文档内容
2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）
理 科 数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 的虚部是2，则 （ ）
A． B． C．3 D．
3．执行如图所示的程序框图，若输出p的值为21，则空白框内可以填入的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 中， ， ， ，O为 所在平面内一点，且 ,
则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
6．已知长方形ABCD中， ，E，H分别是AB，AD的中点，F是BC边上靠近B的三等分点，G是
DC边上靠近D的四等分点．现往长方形ABCD中投掷96个点，则落在阴影部分内的点有（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．46个 B．48个 C．54个 D．72个
7．已知平面直角坐标系中，角 的终边不在坐标轴上，则“ ”是“ 是第四象限角”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，圆 与C的一条渐近线相交，
且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在
劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情
怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，
则不同的派遣方案有（ ）
A．140 B．150 C．200 D．220
10．已知函数 的部分图象如图所示，其中 ，
，现先将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中
点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，实数 ， 分别满足 ， ，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 ，若 ，则 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．若 满足约束条件 ，则 的最小值是 ．
15．已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为 ，且 ，该四棱锥的外接球的表面积为 ，
则 的取值范围为 ．
16．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
， ，则 周长的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，当 时， 是4的常数
列.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，设数列 的前 项和为 ，证明： .
18．（12分）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
，点 为棱 的中点，点 在棱 上，且 ．
(1)证明： 平面 ；(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12分）为了进一步推动智慧课堂的普及和应用， 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样
调查，统计数据如表：
经常应
偶尔应用或者不应用 总计
用
农村
城市
总计
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 .
(1)补全 列联表，判断能否有 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中
随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有 个，求 的分布列和数学期望.
附：
20．（12分）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同交点
，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 ，使得 ， 且 .
21．（12分）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
(2)若函数 ，且 恰有2个不同的零点，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
在直角坐标系 中，已知曲线 （其中 ），曲线 （ 为参数， ），
曲线 （t为参数， ）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．
（1）求 的极坐标方程；
(2)若曲线 与 分别交于 两点，求 面积的最大值．
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的值．
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