文档内容
雅礼中学 2025 届高三月考试卷（三）
数学
命题人： 审题人：
得分：________
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 8页.时量120分钟，满分
150分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.命题“存在 ， ”的否定是
A.存在 ，
B.不存在 ，
C.任意 ，
D.任意 ，
2.若集合 （i是虚数单位）， ，则 等于
A. B. C. D.
3.已知奇函数 ，则
A.-1 B.0 C.1 D.
4.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列可以推出 的是
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
5.已知函数 图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为 5，则A.0 B. C.4 D.
6. 已 知 是 圆 上 一 个 动 点 ， 且 直 线 与 直 线
（ ， ， ）相交于点 ，则 的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 是椭圆 上一点， ， 是 的两个焦点， ，点 在
的角平分线上， 为原点， ，且 .则 的离心率为
A. B. C. D.
8. 设 集 合 ， 那 么 集 合 中 满 足 条 件 “
”的元素个数为
A.60 B.90 C.120 D.130
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是
A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C.这10年粮食年产量的平均数为33.7
D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
10.已知函数 满足 ， ，并且当 时，
，则下列关于函数 说法正确的是
A. B.最小正周期
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于 对称
11.若双曲线 ， ， 分别为左、右焦点，设点 是在双曲线上且在第一象限的动点，点
为 的内心， ，则下列说法不正确的是
A.双曲线 的渐近线方程为
B.点 的运动轨迹为双曲线的一部分
C.若 ， ，则
D.不存在点 ，使得 取得最小值
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中 的系数为________.
13. 各角的对应边分别为 ， ， ，满足 ，则角 的取值范围为________.
14.对任意的 ，不等式 （其中e是自然对数的底）恒成立，则 的最大值为
________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设 为正项等比数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 ， ， ， ，点 在 上，且 ，
.
（1）若 为线段 的中点，求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数 有两个极值点为 ， ， .
（1）当 时，求 的值；
（2）若 （e为自然对数的底数），求 的最大值.
18.（本小题满分17分）
已知抛物线 的焦点为 ， 为 上任意一点，且 的最小值为1.
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知 为平面上一动点，且过 能向 作两条切线，切点为 ， ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，且满足 .
①求点 的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为 ，半径为1的圆，使得过 可以作圆 的两条切线 ，
，切线 ， 分别交抛物线 于不同的两点 ， 和点 ， ，且 为
定值？若存在，求圆 的方程，不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
对于一组向量 ， ， ，…， （ 且 ），令 ，如果存在
，使得 ，那么称 是该向量组的“长向量”.
（1）设 ， 且 ，若 是向量组 ， ， 的“长向量”，求实数 的取值范
围；
（2）若 ， 且 ，向量组 ， ， ，…， 是否存在“长向量”？给
出你的结论并说明理由；
（ 3 ） 已 知 ， ， 均 是 向 量 组 ， ， 的 “ 长 向 量 ” ， 其 中 ，
.设在平面直角坐标系中有一点列 ， ， ，…， ，满足 为坐标原点， 为
的位置向量的终点，且 与 关于点 对称， 与 （ 且 ）关于点 对称，求
的最小值.参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A D C B C D ACD AD ABD
1.D
2.C 【解析】集合 ， ， .故选C.
3.A 【 解 析 】 是 奇 函 数 ， ，
， ， ，
.故选A.
4.D 【解析】有可能出现 ， 平行这种情况，故A错误；会出现平面 ， 相交但不垂直的情况，故
B 错 误 ； ， ， ， 故 C 错 误 ； ， ， 又 由
，故D正确.故选D.
5.C 【解析】设 的最小正周期为 ，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则
有 ，得 ，则有 ，解得 ，所以 ，所以
.故选C.
6.B 【 解 析 】 依 题 意 ， 直 线 恒 过 定 点 ， 直 线
恒过定点 ，显然直线 ，因此，直线 与 交点 的轨迹是以线段
为直径的圆，其方程为： ，圆心 ，半径 ，而圆 的圆心
，半径 ，如图：， 两 圆 外 离 ， 由 圆 的 几 何 性 质 得 ： ，
，所以 的取值范围为 .故选B.
7.C 【解析】如图，设 ， ，延长 交 于点 ，
由题意知 ， 为 的中点，故 为 中点，
又 ，即 ，则 ，
又由点 在 的角平分线上得 ，
则 是等腰直角三角形，
故有 化简得 即
代入 得 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ， .故选C.
8.D 【解析】因为 或 ，所以若 ，则在 中至
少有一个 ，且不多于3个.所以可根据 中含0的个数进行分类讨论.
①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为 ，
②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为 ，
③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为 ，
所以共有 种.故选D.
9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食
年产量极差为 ，故A正确； ，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8
个 数 的 平 均 数 ， 即 ， 故 B 不 正 确 ； 这 10 年 粮 食 年 产 量 的 平 均 数 为
，故C正确；结合图形可知，前5年的粮食
年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方
差，故D正确.故选ACD.
10.AD 【解析】由于 时， ，并且满足 ，则函数 的
图 象 关 于 直 线 对 称 . 由 于 ， 所 以 ， 故
，故 ，故函数
的最小正周期为 ，根据 ，知函数 的图象关于 对称.由于
时， ， ，故 A 正
确，由于函数的最小正周期为 ，故B错误；由函数 的图象关于 对称，易知 的图象不关于直线 对称，故C错误；根据函数图象关于点 对称，且函数图象关于直线 对称，知
函数图象关于点 对称，又函数的最小正周期为 ，则函数图象一定关于点 对称，故D正
确.故选AD.
11.ABD 【解析】双曲线 ，可知其渐近线方程为 ，A错误；设 ，
， 的内切圆与 ， ， 分别切于点 ， ， ，可得 ，
， ，由双曲线的定义可得： ，即 ，
又 ，解得 ，则点 的横坐标为 ，由点 与点 的横坐标相同，即点 的横
坐标为 ，故 在定直线 上运动，B错误；由 ，且 ，解得
， ， ， ， 则
， ，同理可得： ，设直线
，直线 ，联立方程得 ，设 的内切圆的半径
为 ， 则 ， 解 得 ， 即 ，
， ， ， 由 ， 可 得
解得 ， ，故 ，C 正确； ，
， 当 且 仅 当 ， ， 三 点 共 线 取 等 号 ， 易 知，故存在 使得 取最小值，D错误.故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.90 【解析】 展开式的通项公式为 ，令
，解得 ，所以展开式中 的系数为 .
13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简
，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示 ，由
可得 ，可得 .
14. 【解析】对任意的 ，不等式 （其中e是自然对数的底）恒成
立，只需 恒成立，只需 恒成立，只需 恒成立，
构造 ， ， ， .
下 证 ， 再 构 造 函 数 ， ，， ， 设 ，
， ， 令 ， ， ，
，在 时， ， 单调递减， ，即 ，所以
递 减 ， ， 即 ， 所 以 递 减 ， 并 且 ， 所 以 有
， ，所以 ，所以 在 上递减，所以 的最小值为
. ，即 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）因为 是正项等比数列，所以 ，公比 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，解得 （舍去）或 ，·······················································（3分）
又因为 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 .··············································································（6分）
（2）依题意得 ，························································（7分）
当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，当 时， 符合上式，所以数列 的通项公式为 .····························（10分）
因为 ，
所以 .··························（13分）
16.【解析】（1）设 为 的中点，连接 ， ，
因为 是 中点，所以 ，且 ，
因为 ， ， ， ，
所以四边形 为平行四边形， ，且 ，
所以 ，且 ，即四边形 为平行四边形，
所以 ，因为 平面 平面 ，所以 平面 .················（6分）
（2）因为 平面 ，所以 平面 ，又 ，所以 ， ， 相互垂直，·
·······························································································································（7分）
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ，····························（9分）
设平面 的一个法向量为 ，
则 取 ，则 ，·················································（11分）
设平面 的一个法向量为 ，
则 取 ，则 ，···················································（13分）
设平面 与平面 所成夹角为 ，则 .········（15分）
17.【解析】（1）函数 的定义域为 ，则 ，
当 时，可得， ，············································（2分）
当 或 时， ；当 时， ；
所以 在区间 ， 上单调递增，在区间 上单调递减；·······················（4分）
所以 和 是函数 的两个极值点，又 ，所以 ， ；
所以 ，
即当 时， .····································································（6分）
（2）易知 ，又 ，所以 ， 是方程 的两个实数根，
则 且 ， ，所以 ，·············································（9分）
所以
，···························（11分）
设 ，由 ，可得 ，令 ， ，··························（13分）
则 ，所以 在区间 上单调递减，
得 ，故 的最大值为 .···········（15分）
18.【解析】（1）设抛物线 的准线 为 ，过点 作 直线 于点 ，
由抛物线的定义得 ，所以当点 与原点 重合时， ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .····················································································（4分）
（2）①设 ，过点 且斜率存在的直线 ，
联立 消去 ，整理得： ，
由题可知 ，即 ，
所以 ， 是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得 ··································（6分）
又因为 ，所以 ， ，由 ，有 ，所以 ，因为 ， ， ，所以点 的轨迹方程为 .
②由①知 ，设 ， ， 且 ，·······（9分）
联立 消去 ，整理得 ，
又 ， ， ， ， 由 韦 达 定 理 可 得 ， 同 理 可 得
，
所以 ，·····························（11分）
又因为 和以圆心为 ，半径为1的圆相切，
所以 ，即 .
同理 ，
所以 ， 是方程 的两个不等实根，
所以由韦达定理可得 ·································································（14分）
所以 ，
若 为定值，则 ，又因为 ，所以 ，······································（16分）
所以圆 的方程为 .··········································································（17分）
19.【解析】（1）由题意可得： ，则 ，解得 .········
·······························································································································（3分）
（2）存在“长向量”，且“长向量”为 ， ，····························································（5分）
理由如下：由题意可得 ，若存在“长向量” ，只需使 ，
又 ，
故只需使
，
即 ，即 ，
当 或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为 ， .····························（8分）
（3）由题意，得 ， ，即 ，
即 ，同理 ， ，·····················（10分）
三式相加并化简，得 ，
即 ， ，所以 ，
设 ，由 得 ·················································（12分）
设 ，则依题意得： ·····························（13分）
得 ，
故 ，
，
所以 ，
，
当且仅当 时等号成立，······································································（16分）故 .···············································································（17分）
