,7),B(3,21),则直线AB的斜率为
1 1
A.-2 B.− C. D.2
2 2
3.已知直线l₁: ax+y+3=0,l₂:x+ ay+3=0,若l₁∥l₂,则a=
A.-1 B.1 C.0 D.-1或1
4.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,7),b=(2,3,-4),则平面α与β的位置关系是
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定
5.如图,在平行六面体ABCD-ABCD 中,A₁C₁与B₁D₁ 相交于点O,记 ⃗AB=a,⃗AD=b,⃗A A =c,则 ⃗BO=
1 1 1 1 1
1 1
A. a+ b+c
2 2
1 1
B.− a+ b+c
2 2
1 1
C. a− b+c
2 2
1 1
D a− b−c
2 2
6.一条光线从点A(-4，6)射出，与x轴交于点B(-1，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为
A. y=-x-1 B. y=2x+2 C. y=-3x-3 D. y=4x+4
7.已知空间向量a =(-2,-1,2),b =(1,1,2),c =(x,-x,10)共面,则x=
A.-1 B.1 C.2 D.3
8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=1,AB=2,AB∥CD,AB⊥AD,点E是四边形 ABCD 内π
部的一点，且平面 ABP 与平面PBE 的夹角为 ，则点 E 的轨迹的长度为
4
4❑√5
A.
5
4❑√10
B.
5
8❑√2
C.
5
2❑√30
D.
5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量a=(1,-1,0),b=(0,1,-1),则下列说法正确的是
A.向量a,b的夹角为²π₃
B.∣2a+b∣=❑√5
C.若O是坐标原点，且 ⃗OA=a,⃗OB=b,则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为 ❑√3
1
D.向量a在向量b 上的投影向量为 − b
3
A.向量m =(3,2)是直线2x+3y+1=0|的一个方向向量
3❑√5
B.直线2x-y+1=0与直线4x-2y-1=0之间的距离为
10
C.若直线 ax-(a+1)y-1=0与直线x-ay+2=0相互垂直,则实数a的值为-2或0
[π π) (π 2π)
D.直线 y=❑√3xsinθ−1(θ∈R)的倾斜角的取值范围是 , ∪ ,
3 2 2 3
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中,E,F分别是棱AB₁,BB 的中点,点 P 是正方形CDDC₁ 内部
1 1 1 1 1 1 1
任意一点(包括边界)，则
A. AP的长度的最大值为2❑√3
B.若AP⊥平面 DEF,则点 P 为CD的一个三等分点
1
8❑√13
C.平面DEF截正方体ABCD-ABCD 所得截面的周长为 ❑√2+
1 1 1 1 3
2❑√34
D.直线 DP 与平面DEF 所成角的正弦值最大为
17
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.点 P(5,-4,1)关于 y轴对称的点的坐标为 .
13.已知A(-2,5),B(4,1)两点到直线x-my+2=0的距离相等,则 m= .
14. 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,A
→ → → → → →
,H在棱PD 上,若E,F,G,H 四 点
AD‖BC,BC=2AD,PE=EA,PF=2FB,CG=2GP
PH
共面,则 = .
PD四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知直线l经过点A(2，-1)，求满足下列条件的直线l的方程.
(1)与直线x-2y+4=0垂直;
(2)在 y轴上的截距为3；
(3)在坐标轴上的截距相等.
16.(本小题满分15分)
已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量p= 2a-b+3c.
(1)证明:{a+b,b,c}是空间的另一个基底;
(2)用基底{a+b,b,c}表示向量p.
17.(本小题满分15分)
已知直线l的方程为(m+1)x+(1-m)y+m+3=0.
(1)求直线l所过定点M 的坐标；
(2)当m为何值时，点P(6，3)到直线l的距离最大?最大距离是多少?18.(本小题满分17分)
如图，在四棱柱. ABCD−A B C D 中,底面ABCD是边长为2的正方形,DC⊥底面ABCD,DC=2,O为BD
1 1 1 1 1 1
的中点, ⃗OP=λ⃗OD (0<λ<1).
1
(1)证明:OD₁∥平面A₁BC₁;
1
(2)当 λ= 时，求 DP 的中点到平面A₁BC₁的距离；
2
π
(3)当直线 DP 与平面A₁BC₁ 所成的角为- 时，求λ的值.
3
19.(本小题满分17分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面ABCD 为长方形,AD=2AB=2,O为AD 的中点,OP⊥AD, OP=1,BP=❑√3.
(1)证明:OC⊥平面OBP;
(2)点E为底面ABCD 所在平面内的任意一点(E在长方形ABCD 外,∠EAD和 ∠EDA均为锐角)，且
AE+ DE=2❑√2.
(i)若平面APE 和平面DPE 的夹角为θ,求 cosθ的最大值;
(ii)请判断是否存在点 E，使得五棱锥 P-ABCDE 存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存
在，请说明理由.
