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黑龙江省实验中学 2025-2026 学年度
高二学年上学期期中考试
数学学科试题
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 若直线 ，下列直线与 平行的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两条直线平行时的条件 即可求出.
【详解】直线 ，其中 、 、 ，
对于选项 ， 、 、 ，此时 ， ， ， 两条直线不平行，
故 不正确.
对于选项 ， 、 、 ，此时 ， ， ， 两条直线不平行，故
不正确.
对于选项 ， 、 、 ，此时 ， ， ， 两条直
线重合，故 不正确.
对于选项 ， 、 、 ，此时 ， ， ， 两条直线平
行，故 正确.
故选： .
第 1页/共 18页2. 点 关于 轴的对称点为 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定 Q 的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得答案.
【详解】由题意知点 关于 轴的对称点为 ，则 ，
故点 到直线 的距离为 ，
故选：C
3. 抛物线方程为 ，则此抛物线的准线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】 抛物线方程为 ，则 ，可得 ， 抛物线的准线为 .
故选：D．
4. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以
椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆 的蒙日圆
是 ，若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为 ，根据蒙日圆与圆 只有一个
第 2页/共 18页公共点，结合圆与圆的位置关系，得到 或 ，求得 的值，即可得到
答案.
【详解】由椭圆的方程 ，可得 且 ，且蒙日圆方程为 ，
可得蒙日圆的圆心为原点 O，半径为 ，
又由圆 的圆心为 ，半径为 2，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
可得 或 ，
又因为 ，所以 或 ，
解得 或 ．
故选：B．
5. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 是椭圆 上任意一点.若 ，则椭圆
的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得 ，进而求离心率.
【详解】由题设 ，且 ，则 ，
所以 .
故选：B
6. 双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
第 3页/共 18页【分析】根据双曲线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，
故其渐近线方程为 ，结合渐近线方程为 ，故 ，
故选：A
7. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对
称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称
轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径 ，镜深 ．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，
射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点 的距离应为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解.
【详解】以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则 ，设 平面截该镜面所得的抛物线方程为 ，
代入 ，得 ，
则小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点 的距离应为 .
故选：D
第 4页/共 18页8. 已知抛物线 ，圆 ，过圆心 作斜率为 的直线 与抛物线 和圆 交于四
点，自上而下依次为 ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，可得圆心 C 为抛物线的焦点，求出弦 AB 长，设出直线 AB 方程并与抛物线方程联
立，结合韦达定理求解作答.
【详解】如图，圆 的圆心为 ，半径 ，
且 为抛物线 的焦点，抛物线 的准线方程为 ．
设 ，则 ．
因为 ，则 ，可得 ．
设直线 的方程为 ，显然 ，且直线 与抛物线 必相交，
由 得 ，易知 ，
所以 ，解得 ．
故选：A.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知点 和圆 ，下列说法正确的是（ ）
第 5页/共 18页A. 圆心 ，半径为
B. 点 在圆 外
C. 圆 关于直线 对称
D. 设点 是圆 上任意一点，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断 A 选项；求 并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置
关系，判断 B 选项；验证圆心是否在直线上，即可判断 C 选项；由 与圆的半径，求出 的范围，
判断 D 选项.
【详解】圆心 ，半径为 ，A 选项错误；
∵ ，∴点 在圆 外，B 选项正确；
∵圆心 在直线 上，∴圆 关于直线 对称，C 选项正确；
∵ ，圆半径 ，∴ ，D 选项正确.
故选：BCD.
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P 是 C 上的任意一点，则（ ）
A. C 的离心率为 B.
C. 的最大值为 D. 使 为直角的点 P 有 4 个
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求出 ，由离心率定义判断 A，由椭圆定义判断 B，由椭圆的几何性质判
断 C，根据以线段 为直径的圆与椭圆交点个数判断 D.
【详解】由原方程可得椭圆标准方程为 ，
， ，故 A 错误；
第 6页/共 18页由椭圆定义可知 ，故 B 正确；
由椭圆的性质知 ，故 C 正确；
易知以线段 为直径的圆（因为 ）与 C 有 4 个交点，故满足 为直角的点 有 4 个，故 D
正确.
故选：BCD
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线过点 ， 是抛物线上的动点，则（ ）
A.
B. 当 时， 的最小值为
C. 点 到直线 的距离的最小值为 2
D. 当 时，直线 ON 的斜率的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项 A，可根据抛物线的定义计算出 的值判断其正确，对 BCD 选项，可根据抛物线的方程设
抛物线上任意一点 的坐标为 ，将几何问题转化为代数问题进行计算求解.
【详解】根据抛物线的定义， 的准线为 ，
由题意准线过 ，可求出 ，抛物线的方程为 ，选项 A 正确；
对于选项 B，C，D，可设抛物线上的点的动点为 ，
对于 B 选项，当 时， ；
当 时，
当且仅当 时，等号成立.选项 B 正确；
对于 C 选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：
第 7页/共 18页到直线 的距离 ，
当 时， .选项 C 错误；
对于 D 选项，可根据向量共线作出示意图：
根据定义求出抛物线的焦点 ，由 得 ，
当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.选项 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 过点 ，且在 轴、 轴上的截距的绝对值相等的直线共有_____________条．
【答案】3
【解析】
【分析】先设直线为 或 或 ，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断.
第 8页/共 18页【详解】因为在 轴、 轴上的截距的绝对值相等的直线，
故设直线为 或 或 ，
若直线 过点 ，则 ，得直线为 ；
若直线 过点 ，则 ，得直线为 ；
若直线 过点 ，则 ，得直线为 ；
所以满足条件的直线有 3 条；
故答案为：3.
13. 已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，过 作 的一
条渐近线的垂线，垂足为 .若 ，则 的离心率为__________________.
【答案】2
【解析】
【分析】应用点到直线的距离得 ，结合 的关系得 ，在 中应用余弦定理得
，进而有 ，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率.
【详解】
由题意， ，双曲线的渐近线为 ，如上图，
设点 在 上，则 ，故 ，
所以 ，则 ，故 ，
所以 ，故 ，则椭圆离心率为 .
故答案为：2
第 9页/共 18页14. 已知抛物线 ，F 为 C 的焦点，P，Q 为其准线上的两个动点，且 ．若线段 PF，
QF 分别交 C 于点 A，B，记 的面积为 的面积为 ，当 时，直线 AB 的方程为
___________
【答案】
【解析】
【分析】设直线 AB 方程及其坐标，将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可.
【详解】显然直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，
由 消去 x 得： ， ，
则 ，由 得： ，
即 ， 而 ， 于 是
，
直线 的方程为 ，则点 纵坐标 ，同理点 纵坐标 ，
又 ，
由 ，得 ，则 ， ，
所以直线 AB 的方程为 ，即 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积之比问题，通常利用线段之比来转化，然后设线设点将线段之比化为
第 10页/共 18页坐标关系，联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可.
三、解答题：本小题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知 ， ，平面内一动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设动点 ，根据 结合两点间距离公式运算求解；
（2）设直线 ，根据垂径定理可得圆心到直线 的距离 ，列式求解即可.
【小问 1 详解】
设动点 ，
因为 ，则 ，
整理可得 ，即 ，
所以动点 的轨迹为 的方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）可知：曲线 是以圆心为 ，半径 的圆，
设直线 ，即 ，
由题意可得：圆心到直线 的距离 ，
则 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
16. 已知椭圆 过点 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率．
第 11页/共 18页（1）求椭圆 方程；
（2）已知 为椭圆 的两焦点，若点 在椭圆 上，且 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点在椭圆上求得 方程，结合椭圆 、 的关系求出椭圆 的方程；
（2）利用椭圆 定义及余弦定理可得 ，再由三角形面积公式求面积.
【小问 1 详解】
因为 在 上，则 ，可得 ，
所以椭圆 的方程为 ，故长轴长为 ，离心率为 ，
设椭圆 的方程为 ，
故 中 ，且 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
由题意，在 中 ，而 ，
又 ，
所以 ，故 ，
所以 .
第 12页/共 18页17. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，抛物线 C 上点 满足 .
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设点 ，过 D 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，证明： 是 的角平分线.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得；
（2）根据题意，直线 斜率不为 0，设其方程为： ，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得
，即直线 与直线 的倾斜角互补，得证.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，
所以抛物线 C 的方程为 .
【小问 2 详解】
根据题意，直线 斜率不为 0，设其方程为： ， ， ，
由 得 ，由 ，可得： 或 ，
由韦达定理得： ， .
则
，即直线 与直线 的倾斜角互补，
第 13页/共 18页所以 是 的角平分线.
18. 已知双曲线 的离心率为 2，左、右顶点分别为 ，虚轴的上、下顶点
分别为 ，且四边形 的面积为 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）求双曲线 的渐近线方程；若 为双曲线上的一个动点，求 到双曲线两条渐近线距离之积；
（3）已知直线 与 交于 两点，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）渐近线方程为 ，距离之积为
（3）
【解析】
【分析】（1）计算菱形 的面积，再结合离心率可求；
（2）设 ，根据点到直线的距离公式以及 化简；
（3）设线段 中点 ，联立方程组利用韦达定理得出 ，再根据 得出
，再结合 可求.
【小问 1 详解】
由双曲线的几何性质可知，四边形 是菱形，且 ，
则四边形 的面积为 ，
又离心率为 ，可得 ，
故双曲线 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
渐近线方程为 ，
第 14页/共 18页设 到两条渐近线的距离分别为 ，
则 ，则 ，
因 ，则 ，
所以 到双曲线两条渐近线距离之积为 ；
【小问 3 详解】
设 ，线段 中点 ， ,
联立 ，消去 整理可得 ，
则 且 ，
即 且 ①，
因 ，则 ，
因 ，则 ，
则 ，得 ，
因 且 ，得 且 ，
因 ，得 或 ，
综上，实数 的取值范围是 .
第 15页/共 18页19. 已知椭圆 左、右顶点分别为 、 ， 是椭圆上异于 、 的任一点，直线 ， 、
是直线 上两点， 、 分别交椭圆于点 、 两点．
（1）直线 、 的斜率分别为 、 ，求 的值；
（2）若 、 、 三点共线， ，求实数 的值；
（3）若直线 过椭圆右焦点 ，且 ，求 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的方程可得 ， 的坐标，设 的坐标，代入椭圆的方程，可得 的横纵坐标的关系，
进而求出 的值；
（2）由题意设 的坐标，可得 的坐标，求出直线 的方程，令 ，可得 的纵坐标，即求出
的坐标，同理可得 的坐标，再由 ，可得 ，代入可得 的值；
（3）设直线 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得 的纵坐标之差的绝对值，
设直线 的方程，令 ，可得 的坐标，同理可得 的坐标，求出 的代数式，代入三角形
的面积公式，可得三角形的面积的最小值．
【小问 1 详解】
由椭圆 方程 可得 ， ，
设 ，则 ，
第 16页/共 18页可得 ；
【小问 2 详解】
因为 、 、 三点共线，设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即 ，
同理可得 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
即 ，
解得 ；
【小问 3 详解】
由题意可得直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，整理可得 ，
显然 ，且 ， ，
第 17页/共 18页，
直线 的方程 ，令 ，
可得 ，同理可得 ，
所以
，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最小值为 18．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
第 18页/共 18页
