高三数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年11月试卷_1114山西省太原市2024-2025学年高三第一学期期中测评（全科）_山西省太原市2024-2025学年高三年级第一学期期中测评数学

2024-2025 年第一学期高三年级期中试题 参考答案及评分建议 一．选择题： D B C A B C A B 二．选择题： 9.BC 10.AC 11. BCD 1 3 三．填空题: 12.145 13.( ,1) 14. 2 3 四．解答题： 15.解：（1）由题意得A{x|1 x2}，B{y|y0}，AB(1,2]； ………6分 a （2）由题意得 f(x)2x  的定义域为R ，且 f(x)是奇函数， 2x 1  f(0)1a 0，a  1， f(x)2x  ， ………9分 2x 1 3 15  f(x)2x  在(1,2]上单调递增， f(1) ， f (2) ， 2x 2 4 3 15 当xAB时，f(x)的值域为( , ]. ………13分 2 4 a a aq(q2 1)12, 16.解（1）设{a }的公比为q，则  4 2 1 n  a aq2 8, 3 1 a 32, a  2,  1 解得   q 1  2 或   q   1 （舍去），a n  2n(nN*)； ………6分  2 （2）由（1）可得b (n4)2n(nN*)， n S (3)2(2)22 (n5)2n1(n4)2n，① n 2S (3)22 (2)23 (n5)2n (n4)2n1，② n ①②，整理得S (n5)2n110， ………10分 n 所以对于任意的nN*，不等式(n5)2n110(n4)2n 10恒成立， 即不等式(2)n(104)0对于任意的nN*恒成立， ………12分 20, 8  解得2 ， 21040, 3 8 实数的取值范围是[2, ]. ………15分 3 3 1  17.解：（1）由题意得 f(x) sin2x cos2x sin(2x )， ………3分 2 2 6     5   f(A)sin(2A )1，0 A ， 2A  ，A ， 6 2 6 6 6 3 第1页（共4页）高三数学3 2sin B 3sinC ，由正弦定理可得2b 3c，即b  c， ………5分 2 7 a  7 ，由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA c2 7， 4 c  2，b 3； ………7分   （2）由题意得g(x) f(x )sin(2x )cos2x， ………9分 3 2   g(B)cos2B 0，0 B ，02B，B  ， ………10分 2 4 3 mn cosAcosCsin AsinC cos(AC) cos(2A )， ………13分 4    3  2 3   A ， 2A  ， cos(2A )1， 4 2 4 4 4 2 4 2 mn的取值范围为( ,1]. ………15分 2 18.（1）证明：连接OA，AB  PA ，PAB 60， z △PAB 是正三角形，PB  AB  PA ， P Q 同理可得PC  AB，PB  PC， O是BC的中点，OP  BC， ………2分 M AB  AC，OA BC， C 1 O AB  AC ，OAOB  BC ， A y 2 B x OP  BC，PB2 OP2 OB2， PA2  PB2 OP2 OB2 OP2 OA2，OP OA， ………4分 OABC O，OP 平面ABC； ………6分 （2）由（1）得OP OA，OP OB，OAOB，以O为原点，OA,OB,OP所在直线 分别为x轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB  2 ，则A(1,0,0)， B(0,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，BQ  AP，Q(1,1,1)， 显然OP(0,0,1)是平面ABC的一个法向量， ………8分   m BC, 2y0, 设m(x,y,z)是平面BCQ的一个法向量，则    m BQ, xz 0, 取z 1，则x1,y 0，m(1,0,1)， ………10分 mOP 1 2 cosm,OP   ，二面角ABCQ的大小为135；……12分 |m||OP| 2 2 （3）假设存在点M ，设BM BQ(01)，则BM BQ (,0,)， 第2页（共4页）高三数学AM  ABBM (1,1,)， ………13分 7 直线AM 与平面BCQ所成角的正弦值为 ， 7 mAM 1 1 |cosm,AM || || | ， ………15分 |m|| AM | 2 (1)2 12 7 1 3 BM 1  或 （舍去），  . ………17分 2 2 BQ 2 19.（1）证明：由题意得曲线 y  f(x)在点(a , f(a ))处的切线方程为 n n y f(a ) f(a )(xa )，即 yea n ea n(xa )， n n n n 令 y 0，解得x a 1，则a a 1，即a a 1(nN*)， n n1 n n1 n 所以数列{a }是以a 为首项、1为公差的等差数列； ………5分 n 1 f(a ) 1 （2）由（1）可得a a 1(nN*)，所以 n1 ea n1 a n  ， n1 n f(a ) e n 1 所以数列{f(a )}是以 f(a )为首项、 为公比的等比数列， n 1 e ea 1 3(e4 1) 其前4项的和为 ea 1 3(e2 1)(e1) (e2 1)(e1)， e1 所以实数a 3； ………10分 1 1 x3x1ex 2 （3）原不等式等价于m 在(0,)上恒成立， x2 1 x3x1ex (x2)(x2 2x22ex) 令h(x) 2 ，x 0，则h(x) ， x2 2x3 令t(x) x2 2x22ex，x 0，则t(x)2(x1ex)0， 所以t(x)在(0,)上递减，所以t(x)t(0)0， 令h(x)0，则x2；令h(x)0，则0 x2， 7e2 所以h(x)在(0,2)上递增，在(2,)上递减，所以h(x) h(2) ， 4 7e2 所以实数m的取值范围为[ ,). ………17分 4 注：以上各题其它解法请酌情赋分. 第3页（共4页）高三数学