文档内容
常州市 2024—2025 学年第一学期高三期中质量调研
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知a， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
4．有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数．教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最
低的，而且5人的分数互不相同．则这5名同学的可能排名有（ ）
A．42种 B．72种 C．78种 D．120种
5．已知 是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线 的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的最小正周期为T．若 ，且曲线 关于点 中
心对称，则 （ ）
A． B． C． D．T．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 （ ，且 ）． ，使得 成立，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知平面内两个单位向量 的夹角为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 的取值范围为
C．若 ，则 D． 在 上的投影向量为
10．甲、乙两选手进行象棋比赛，有 3 局 2 胜制、5 局 3 胜制两种方案．设每局比赛甲获胜的概率为
，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）
A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是
B．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是
C．若 ，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大
D．若 ，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3
11．已知函数 ，2为 的极大值点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若4为函数 的极小值点，则
C．若 在 内有最小值，则b的取值范围是
D．若 有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知正数x，y满足 ，则xy的最小值为__________．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，将线段OP绕原点O按顺时针方向旋转 至线段
．若 ，则点 的纵坐标为__________．
14．已知一个母线长为1，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器
的球的体积最大时， ________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：
x 2 3 4 5 6
y 4 7 12 13 14
（1）求y关于x的经验回归方程；
（2）请估计 时，对应的y值．
附：在经验回归方程 中， ，其中 为样本平均值．
16．（15分）
在锐角 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 ．
（1）求 点的值；
（2）若 ，求 的面积．
17．（15分）
某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验．先从这5
名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这 5名教师中随机抽选2名教师开设
下一期校本课程．
（1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望；
（2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率．
18．（17分）
已知函数 是定义域为R的奇函数，当 时， ．
（1）求 的解析式；（2）求曲线 在 处的切线方程；
（3）若 ，都有 ，求实数m的最小值．
19．（17分）
如 图 ， 在 四 棱 柱 中 ， 已 知 底 面 ABCD ，
， ，点E是线段 上的动点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线AB与 所成角的余弦值的最大值；
（3）在线段 上是否存在与B不重合的点E，使得二面角 的正弦值为 ﹖若存在，求线
段BE的长；若不存在，请说明理由．
