文档内容
2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合、常用逻辑用语、导数及其应用及苏教版2019选修必修第二册全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．已知 ， ， ，若P，A，B，C四点共面，则 （ ）
A. 3 B. C. 7 D.
4．函数 的零点个数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
5．在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是 ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6．某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人
至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式
A. 49 B. 64 C. 66 D. 73
7．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则 （
）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8．设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（
）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A. 若随机变量 满足 ，则
B. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则c，k的值分别是 和2
C. 若变量x与变量y满足关系 ，变量y与变量z是正相关，则x与z正相关
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的独立性检验
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学科网（北京）股份有限公司（ ），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
10．已知 展开式的二项式系数和为512，
，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11．在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 在正方体的面 内（含边
界）移动，点 为线段 上的动点，设 ，则（ ）
A. 当 时， 平面
为
B. 定值
C. 的最小值为
D. 当直线 平面 时，点 的轨迹被以 为球心， 为半径的球截得长度为1
第二部分（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．随机变量 ， ，则 ______．
13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位：克）与脉搏率 （单位：心跳次数/分
钟）的对应数据 ，根据生物学常识和散点图得出 与 近似满足 （
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学科网（北京）股份有限公司为参数）.令 ， ，计算得 ， ， .由最小二乘法得经验回
归方程为 ，则 的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值
，若残差平方和 ，则决定系数 ___________.（参考公式：
决定系数 ）
14．已知函数 ，若函数 有两个极值点 且 ，则实数 取值
范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围.
16．（15分）
某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
（1）完成 列联表.根据小概率值 的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为 ，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率
为 .用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参
加体能测试，求3人中合格的人数 的分布列及期望.（ 对应值见下表）
4
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0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17．（15分）
某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、
女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多
少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
18．（17分）
如图，在三棱柱 中， ， .
（1）证明： ；
（2）若平面 平面 ，D为 上一点且 ，求平面 与平面 夹
角的余弦值.
19．（17分）
某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为
X．
（1）要使 的值最大，求n的值；
（2）已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为 ，方差为 ，则对任意 均有
，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事
件 的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫
不等式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有 的把握使种子的发芽率落在区间 ，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种
子数 的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有
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