重庆育才中学2025届高三12月月考数学+答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1213重庆育才中学2025届高三12月月考_重庆育才中学2025届高三12月月考数学

重庆市育才中学校高 2025 届 2024-2025 学年(上) 12 月月考 数学试题 本试卷为第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项:1. 答卷前,请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2. 作答时, 务必将答案写在答题卡上, 写在本试卷及草稿纸上无效; 3. 考试结束后, 将答题卡交回。 第 I 卷 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个 选项是符合题目要求的。 1. 设集合 M={x∣x2−3≤0},N={−2,−1,0,1,2} ,则 M∩N= A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−1,0,1,2} D. {−2,−1,0,1,2} 2. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),P(1<ξ≤2)=0.2 ,则 P(ξ>3)= A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 已知直线 l// 平面 α ,点 P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线 A. 有且只有 1 条,且在平面 α 内 B. 有且只有 1 条,不在平面 α 内 C. 有无数条,不都在平面 α 内 D. 有无数条,都在平面 α 内 4. 函数 f (x)=cosx−x 的零点所在区间为 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 2 1 5. 若正实数 a,b 满足 a=1−2b ,则 + 的最小值为 a b A. 1 B. 6 C. 8 D. 9 6. 从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加一项创新大赛, 则选出的 3 人中既有男生又有女 生的概率为 1 3 3 9 A. B. C. D. 10 10 5 10 1 7. 已知 sin(α+β)= ,tanα=5tanβ ,则 sin(α−β)= 21 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 8. 若正实数 x,y 满足 x+ y>ex+ln y ,则下列不等式成立的是 A. x−y<−1 B. x−y>−1 C x+ y<1 D. x+ y>1 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知点 A(0,2)、B(2,0)、C(1,y) ,其中 y∈R ,则 A. 若 A、B、C 三点共线,则 y=1 B. 若 ⃗AB⊥⃗AC ,则 y=3 C. 若 |⃗AB|=|⃗AC| ,则 y=2−√7 π D. 当 y=2 时, ⟨⃗AB,⃗AC⟩= 4 10. 已知正方体 ABCD−A B C D 的棱长为 2,E、F 分别为棱 AB、A A 的中点,则 1 1 1 1 1 A. E、F、D 、C 四点共面 1 √5 B. 直线 AD 与 D E 所成角的正切值为 1 2 π C. 二面角 A−FD −E 的大小为 1 4 D. 三棱锥 B −CEF 的体积为 1 1 11. 若数列 {F } 满足 F =F =1,F =F +F (n∈N∗) ,设 a =(−1) F n F n−1 ,则 n 1 2 n+2 n+1 n n A. a =1 4 B. a +a =2 2024 2025 C. a =a n n+3 D. 若数列 {a } 的前 n 项和为 30,则 n=90 或 n=92 n 第II卷 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。第 14 题第一空 2 分,第二空 3 分。 1 12. 已知复数 z= (其中 i 为虚数单位),则 z⋅´z= _____. 1+2i1 13. 若函数 f (x)= x3+x2−mx(m∈R) 在 R 上单调递增,则实数 m 的取值范围为_____. 3 14. 若正四面体 A−BCD 的棱切球 (球与正四面体的棱均相切) 半径为 1,则正四面体 A−BCD 的棱长为_____；该棱切球的球面与正四面体 A−BCD 的表面相交所得曲线的总 长度为_____. 四、解答题:本题共 5 题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 已知非零数列 {a } 满足: a =1,a −a =2a ⋅a (n∈N∗) . n 1 n n+1 n n+1 {1 } (1)求证: 是等差数列； a n (2)求数列 {a ⋅a } 的前 n 项和 S n n+1 n 16. (本小题满分 15 分) 若 △ABC 中的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且满足 bsin A=√3a(1−cosB) . (1) 求角 B ; √3 (2)若 b=2√3 ,请从下列两个条件:① a=2c ,② cosC= c 中任选一个作为已知条件,求 4 △ABC 的面积。 注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答给分。 17. (本小题满分 15 分) 如第(17)题图,在四棱锥 S−ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,点 E 为棱 SA 的中点, BD⊥SC . (1)求证: SC// 平面 BED ； (2)求证:平面 SAC⊥ 平面 ABCD ； (3)若 SC⊥AC ,且 AB=SC=2 , ∠ABC=120∘ ,求直线 AB 与平面 SAD 所成角的正弦 值。第(17)题图 18. (本小题满分 17 分) 育才中学为普及法治理论知识,举办了一次法治理论知识闯关比赛。比赛规定:三人组队参赛,按 顺序依次闯关,无论成败,每位队员只闯关一次。如果某位队员闯关失败,则由该队下一队员继续 闯关, 如果该队员闯关成功,则视作该队获胜,余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不 成功,则视为该队比赛失败。比赛结束后,根据积分获取排名,每支获胜的队伍积分 Y 与派出的 闯关人数 X 的关系如下: Y =40−10X(X=1,2,3) ,比赛失败的队伍则积分为 0 。现有 甲、乙、丙三人组队参赛,他们各自闯关成功的概率分别为 p 、p 、p ,且每人能否闯关成 1 2 3 功互不影响。 3 2 1 (1)已知 p = ,p = ,p = , 1 4 2 3 3 2 (i) 若按甲、乙、丙的顺序依次参赛,求该队比赛结束后所获积分 Y 的期望; (ii) 若第一次闯关从三人中随机抽取,求该队比赛结束后所获积分 Y =30 的概率。 (2)若甲只能安排在第二位次参赛,且 0

ex+lny ,整理得 x−ex>ln y−y ,即 x−ex>ln y−elny (*),构造函数 f (x)=x−ex(x>0),∴ 不等式(*)等价为 f (x)>f (ln y),∵x>0 , ∴f′(x)=1−ex<0,∴f (x)=x−ex 在 (0,+∞) 单调递减, ∴00,∴E(Y )–E(Y )<0 ,即 E(Y )0 , x x2 ∵ 函数 g(x) 在定义域内有三个不同的极值点, ∴g′(x) 在 (0,+∞) 上有三个不同的变号零点, 又 ∵g′(1)=0 ,令 h(x)=aex−x , ∴h(x) 在 (0,+∞) 上至少有两个不为 1 的不同零点, ∵h′(x)=aex−1,x∈(0,+∞) , ① 当 a∈(−∞,0]时,∴h′(x)≤0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递减，h(x)最多有一个零点，∴舍) ② 当 a∈(0,+∞) 时, ∵ 函数 ℎ ′(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,令 ℎ ′(x)=0 得 x=−lna , (i) 若 a∈[1,+∞),∴lna≤0 ,此时 h′(x)≥0 在 (0,+∞) 恒成立, ∴h(x) 在 (0,+∞) 上单调递增, h(x) 最多有一个零点, ∴ 舍; (ii) 若 a∈(0,1),−lna>0,∴ℎ ′(x) 与 ℎ(x) 随 x 的变化情况如下表所示 x (0,−lna) (−lna,+∞) + h(x) 单调递减 单调递增 又 ∵ℎ(0)=a>0, lim ℎ(x)=+∞ , n→+∞ 1 ∴ 当 ℎ(x) 最小值 ℎ(−lna)=1+lna<0 ,即 a< 时, ℎ(x) 在 (0,+∞) 上有两个不为 1 e 的变号零点, 即函数 g(x) 在定义域内有了两个不同的极值点,不妨分别记作 m,n(m