文档内容
大庆实验中学实验一部 2023 级高二上学期
8 月份开学考试
数学学科试题
2024.8.21—2024.8.22
本试卷共2页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
3. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或90°
4. 设 是三条不同的直线， 是两个不重合的平面，给定下列命题：① ；②
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学科网（北京）股份有限公司； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥
. 其中为真命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄 绕C点旋转时，通过连杆 的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 在 处.设连杆 长 ，曲柄CB长 ，
则曲柄自 按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点 移动的距离 ）约为（
）（结果保留整数）（参考数据： ）
A. B. C. D.
的
6. 若 第 百分位数是 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地
连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位℃)
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；
是
③丙地：5个数据中有一个数据 32，平均数为26，方差为 ；
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学科网（北京）股份有限公司则肯定进入夏季 的地区有
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 在三棱锥 中， ，平面 平面
，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 分别在线段 上运动（端点除外），
.当三棱锥 的体积最大时，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 以下结论中错误的是（ ）
A. “ ”是“ 共线” 充的要条件
B. 若 ，则存在唯一的实数 ，使
C. 若 ，则
D. 若 为非零向量且 ，则 的夹角为直角
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件
表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件 表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件 表示“两次
取出的球的数字之和是偶数”，事件 表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A. 与 是互斥事件 B. 与 互为对立事件
C. 发生的概率为 D. 与 不相互独立
11. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将 沿直线AM翻折成 ，连接 ，N为
的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司在
A. 不存 某个位置，使得
B. 翻折过程中，CN的长是定值
C. 若 ，则
D. 若 ，当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若 ， ， 与 的夹角为 ，且 ，则 的值为________．
13. 已知样本数据 都为正数，其方差 ，则样本数
据 、 的平均数为______.
14. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人
在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响. 若甲在每
个环节中获胜的概率都为 ，乙在每个环节中获胜的概率都为 ，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和
为2的概率为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15.
一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽
取卡片．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
(2)若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．
16. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛. 为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取
了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计. 请根据下面尚未完成并有局部污
损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表：
频 频
组别 分组
数 率
第1
8 0.16
组
第2
组
第3
20 0.40
组
第4
0.08
组
第5
2
组
合计
频率分布直方图：
（1）写出 的值；
（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰 同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划
为多少合理？
（3）某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数： ，已知这10个分数的平均数
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学科网（北京）股份有限公司，标准差 ，若剔除其中的100和80这两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.
17. 如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ， ， ，
， ， 分别 ， 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
18. 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按
顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为 ，收到的数字是0的概
率为 ；发送数字0时，收到的数字是0的概率为 ，收到的数字是1的概率为 ．假
设每次数字的传输相互独立，且 ．
（1）当 时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；
（2）用 表示收到的数字串，将 中数字1的个数记为 ，如 “1011”，则 ．
（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且 ，求 ；
（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求 的最大值．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，
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学科网（北京）股份有限公司使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. 意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均
小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于
或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题：
（1）若 是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点 到各顶点的距离之和；
（2） 的内角 所对的边分别为 ，且 ，点 为 的费马点.
（ⅰ）若 ，求 ;
（ⅱ）若 ，求 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司大庆实验中学实验一部 2023 级高二上学期
8 月份开学考试
数学学科试题
2024.8.21—2024.8.22
本试卷共2页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】11
【14题答案】
2
【答案】
3
四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
【15题答案】
【答案】（1）0.5（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【17题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【18题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） 的最大值为
【19题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ; （ⅱ）
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