文档内容
2021年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、
D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，
填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.
1．满足x≤3的最大整数x是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
3．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论
成立的是（ ▱）
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
4．据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，
7，7．下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6
5．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每
个肉粽x元，则可列方程为（ ）
A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70
C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70
6．下列运算正确的是（ ）
A． • ＝ B． ÷ ＝
C． + ＝ D． ﹣ ＝
7．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
⊙A．15° B．22.5° C．30° D．45°
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，
△DEF的周长为3 ，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 ﹣1
9．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x ，x ，则x 2﹣ 的值为（ ）
1 2 1
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′
分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9 ．
其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线
上.
11．如果x2＝4，则x＝ ．
12．在﹣2，﹣1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是
．
13．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，
AF＝3，则GH的长为 ．
14．若 ＝3，则 + ＝ ．
15．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝ AB＝3BD，则 AD：AC的值为
．
16．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边
界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤。
17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．
18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．
19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自
选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩
（百分制）的统计图表如下：
考生 自选项目 长跑 掷实心球
小红 95 90 95
小强 90 95 95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分
制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x ，x ，且k与 都为整数，求k所有可能的值．
1 2
21．（10分）如图，反比例函数的图象与过点 A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B
和C．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写
出点E的坐标，并求△BCE的面积．
22．（10分）如图，A，B是 O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝
OB，连接AC． ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）点D，E分别⊙是AC，OA的中点，DE所在直线交 O于点F，G，OA＝4，求GF
的长． ⊙
23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加 2元/千克要用300元；如果进价减少2
元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，
超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）
之间的函数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣ x+12．在（2）的
条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收
入﹣购进支出）
24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A
重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝ ．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y
轴交于点C，对称轴为直线x＝ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的
平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状
并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，
且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F
的坐标；若不存在，请说明理由．2021年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、
D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，
填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.
1．满足x≤3的最大整数x是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不等式x≤3得出选项即可。
【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3，
故选：C．
2．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】一个数到原点的距离可以用绝对值表示，例如|x|表示数x表示的点到原点的距
离．所以，表示数m和m+2的点到原点的距离相等可以表示为|m|＝|m+2|．然后，进行
分类讨论，即可求出对应的m的值．
【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|,
∴m＝m+2或m＝﹣(m+2),
∴m＝﹣1．
故选：C．
3．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论
成立的是（ ▱）
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得
出结论．
【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，BO▱＝DO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项A正确，选项B、C、D不正确，
故选：A．
4．据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，
7，7．下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．
【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7．则中位数是6，故
本选项说法正确，不符合题意；
B、∵6出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；
D、方差为： ×[（5﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）
2+（7﹣6）2]＝ ，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
5．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每
个肉粽x元，则可列方程为（ ）
A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70
C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70
【分析】设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，根据总价＝单价×数量，结合购买
10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，依题意得：10x+5(x﹣1)＝70．
故选：A．
6．下列运算正确的是（ ）
A． • ＝ B． ÷ ＝
C． + ＝ D． ﹣ ＝
【分析】根据分式的乘除法和加减法可以计算出各个选项中式子的正确结果，从而可以
解答本题．
【解答】解： ＝ ，故选项A错误；
＝ ＝ ，故选项B错误；
＝ ＝ ，故选项C错误；
＝ ＝ ＝ ，故选项D正确；
故选：D．
7．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
⊙
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则
∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE， ⊙
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝ ∠DOE＝22.5°．
故选：B．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，
△DEF的周长为3 ，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 ﹣1
【分析】连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，先证明△ABD是等边三角形，再根据SAS证
明△ADE≌△BDF，得到△DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE＝ ，设AH＝x,
则HE＝2﹣x，DH＝ x,在Rt△DHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD＝2x
的值．
【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD,AD∥BC,
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,
∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3 ，
∴DE＝ ,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，∵AD＝BD,DH⊥AB,
∴∠ADH＝ ∠ADB＝30°,
∴AD＝2x,DH＝ x，
在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,
∴（ x）²+(2﹣x)²＝( )²,
解得：x＝ (负值舍去），
∴AD＝2x＝1+ ，
故选：C．
9．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x ，x ，则x 2﹣ 的值为（ ）
1 2 1
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
【分析】由题意得出x +x ＝2021,x 2﹣2021x +1＝0，x 2﹣2021x +1＝0，将代数式变形
1 2 1 1 2 2
后再代入求解即可．
【解答】解:∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2021,x 2﹣2021x +1＝0，x 2﹣2021x +1＝0，
1 2 1 1 2 2
∵x ≠0,
2
∴x ﹣2021+ ＝0,
2
∴﹣ ＝x ﹣2021,
2
∴﹣ ,
∴x 2﹣ ＝2021x ﹣1+2021x ﹣20212
1 1 2
＝2021(x +x )﹣1+20212
1 2
＝20212﹣1﹣20212＝﹣1．
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′
分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9 ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据平行四边形的判定可得结论．
②作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,则CE＝4OC．利
用面积法求出OC即可．
③根据A′C﹣B′C≤A′B′,推出A′C﹣B′C≤15,可得结论．
④作点D关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD交CD
的延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′．
【解答】解：如图1中，∵AB＝A′B′,AB∥A′B′,AB＝CD,AB∥CD,
∴A′B′＝CD,A′B′∥CD,
∴四边形A′B′CD是平行四边形，故①正确，
作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,则CE＝4OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°,CD＝AB＝15,
∴BD＝ ＝ ＝25,∵ •BD•CO＝ •BC•CD,
∴OC＝ ＝12,
∴EC＝48,故②正确，
∵A′C﹣B′C≤A′B′,
∴A′C﹣B′C≤15,
∴A′C﹣B′C的最大值为15,故③正确，
如图2中，∵B′C＝A′D,
∴A′C+B′C＝A′C+A′D,
作点D关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD交CD的
延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′,
由△AJD∽△DAB,可得 ＝ ,
∴ ＝ ,
∴DJ＝12,
∴DD′＝24,
由△DEE′∽△DAB,可得 ＝ ＝ ,
∴ ＝ ＝ ,
∴ED′＝ ,DE＝ ,
∴CE＝CD+DE＝15+ ＝ ,
∴CD′＝ ＝ ＝9 ,
∴A′C+B′C的最小值为9 ．故④正确，
故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线
上.
11．如果x2＝4，则x＝ ± 2 ．
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：x2＝4，
开平方得x＝±2；
故答案为：±2．
12．在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ．
【分析】所列4个数中，倒数等于其本身的只有﹣1和1这2个，利用概率公式求解即
可．
【解答】解：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有﹣1和1这两个数，
所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ＝ ，故答案为： ．
13．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，
AF＝3，则GH的长为 3 ．
【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE＝2AF＝6，再利用
三角形中位线定理可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝ BE＝3，
故答案为3．
14．若 ＝3，则 + ＝ ．
【分析】利用分式化简 ，得出n＝2m,代入即可求解．
【解答】解：∵ ,
∴n＝2m,
∴ + ＝ + ＝ +4＝ ,
故答案为： ．
15．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝ AB＝3BD，则AD：AC的值为
．【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出△ABC∽△DBA，再根据
相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．
【解答】解：∵BC＝ AB＝3BD，
∴ ，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA，
∴ ,
∴AD:AC＝ ,
故答案为： ．
16．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边
界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．
②首先证明a＞1,再证明x＝1时，y＜0,可得结论．
③首先证明a＞0,再根据顶点在x轴上或x轴的上方，在点（0,1）的下方，可得不等式
组1＞ ≥0,由此可得结论．
【解答】解：由 ,消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0,
∵△＝16+4a,a＜0,∴△的值可能大于0，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△＝4﹣4a＞0,
∴a＜1,
∵抛物线经过(0,1),且x＝1时，y＝a﹣1＜0,
∴抛物线与x轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴﹣ ＞0,
∴a＞0,
∴1＞ ≥0,
解得，a≥1,故③正确，
故答案为：②③．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤。
17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．
【分析】由题意可知,在化简的过程中可以运用平方差公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2和完全平
方差公式(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2快速计算,再把x＝﹣1代入化简后得到的式子中求值．
【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣(4x2﹣12x+9)
＝4x2﹣1﹣4x2+12x﹣9
＝12x﹣10．
∵x＝﹣1,
∴12x﹣10＝12×(﹣1)﹣10＝﹣22．
故答案为：12x﹣10,﹣22．
18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点
E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，再根据全等三角形的对应边相等即可得解．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC,
在△ACF和△BAE中，
,
∴△ACF≌△BAE(AAS),
∴AF＝BE．
19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自
选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩
（百分制）的统计图表如下：
考生 自选项目 长跑 掷实心球小红 95 90 95
小强 90 95 95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分
制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
【分析】（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表得出所有等可能结果，
再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得答案；
（2）①根据表格中的数据即可补全条形图；
②根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表可知共有9种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3种结果，
所以小红和小强自选项目相同的概率为 ＝ ；
（2）①补全条形统计图如下：
②小红的体育中考成绩为95×50%+90×30%+95×20%＝93.5（分），
小强的体育中考成绩为90×50%+95×30%+95×20%＝92.5（分）．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x ，x ，且k与 都为整数，求k所有可能的值．
1 2【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有
两个不相等的实数根；
(2)解方程求出方程的两根为k,k+1,得出 ＝1+ 或 ＝1﹣ ,然后利用有理数的整
除性确定k的整数值；
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值,方程有两个不相等的实数根．
(2)解:∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k,k+1,
∴ 或 ,
如果1+ 为整数,则k为1的约数,
∴k＝±1,
如果1﹣ 为整数,则k+1为1的约数,
∴k+1＝±1,
则k为0或﹣2．
∴整数k的所有可能的值为±1,0或﹣2．
21．（10分）如图，反比例函数的图象与过点 A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B
和C．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写
出点E的坐标，并求△BCE的面积．【分析】(1)根据待定系数法求得即可；
（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析
式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得E的坐标，然后根据正方形的面积
减去三个直角三角形的面积即可求得△BCE的面积．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝ ,直线AB解析式为y＝ax+b,
∵反比例函数的图象过点B（4，1）,
∴k＝4×1＝4,
把点A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝ax+b得 ,
解得 ,
∴直线AB为y＝ ,反比例函数的解析式为y＝ ；
(2)解 得 或 ,
∴C(﹣2,﹣2),
设直线CD为y＝mx+n,
把C(﹣2,﹣2),D(﹣1,0)代入得 ,
解得 ,
∴直线CD为y＝2x+2,由 得 或 ,
∴E(1,4),
∴S△BCE ＝6×6﹣ ×3﹣ ﹣ ＝ ．
22．（10分）如图，A，B是 O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝
OB，连接AC． ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）点D，E分别⊙是AC，OA的中点，DE所在直线交 O于点F，G，OA＝4，求GF
的长． ⊙
【分析】（1）证明∠OAC＝90°即可；
（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结OF,过点O作OH⊥GF于点
H，根据中位线定理得DE∥OC，所以∠OEH＝∠AOB＝60°，求出OH，根据勾股定理
求出HF，乘2即可求出GF．
【解答】(1)证明:∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C,
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∴点A在 O上，
∴AC是 ⊙O的切线；
(2)解:如图⊙，连结OF,过点O作OH⊥GF于点H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D,E分别是AC，OA的中点，
∴OE＝AE＝ OA＝ ×4＝2,DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°,OH＝OEsin∠OEH＝ ．
∴HF＝ ＝ ＝ ．
∴GF＝2HF＝2 ．
23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加 2元/千克要用300元；如果进价减少2
元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）
之间的函数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，
销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣ x+12．在（2）的
条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收
入﹣购进支出）
【分析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结果；
（2）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和x＞100，得出两个函数关系式即可；
（3）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和100＜x≤300，得出两个二次函数关系
式，分别求出最大值比较后即可得出结果．
【解答】(1)解：设苹果的进价为x元/千克，
根据题意得： ，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克．
(2)解：当0≤x≤100时，y＝10x；
当x＞100时，y＝10×100+(x﹣100)(10﹣2)＝8x+200；
∴y＝ ．
(3)解：当0≤x≤100时，
w＝(z﹣10)x
＝( )x
＝ ，
∴当x＝100时，w有最大值为100；
当100＜x≤300时，
w＝(z﹣10)×100+(z﹣8)(x﹣100)
＝( )×100+( )(x﹣100)＝
＝ ，
∴当x＝200时，w有最大值为200；
∵200＞100，
∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．
答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．
24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A
重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝ ．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
【分析】(1)过点E作EM⊥AC于点M,由正方形的性质求出AE＝ ,由直角三角形的性质
求出EM和CM的长,则可得出答案；
(2)证明△DHG∽△DAF,由相似三角形的性质得出 ,则可得出答案．
(3)由锐角三角函数的定义要得出 ,求出x＝ ,y＝ ,由勾股定理求出EG的长,
得出EG＝EM,则可得出答案．
【解答】解:(1)过点E作EM⊥AC于点M,∴∠AME＝∠EMC＝90°,
∵四边形ABCD是边长为1的正方形,DE＝ ,
∴∠CAD＝45°,AE＝AD﹣DE＝1﹣ ＝ ,
∴EM＝AM＝AE•sin∠CAD＝ ,AC＝ ,
∴CM＝AC﹣AM＝ ﹣ ＝ ,
∴tan∠ACE＝ ＝ ＝ ；
(2)∵GH⊥AD,AB⊥AD,
∴GH∥AB,
∴△DHG∽△DAF,
∴ ,
∴ ,
∴y＝x﹣xy,
∴y＝ (0＜x≤1)；
(3)当∠ADF＝∠ACE时,EG⊥AC,
理由如下:
∵tan∠ADF＝tan∠ACE＝ ,
∴ ,∴x＝ ,y＝ ,
∴HA＝GH＝ ,
∴EH＝AD﹣DE﹣AH＝ ,
∴EG＝ ＝ ＝ ,
∴EG＝EM,
又∵EM⊥AC,
∴点G与点M重合,
∴EG⊥AC．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y
轴交于点C，对称轴为直线x＝ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的
平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状
并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，
且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣
x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对
称，进而求出点E的坐标为（5,4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别
求解即可．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；
（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则 ，解得 ，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
（3）∵D是OC的中点，则点D（0,2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x﹣2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得 （不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5,4），
设点F的坐标为（0，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝ ；
故点F的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0， ）．
