重庆市育才中学校高 2025 届 2024-2025 学年(上) 12 月月考
数学试题
本试卷为第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:1. 答卷前,请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2. 作答时, 务必将答案写在答题卡上, 写在本试卷及草稿纸上无效;
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个
选项是符合题目要求的。
1. 设集合 M={x∣x2−3≤0},N={−2,−1,0,1,2} ,则 M∩N=
A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−1,0,1,2} D. {−2,−1,0,1,2}
2. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),P(1<ξ≤2)=0.2 ,则 P(ξ>3)=
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
3. 已知直线 l// 平面 α ,点 P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线
A. 有且只有 1 条,且在平面 α 内 B. 有且只有 1 条,不在平面 α 内
C. 有无数条,不都在平面 α 内 D. 有无数条,都在平面 α 内
4. 函数 f (x)=cosx−x 的零点所在区间为
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
2 1
5. 若正实数 a,b 满足 a=1−2b ,则 + 的最小值为
a b
A. 1 B. 6 C. 8 D. 9
6. 从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加一项创新大赛, 则选出的 3 人中既有男生又有女
生的概率为
1 3 3 9
A. B. C. D.
10 10 5 10
1
7. 已知 sin(α+β)= ,tanα=5tanβ ,则 sin(α−β)=
21 1 1 3
A. B. C. D.
4 3 2 4
8. 若正实数 x,y 满足 x+ y>ex+ln y ,则下列不等式成立的是
A. x−y<−1 B. x−y>−1 C x+ y<1 D. x+ y>1
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知点 A(0,2)、B(2,0)、C(1,y) ,其中 y∈R ,则
A. 若 A、B、C 三点共线,则 y=1
B. 若 ⃗AB⊥⃗AC ,则 y=3
C. 若 |⃗AB|=|⃗AC| ,则 y=2−√7
π
D. 当 y=2 时, ⟨⃗AB,⃗AC⟩=
4
10. 已知正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 2,E、F 分别为棱 AB、A A 的中点,则
1 1 1 1 1
A. E、F、D 、C 四点共面
1
√5
B. 直线 AD 与 D E 所成角的正切值为
1 2
π
C. 二面角 A−FD −E 的大小为
1 4
D. 三棱锥 B −CEF 的体积为 1
1
11. 若数列 {F } 满足 F =F =1,F =F +F (n∈N∗) ,设 a =(−1) F n F n−1 ,则
n 1 2 n+2 n+1 n n
A. a =1
4
B. a +a =2
2024 2025
C. a =a
n n+3
D. 若数列 {a } 的前 n 项和为 30,则 n=90 或 n=92
n
第II卷
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。第 14 题第一空 2 分,第二空 3 分。
1
12. 已知复数 z= (其中 i 为虚数单位),则 z⋅´z= _____.
1+2i1
13. 若函数 f (x)= x3+x2−mx(m∈R) 在 R 上单调递增,则实数 m 的取值范围为_____.
3
14. 若正四面体 A−BCD 的棱切球 (球与正四面体的棱均相切) 半径为 1,则正四面体
A−BCD 的棱长为_____；该棱切球的球面与正四面体 A−BCD 的表面相交所得曲线的总
长度为_____.
四、解答题:本题共 5 题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知非零数列 {a } 满足: a =1,a −a =2a ⋅a (n∈N∗) .
n 1 n n+1 n n+1
{1 }
(1)求证: 是等差数列；
a
n
(2)求数列 {a ⋅a } 的前 n 项和 S
n n+1 n
16. (本小题满分 15 分)
若 △ABC 中的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且满足
bsin A=√3a(1−cosB) .
(1) 求角 B ;
√3
(2)若 b=2√3 ,请从下列两个条件:① a=2c ,② cosC= c 中任选一个作为已知条件,求
4
△ABC 的面积。
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答给分。
17. (本小题满分 15 分)
如第(17)题图,在四棱锥 S−ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,点 E 为棱 SA 的中点,
BD⊥SC .
(1)求证: SC// 平面 BED ；
(2)求证:平面 SAC⊥ 平面 ABCD ；
(3)若 SC⊥AC ,且 AB=SC=2 , ∠ABC=120∘ ,求直线 AB 与平面 SAD 所成角的正弦
值。第(17)题图
18. (本小题满分 17 分)
育才中学为普及法治理论知识,举办了一次法治理论知识闯关比赛。比赛规定:三人组队参赛,按
顺序依次闯关,无论成败,每位队员只闯关一次。如果某位队员闯关失败,则由该队下一队员继续
闯关, 如果该队员闯关成功,则视作该队获胜,余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不
成功,则视为该队比赛失败。比赛结束后,根据积分获取排名,每支获胜的队伍积分 Y 与派出的
闯关人数 X 的关系如下: Y =40−10X(X=1,2,3) ,比赛失败的队伍则积分为 0 。现有
甲、乙、丙三人组队参赛,他们各自闯关成功的概率分别为 p 、p 、p ,且每人能否闯关成
1 2 3
功互不影响。
3 2 1
(1)已知 p = ,p = ,p = ,
1 4 2 3 3 2
(i) 若按甲、乙、丙的顺序依次参赛,求该队比赛结束后所获积分 Y 的期望;
(ii) 若第一次闯关从三人中随机抽取,求该队比赛结束后所获积分 Y =30 的概率。
(2)若甲只能安排在第二位次参赛,且 0<p <p <p <1 ,要使该队比赛结束后所获积分 Y 的期
1 2 3
望最大, 试确定乙、丙的参赛顺序, 并说明理由。
19.(本小题满分 17 分)
已知函数 f (x)=lnx .
(1)求曲线 y=f (x) 过点(0,1)的切线方程；
n
(2)设 a = (n∈N∗) ,曲线 y=f (x) 在点 (a ,f (a )) 处的切线与 x 轴, y 轴围成的三
n n+1 n n
√S n
角形面积为 S ,记 c = n , 求∑c ;
n n a k
n k=1
aex
(3)设函数 g(x)= −x+f (x)(a∈R) ,若 g(x) 在定义域内有三个不同的极值点 x ,x ,x
x 1 2 3
1
,且满足 g(x )⋅g(x )⋅g(x )≥ −1 ,求实数 a 的取值范围。
1 2 3 e数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B C A B C D B A ABD ABD BC
【部分题解析】
8. ∵ 正实数 x,y 满足 x+ y>ex+lny ,整理得 x−ex>ln y−y ,即 x−ex>ln y−elny
(*),构造函数 f (x)=x−ex(x>0),∴ 不等式(*)等价为 f (x)>f (ln y),∵x>0 ,
∴f′(x)=1−ex<0,∴f (x)=x−ex 在 (0,+∞) 单调递减, ∴0<x<ln y,∴x−y<
ln y−y<−1 ,选项 A 正确
11. 由题知,数列 {F } 为斐波拉契数列,即 1,1,2,3,5,8,13,21,⋯⋯,∴a =(−1) 3×5=−1
n 4
,
选项 A 错误; 又 F ⋅F 呈现 “奇偶偶 奇偶偶 奇偶 偶 - “ - ” 的规律, ∴ 数列 {a } 各
n n+1 n
项依次为-1, 1,1,−1,1,1,⋯⋯,∴a 最小正周期为 3,满足 a =a ,选 C 正确;
n n n+3
a =a =a =1,a =a =a =1,∴a +a =2,B 正确; 对于选项 D ,当
2024 674×3+2 2 2025 675×3 3 2024 2025
n=90,n=92 或 n=94 时,数列 {a } 的前 n 项和为 30,∴ 选项 D 错误.
n
题号 12 13 14
答案 1 (0,+∞)8√6
π
5 3
14. ∵ 正四面体 A-BCD 的内接于一正方体中, ∴ 其棱切球为该正方体的内切球, ∴ 该正方
体的棱长为正四面体 A-BCD 棱切球的直径 2, ∴ 正四面体 A-BCD 的棱长为该正方体面对
角线长 2√2 ; 又棱切球的球面与正四面体 A-BCD 的表面相交所得到的曲线为四个圆 (例如
√6 √6 8√6
圆 I 内切于 △ABC ),其半径为 ,∴ 四个圆周长为 4×2π× = π .
3 3 315.(13 分)
{1 } 1
解 (1) 为等差数列,公差为 2,首项 =1 ;
a a
n 1
n
(2) S = .
n 2n+1
16.(15 分)
解: (1) ∵ 在 △ABC 中 bsinA=√3a(1−cosB) ,
a b c
由正弦定理 = = ,可知 sinBsinA=√3sinA(1−cosB) ,
sinA sinB sinC
( π) √3
又 sin A≠0,∴sinB=√3(1−cosB) ,即 sinB+√3cosB=√3,∴sin B+ = ,
3 2
π π 4π π 2π π
又 ∵0<B<π, <B+ < ,∴B+ = ,即 B= ;
3 3 3 3 3 3
(2)若选 ① a=2c ,
π
由余弦定理 b2=a2+c2−2accosB ,知 (2√3) 2=(2c) 2+c2−2×2c×c×cos ,
3
解得 c=2,a=4 ,
1 1 √3
∴△ABC 的面积 S = acsinB= ×4×2× =2√3 .
△ABC 2 2 2
17.(15 分)
解: (1) 证明: 连接 AC 交 BD 于 O ,连接 OE ,
∵ABCD 为菱形, ∴O 为 AC 的中点,
又 E 为 SA 的中点, ∴ 在 △ASC 中, OE//SC ,
又 EOC 平面 BED,SC⊄ 平面 BED ,∴SC// 平面 BED ;
(2)证明: ∵ 在菱形 ABCD 中, BD⊥AC ,又 BD⊥SC , AC∩SC=C,AC,SC⊂ 平面
SAC ,
∴BD⊥ 平面 SAC ,
又 BDC 平面 ABCD ,
∴ 平面 SAC⊥ 平面 ABCD ;
(3)由(2)可知,平面 SAC⊥ 平面 ABCD ,且平面 SAC∩ 平面 ABCD=AC ,
又由题知 SC⊥AC,SC⊂ 平面 SAC,∴SC⊥ 平面 ABCD ,
由(1) 知 OE//SC,∴OE⊥ 平面 ABCD ,且在菱形 ABCD 中, BD⊥AC ,
∴ 以 O 为坐标原点, OA,OB,OE 所在直线分别为 x 轴、 y
轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意,在菱形 ABCD 中, AB=2,∠ABC=120∘ ,
∴ 在 △ABC 中由余弦定理可求得, AC=2√3 ,
∴OA=OC=√3,OB=OD=1 ,设平面 SAD 的法向量为 ⃗n =(x,y,z) ,
{⃗n⊥⃗AD {⃗n⋅⃗AD=0 { −√3x−y=0
由 ,即 ,得 ,
⃗n⊥⃗AS n⋅⃗AS=0 −2√3x+2z=0
令 x=1 得 y=−√3,z=√3,∴ 可取平面 SAD 的一个法向量 ⃗n=(1,−√3,√3) ,
|⃗n⋅⃗AB| |−√3−√3| √21
∴sinθ=|cos<⃗n,⃗AB|= = =
,
|⃗n||⃗AB| 2×√7 7
√21
∴ 直线 AB 与平面 SAD 所成角的正弦值为 .
7
18.(17 分)3 1 1 1 105
解: (1) (i) E(Y)=30× +20× +10× +0× = .
4 6 24 24 4
1 3 1 2 1 1 23
(ii) P(A)= × + × + × =
3 4 3 3 3 2 36
(2)若依次派出乙、甲、丙进行闯关,该队比赛结束后所获积分 Y 的可能取值为
1
30,20,10,0,
E
(Y )=30×p +20×(1−p )×p +10×(1−p )×(1−p )×p +0×(1−p )×(1−p )×(1−p )
1 2 2 1 2 1 3 2 1 3
=30p +20(1−p )p +10(1−p )(1−p )p ,
2 2 1 2 1 3
若依次派出丙、甲、乙进行闯关,该队比赛结束后所获积分 Y 的可能取值为30,20,10,
2
0 ,
E(Y )=30p +20(1−p )p +10(1−p )(1−p )p ,
2 3 3 1 3 1 2
∴E(Y )−E(Y )=10(p −p )(2−p )
1 2 2 3 1
∵0<p <p <p <1,∴p _ p <0,2_ p >0,∴E(Y )–E(Y )<0 ,即 E(Y )<E(Y ) ,
1 2 3 2 3 1 1 2 1 2
∴ 要使该队比赛结束后所获积分 Y 的期望最大,应最先派出丙,最后派出乙.
19.(17 分)
1
解: (1) y= x+1
e2
1
(2)由(1)知,曲线 y=f (x) 在点 (a ,f (a )) 处的切线方程为 y−f (a )= (x−a ) ,
n n n a n
n
令 x=0 得 y =f (a )−1 ,令 y=0 得 x =_a [f (a )−1] ,
n n n n n
n n
又 ∵a = ∈(0,1),f (a )=ln <0 ,
n n+1 n n+1
1 1 2
∴S = |x |⋅|y |= a [f (a )−1] ,
n 2 n n 2 n n
c = √S n= √2 |f (a )−1|= √2( 1−ln n ) = √2 [1+ln(n+1)−lnn],
n a 2 n 2 n+1 2
n
n n
√2 √2
∴∑c = ∑[1+ln(k+1)−lnk]= [n+ln(n+1)];
k 2 2
k=1 k=1aex (x−1)(aex−x)
(3) ∵g(x)= ⋅x+lnx,g′(x)= ,x>0 ,
x x2
∵ 函数 g(x) 在定义域内有三个不同的极值点,
∴g′(x) 在 (0,+∞) 上有三个不同的变号零点,
又 ∵g′(1)=0 ,令 h(x)=aex−x ,
∴h(x) 在 (0,+∞) 上至少有两个不为 1 的不同零点,
∵h′(x)=aex−1,x∈(0,+∞)
,
① 当
a∈(−∞,0]时,∴h′(x)≤0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递减，h(x)最多有一个零点，∴舍)
② 当 a∈(0,+∞) 时, ∵ 函数 ℎ ′(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,令 ℎ ′(x)=0 得 x=−lna ,
(i) 若 a∈[1,+∞),∴lna≤0 ,此时 h′(x)≥0 在 (0,+∞) 恒成立,
∴h(x) 在 (0,+∞) 上单调递增, h(x) 最多有一个零点, ∴ 舍;
(ii) 若 a∈(0,1),−lna>0,∴ℎ ′(x) 与 ℎ(x) 随 x 的变化情况如下表所示
x (0,−lna) (−lna,+∞)
+
h(x) 单调递减 单调递增
又
∵ℎ(0)=a>0, lim ℎ(x)=+∞
,
n→+∞
1
∴ 当 ℎ(x) 最小值 ℎ(−lna)=1+lna<0 ,即 a< 时, ℎ(x) 在 (0,+∞) 上有两个不为 1
e
的变号零点,
即函数 g(x) 在定义域内有了两个不同的极值点,不妨分别记作 m,n(m<n) ,
而 h(1)= ae- 1<0,∴0<m<1<n .
又 ∵g′(1)=0,∴x=1 是 g(x) 的第三个极值点,
1
综上当 0<a< 时, g(x) 有三个不同的极值点: x =m,x =1,x =n ,且 0<m<1<n ,
e 1 2 3
∵aem=m,aen=n,∴m+lna=lnm,n+lna=lnn ,
aem
∴g(x )=g(m)= −m+lnm=1−m+lnm=1+lna ,
1 m
g(x )=g(1)=ae−1,g(x )=g(n)=1−n+lnn=1+lna ,
2 21 1
∵g(x )⋅g(x )⋅g(x )≥ −1 ,即 (ae-1) (1+lna) 2≥ −1 ,
1 2 3 e e
令 φ(x)=(ex−1)(lnx+1) 2,x∈ ( 0, 1) ,∴φ ’ (x)=(lnx+1) ( elnx− 2 +3e ) ,x∈ ( 0, 1)
e x e
,
2
令 u(x)=lnx+1,v(x)=elnx− +3e ,
x
( 1) (1) (1)
∵u(x),v(x) 均在 0, 单调递增,且 u =v =0 ,
e e e
( 1) ( 1)
∴φ′(x)≥0 在 0, 恒成立, ∴φ(x) 在 0, 单调递增,
e e
( 1 ) 1 1
又 φ = −1,∴a≥ ,
e2 e e2
[ 1 1)
综上 a∈ , .
e2 e
