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数学答案
第1页共5页
重庆市高2025 届拔尖强基联盟高三上10 月联合考试
数学参考答案及评分意见
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
C
A
D
C
B
8.【详解】当
,0
x
1
ln
3
x
a
x
x
xe x
恒成立，
)0
(
1
ln
,1
ln
3
3
x
x
x
x
xe
a
x
x
xe
x
a
x
x
恒成立.
不妨令
)
0
(1
1
ln
)
(
3
x
x
x
e
x
g
x
，则
.
)
(
min
x
g
a
易知
1
x
ex
，当且仅当
0
x
时取等.
故
x
x
e
x
x
e
e
x
x
xe
x
x
e
x
g
x
x
x
x
x
x
)1
(ln
1
)1
(ln
1
)1
(ln
1
1
ln
)
(
3
ln
3
ln
3
3
,2
1
1
ln
1
3
ln
x
x
x
x
当且仅当
0
3
ln
x
x
（该方程显然有解）时上式取得等
号.
.
2,2
,2
a
a
即
故B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ACD
11. 【详解】对于A 选项，令
,4
x
则
,2
)
2
(
)
4
(
g
f
令
,4
x
则
.2
)
6
(
)
4
(
g
f
,4
)
6
(
)
2
(
g
g
A 选项正确；
对于B 选项，
)
(x
f
为奇函数，则
)
(x
f
是偶函数.但无法确定
)
0
(
f
的值,B 选项不正确；
对于C 选项，
0
)
2
(
)
(
,2
)
2
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
，又
2
)1
(
)
(
x
g
x
f
，
)
(
,2
)
2
(
)1
(
x
g
x
g
x
g
关于点
)1,
2
3
(
中心对称，
)
(
)1
(
2
)
(
x
f
x
g
x
f
关于点
)1,
2
1
(
中心对称,C 选项正确；
对于D 选项，又因为
)
(x
f
为偶函数，
)
(x
f
的周期为,2 而
)
(
2
)1
(
x
f
x
g
，
)1
(
2
)
(
x
f
x
g
，
)1
2
(
4050
))
1
2
(
2
(
)
2
(
2025
1
2025
1
2025
1
k
k
k
k
f
k
f
k
g
，
4
)1(
)
2
1
(
)
0
(
)
2
1
(
)1
2
(
4
1
f
f
f
f
k
f
k
，
.
2025
)
2
3
(
2024
)
2
2023
(
2024
)1
2
2025
(
506
4
)1
2
(
2025
1
f
f
f
k
f
k
,
2025
)
2
(
2025
1
k
k
g
D 选项正确.
数学答案
第2页共5页
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
题号
12
13
14
答案
2024
8
25
112
14.【详解】设
( )
t
f x
，考虑
1
( )
2
f t
t
的根，由图像知有16 个根，分别设为
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
, , , , , , , , , ,
,
,
,
,
,
t t t t t t t t t t t
t
t
t
t
t ，根据图像知：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,0
1,1
,
2,2
, , ,
4,4
, ,
,
,
,
,
,
8
t
t
t t
t t t t
t t t
t
t
t
t
t
，
再考虑
( )
,0
15
i
f x
t
i
，分别作出直线
i
y
t
，可知原函数共有8 16
2 12
4 8 8 4
112
个
零点.
四、解答题：本题共5 题，共77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13 分）
解：（1）设数列
na
公差为d ，又
1
2
3
,
,
4
a a a
成等比数列，所以
2
2
2
1
3
1
1
1
4
2
4
a
a
a
a
d
a
a
d
，
（2 分）
又
1
1
a ，即
2
1
5
2
d
d
，解得
2
d
或
2
d （舍），所以
1
1
2
2
1
na
n
n
.
（5 分）
（2）可知
1
2 4
2 n
n
a
nb
，则
1
2
1
2
2
2
)
(
)
(4
1)
3
(
n
n
n
n
S
n
a
a
a
b
b
b
（13 分）
16．（本小题满分15 分）
（1）因为调查的女生人数为：2
100
40
2
3
，所以，调查的男生人数为100
40
60
，于是可完成2 2
列
联表如下：
心流
无心流
总计
女生
35
5
40
男生
45
15
60
合计
80
20
100
（3 分）
零假设为
0
H ：在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.
根据列联表中的数据，可得：
2
2
0.05
100 (35 15
45 5)
75
3
3.841
80 20 40 60
32
x
，
（5 分）
根据小概率值
0.05
的
2
独立性检验，没有充分证据推断
0
H 不成立，
因此可以认为
0
H 成立，即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关；
（7 分）
数学答案
第3页共5页
（2）当k=8 时p(k)的值最大，
（8 分）
p(k)=
78
78
80
80
1
k
k
k
k
k
k
C C
C C
=
78!
(78
)!
!(78
)!
!(78
2 )!
1
80!
(80
)!
!(80
)!
!(80
2 )!
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
=
(80
2 ) (79
2 )
1
80
79
k
k
（k=4,5,6,7,8），
（12 分）
(80
2 ) (79
2 )
(78
2 ) (77
2 )
(
1)
( )
80
79
80
79
k
k
k
k
p k
p k
= 314
8
80 79
k
（14 分）
由4
8
k
可知，
(
1)
( )
p k
p k
，即p(k)为增函数，
所以当k=8 时p(k)的值最大.
（15 分）
17．（本小题满分15 分）
解：（1）选择条件①，
sin
sin
sin
a
b
A
C
a
c
A
C
，则
sin
sin
sin
a
b
B
a
c
A
C
，（1 分）
由正弦定理可得
a
b b
a
c
a
c
，即
2
2
2
a
b
c
ab
，
（3 分）
所以
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
，由
0,π
C
，所以
π
3
C
．
（6 分）
选择条件②，
π
π
1
sin
cos
6
3
4
C
C
，即
π
π
π
1
sin
cos
2
3
4
3
C
C
，所以
2
π
1
cos
3
4
C
，
（3 分）
由
π
π
4π
0,π , 3
3
3
C
C
，则
π
1
cos
3
2
C
，所以
π
2π
3
3
C
，则
π
3
C
．
（6 分）
（2）在
ABC
V
中，因为
5 3
tan
11
A
，所以sin
5 3
cos
11
A
A
，所以5 3 cos
11sin
A
A
，故得
5 3
sin
cos
11
A
A
，
而在
ABC
V
中，sin
0
A
恒成立，故得cos
0
A
，因为
2
2
sin
cos
1
A
A
，所以
2
2
5 3
(
cos )
cos
1
11
A
A
，
解得
11
cos
14
A
，
5 3
sin
14
A
.
（8 分）
因为
ABC
V
面积为10 3 ，所以1
5 3
10 3
2
14
bc
，解得
56
bc
，
（9 分）
由上问得
π
3
C
，故1
3
10 3
2
2
ab
，解得
40
ab
，
（10 分）
而
5 3
1
11
3
4 3
sin
sin(
)
14
2
14
2
7
B
A
C
，所以1
4 3
10 3
2
7
ac
，解得
35
ac
，
（11 分）
综上可得
5,
8,
7
a
b
c
(负根舍去)，
（12 分）
设CD
d
，CA
b
，CB
a
，由平面向量基本定理定理得
2
1
3
3
d
a
b
，
（13 分）
所以
2
2
2
1
1
(4
4
9
)
2
d
a
a
b
b
244
9
，故CD 的长度为2 61
3
；
（15 分）
18.（本小题满分17 分）
（1）由
2
2
4
x
y
，令
0
y
得
2
x ，不妨令
2,0 ,
2,0
A
B
，
（1 分）
则可设椭圆C 的标准方程为
2
2
2
1 0
2
4
x
y
b
b
，
（2 分）
数学答案
第4页共5页
椭圆C 过点（
1
3, 2 ）,所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
；
（4 分）
(2)①解：显然直线l 与2l 垂直，设直线:l x
ty
d
，则
2k
t
（5 分）
直线l 与椭圆交于
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
由于直线2
2
:
l
y
k x
平分直线l 与圆O的交线段，则有
2
2
1
1
2
2
2
2
2
4
4
,
4
3
x
y
k
t
x
y
，
于是
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
2
x
x
y
y
x
x
y
y
，
（7 分）
由于
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
,
2
y
y
x
x
t
k
x
x
y
y
，则
1
1
4
k
t
，则
1
2
1
4
k
k
.
（10 分）
②由题可知
2
3
OD
OH
,则
3
3
2
4
EHG
EDG
DEFG
S
S
S
,易知
5
4
EFGH
DEFG
S
S
（11 分）
令
2
2
1
4
4
x
y
y
k x
，得
2
1
4
4
1
x
k
，则直线1l 与椭圆交线长为
2
1
2
1
|
| 2
1 4
1
4
EG
k
k
，
（13 分）
同理可得直线2l 与椭圆的一个交点
2
2
2
2
2
4
4
,
4
1
4
1
D
k
k
k
，
则D 到直线1l 的距离
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4
3
4
4
1
4
4
1
1
1
k
k
k
k
k
d
k
k
，
所以四边形面积
2
2
2
1
2
6
|
|
4
1
4
1
DEFG
k
S
EG d
k
k
，
（15 分）
当
2
0
k
时，四边形不存在，
当
2
0
k
时，
2
2
2
2
6
12
5
17
1
4
DEFG
S
k
k
，
所以四边形面积的最大值
5
3
4
EFGH
DEFG
S
S
，在
2
1
k 时取到.
（17 分）
19.（本小题满分17 分）
解：（1）由题：不妨设
)
(x
g
函数图象上任意一点坐标为
),
,
(
0
0 y
x
则其关于直线
1
x
的对称的点
)
,
2
(
0
0 y
x
在
)
(x
f
的图象上，则
,
cos
)1
ln(
)
2
(
)
(
0
0
0
0
0
x
x
x
f
x
g
y
.
cos
)1
ln(
)
(
x
x
x
g
（4 分）
（2）不妨令
，
)1
(,1
cos
)1
ln(
1
)
(
)
(
x
ax
x
x
ax
x
g
x
h
则
0
)
(
x
h
在
)
,1
(
上恒成立，
注意到：
，
0
)
0
(
h
且
)
(x
h
在
)
,1
(
x
上是连续函数，则
0
x
是函数
)
(x
h
的一个极大值点，
，
0
)
0
(
h
又
.1
0
1
)
0
(
,
sin
1
1
)
(
a
a
h
a
x
x
x
h
（7 分）
数学答案
第5页共5页
下证：当
1
a
时，
0
)
(
x
h
在
)
,1
(
x
上恒成立
令
.
1
1
1
1
)
(
)1
(
)1
ln(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
，
当
)
0,1
(
x
时，
)
(
,0
)
(
x
x
单调递增；当
)
,0
(
x
时，
)
(
,0
)
(
x
x
单调递减.
,0
)
0
(
)
(
x
即：
x
x
)1
ln(
在
)
,1
(
x
上恒成立；又
0
1
cos
x
a
x
h
0
)
(
的取值为.1
（9 分）
（3）由（2）知：
,
1
)
(
x
x
g
则
.1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
i
i
g
i
i
g
，
（10 分）
n
n
n
n
n
i
g
n
n
i
)
2
1
1
2
1
2
1
1
1
(
)
1
(
2
1
（11 分）
又由（2）知：
x
x
)1
ln(
在
)
,1
(
恒成立，则
1
ln
x
x
在
)
,0
( 上恒成立且当且仅当
1
x
时取
等.
则令
*
),
1,0
(
1
N
n
n
n
x
则
.
ln
)1
ln(
1
ln
1
1
,
1
1
1
ln
n
n
n
n
n
n
n
n
（15 分）
.2
ln
)1
2
ln(
)
2
ln(
)1
ln(
)
2
ln(
ln
)1
ln(
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i
n
i
g
2
1
.
2
ln
)
(
证毕.
（17 分）
