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2019年安徽省初中学业水平考试
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，
其中只有一个是正确的．
1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用
科学记数法表示为（ ）
A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012
5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝ 的图象上，则实数k的值
为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示
的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（ ）A．60 B．50 C．40 D．15
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段
AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．
假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（
）
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形
的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）A．0 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算 ÷ 的结果是 ．
12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 ．
13．（5分）如图，△ABC内接于 O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若 O的半
径为2，则CD的长为 ⊙ ． ⊙
14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的
图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围
是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．
16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点
（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程
队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程
队还需联合工作多少天？
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式： ＝ + ，
第2个等式： ＝ + ，
第3个等式： ＝ + ，
第4个等式： ＝ + ，
第5个等式： ＝ + ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心
的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为
运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）20．（10分）如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△A▱DF；
（2）设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值．
▱
六、（本题满分12分）
21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其
尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号
尺寸 8①.72 8②.88 8③.92 8④.93 8⑤.94 8⑥.96 8⑦.97 8⑧.98 ⑨a 9⑩.03 9⑪.04 9⑫.06 9⑬.07 9⑭.08 ⑮b
（cm）
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位：cm） 产品等次
8.97≤x≤9.03 特等品
8.95≤x≤9.05 优等品
8.90≤x≤9.10 合格品
x＜8.90或x＞9.10 非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等
品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为 的产品是否为合格品，并说明理由．
⑮（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．
（i）求a的值；
（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随
机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个
交点是该二次函数图象的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，
C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝
∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h ，h ，h ，求证h 2＝h •h ．
1 2 3 1 2 32019年安徽省初中学业水平考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，
其中只有一个是正确的．
1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．
故选：D．
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
解：几何体的俯视图是：故选：C．
4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用
科学记数法表示为（ ）
A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012
解：根据题意161亿用科学记数法表示为1.61×1010 ．
故选：B．
5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝ 的图象上，则实数k的值
为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝ 得k＝1×3＝3．
故选：A．
6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示
的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．15
解：由条形图知，50个数据的中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为＝ ＝
40，
故选：C．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段
AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴ ，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴ ，
∴ ，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴ ，
即 ，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故选：B．8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．
假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（
）
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），
2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），
∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，
故选：B．
9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝ ，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣ac＝ ＝ ﹣ac＝ ＝ ≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形
的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）A．0 B．4 C．6 D．8
解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝ ＝4
则在线段BC存在点N到点E和点F的距离之和最小为4 ＜9
∴在线段BC上点N的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算 ÷ 的结果是 3 ．
解： ．
故答案为：3
12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 如果 a ， b 互为相反数，那么 a + b ＝ 0 ．
解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：
如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．
13．（5分）如图，△ABC内接于 O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若 O的半
径为2，则CD的长为 ⊙ ． ⊙
解：连接CO并延长交 O于E，连接BE，
则∠E＝∠A＝30°，∠E⊙BC＝90°，
∵ O的半径为2，
∴⊙CE＝4，
∴BC＝ CE＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝ BC＝ ，
故答案为： ．
14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的
图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围
是 a ＞ 1 或 a ＜﹣ 1 ．
解：y＝x﹣a+1与x轴的交点为（1﹣a，0），
∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，∴当x＝1﹣a时，y＝（1﹣a）2﹣2a（1﹣a）＜0，
∴a2﹣1＞0，
∴a＞1或a＜﹣1；
故答案为a＞1或a＜﹣1；
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．
解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点
（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）
解：（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条
高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程
队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程
队还需联合工作多少天？
解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式： ＝ + ，
第2个等式： ＝ + ，
第3个等式： ＝ + ，
第4个等式： ＝ + ，
第5个等式： ＝ + ，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
解：（1）第6个等式为： ，
故答案为： ；
（2）
证明：∵右边＝ ＝左边．
∴等式成立，
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心
的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为
运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝ AB＝3（米），
在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，
∴cos41.3°＝ ，即OA＝ ＝ ＝4（米），
tan41.3°＝ ，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），
则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．
20．（10分）如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△A▱DF；
（2）设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值．
▱
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EAB+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，
∵ ，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）∵点E在 ABCD内部，
▱
∴S△BEC +S△AED ＝ S
ABCD
，
▱
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE ＝S△ADF ，
∴S四边形AEDF ＝S△ADF +S△AED ＝S△BEC +S△AED ＝ S
ABCD
，
▱
∵ ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
▱
∴ ＝ ＝2．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其
尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号
尺寸 8①.72 8②.88 8③.92 8④.93 8⑤.94 8⑥.96 8⑦.97 8⑧.98 ⑨a 9⑩.03 9⑪.04 9⑫.06 9⑬.07 9⑭.08 ⑮b
（cm）
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位：cm） 产品等次
8.97≤x≤9.03 特等品
8.95≤x≤9.05 优等品
8.90≤x≤9.10 合格品
x＜8.90或x＞9.10 非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等
品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为 的产品是否为合格品，并说明理由．
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9c⑮m．
（i）求a的值；（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随
机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
解：（1）不合格．
因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有 两个不合格；
（2）（i）优等品有 ～ ，中位数在 8.98， a之间， ①②
⑥ ⑪ ⑧ ⑨
∴ ，
解得a＝9.02
（ii）大于9cm的有 ，小于9cm的有 ，其中特等品为
画树状图为： ⑨⑩⑪ ⑥⑦⑧ ⑦⑧⑨⑩
共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．
∴抽到两种产品都是特等品的概率P＝ ．
七、（本题满分12分）
22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个
交点是该二次函数图象的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，
C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
解：（1）由题意得，k+4＝﹣2，解得k＝﹣2，
又∵二次函数顶点为（0，4），
∴c＝4
把（1，2）带入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴ ，设B，C两点的坐标分别为（x ，m）（x ，m），则 ，
1 2
∴W＝OA2+BC2＝
∴当m＝1时，W取得最小值7八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝
∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h ，h ，h ，求证h 2＝h •h ．
1 2 3 1 2 3
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∴PF＝h ，PD＝h ，PE＝h ，
1 2 3
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴ ，即 ，
∴h ＝2h
3 2
∵△PAB∽△PBC，
∴ ，
∴
∴ ．
即：h 2＝h •h ．
1 2 3
声明：
