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2023-2024 学年高二年级数学下学期期末模拟卷 02
数学·参考答案
第Ⅰ卷
选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
一、
中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A A D C C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分．
9 10 11
CD ACD ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 ##0.2
13．1
14．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(13分）【答案】（1）
1
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
由题意 (1)
由(1)(2)可得
所以
【小问2详解】
， ，
，故 为等差数列，
.
16.(15分）【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得 .
（2）根据已知条件求得 或 ，结合基本不等式求得三角形 面积的最小值.
【解析】（1）依题意， ，则 ，
故 ，则 ，
，
，
2
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，所以 ，所以 ，
则 为锐角，且 .
（2）依题意 平分 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
所以 ，由正弦定理得 .
在三角形 中，由余弦定理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 或 .
当 时，三角形 是等边三角形， ， ，
，所以 .
当 时， ，
当且仅当 时等号成立，
所以三角形 .
综上所述，三角形 面积的最小值为 .
3
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学科网（北京）股份有限公司17.(15分）【答案】（1） ， ， ；
（2） ， ；
（3）4
【解析】
【分析】（1）分析传球的情况，写出 ， ， 的值；
（2）分析传球 次时的情况，得到 与 的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求
出新数列的通项公式，从而得到 的通项公式；
（3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出
.
【小问1详解】
传球一次，球一定不在甲手中，所以 ；
传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲 乙 甲，甲 丙 甲，
所以 ；
4
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学科网（北京）股份有限公司传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为 ，此时传给甲的概率为
，所以 .
【小问2详解】
传球 次时球在甲手中，说明传球 次时球不在甲手中，概率为 ，
此时，传球给甲的概率为 ，所以有 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
，
故 与 的关系式为 ， .
【小问3详解】
的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中，
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学科网（北京）股份有限公司有两种情况，甲 乙 丙，甲 丙 乙，
所以 ，
若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，
所以有 ，
即 ，解得 ，
所以 的期望为4.
18.(17分）【答案】（1）证明过程详见解析.
（2）二面角 的余弦值为 .
【解析】
【分析】（1）易得 ，由线面垂直的性质证明 ，再根据线面垂直的判定
定理证明 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）易得 两两垂直，求出 ，以点C为原点，建立空间直角坐标系，利
用向量法求解即可.
【小问1详解】
分别是侧棱 的中点，
，
，
平面 ， 平面 ，
6
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学科网（北京）股份有限公司，
又 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
【小问2详解】
平面 ， 平面 ，
，
，
又由题意得 是等腰直角三角形，
，此时易算三棱锥体积为： ，
故 符合题意.
平面 ， ，
平面 ，
又 平面 ，
，
两两垂直，
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学科网（北京）股份有限公司如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
故
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
平面 ，
即为平面 的一条法向量，
故 ，
由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角 为锐二面角，
故二面角 的余弦值为 .
19.（17分）【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a的取值，求函数的单调区间;
（3）把问题转化为 ，利用一次函数单调性得 ，只
需证 ，利用导数研究单调性即可.
【小问1详解】
由题设得 ，所以 ，
又因为 ，所以切点为 ，斜率 ，
所以切线方程为 ，即 恒过原点．
【小问2详解】
由（1）得 ，
① 时， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减；
令 ，则
② 且 时，即 时， ， 在 上单调递增，
时， ，
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学科网（北京）股份有限公司，则 ，或 ，得
所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
，则 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
③ 时， ，
则 ，则 ，所以 在 上单调递减；
，则 ，所以 在 上单调递增，
综上： 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递增； 在
上单调递减，
时， 在 上单调递减； 在 上单调递增，
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
下面证明当 时， ， ，即证 ，
令 ，因为 ，所以 ，只需证 ，
即证 ，令 ， ，
，令 ， ，
令 ， ， 与 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， ，
令 ， 时 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ， ，所以 在 上单调递减，
， ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，综上所述 ．
【点睛】第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当 时的函数
值比较，从而得到结论.
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