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2021 年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的）
1. -2021的绝对值等于（ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．
【详解】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解题的关键．
2. 我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得14.1亿=
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解．
3. 在平面直角坐标系中，点 关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果．
【详解】点 关于y轴的对称点的坐标是
故选：C．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 正确，该选项符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
C、 原计算错误，该选项不符合题意；
D、 原计算错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算及合并同类项，熟练掌握幂的运算及合并同类项是解题的关键．
5. 若 的值为零，则x的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】根据题意知， ，
解得： ，
所以 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件
缺一不可．6. 如图，在 中， ，点F为AC中点， 是 的中位线，若 ，则BF=
（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由DE是 的中位线，可得AC=12，在 中，点F为AC中点，可得BF= 即可．
【详解】解：∵DE是 的中位线，
∴AC=2DE=2×6=12，
∵在 中， ，点F为AC中点，
∴BF= ，
故选择A．
【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键．
7. 甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上
的小立方块个数（ ）
A. 甲和乙左视图相同，主视图相同 B. 甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C. 甲和乙左视图相同，主视图不相同 D. 甲和乙左视图不相同，主视图相同
【答案】D
【解析】【分析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状．
【详解】由甲俯视图知，其左视图为 ，由乙俯视图知，其左视图为 ，故它们的左 视图
不相同，但它们两个的主视图相同，都是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和
主视图．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球
的概率为
B. 一个抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖2次就必有1次中奖
C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现： ， ，说明甲的数学成绩比乙
的数学成绩稳定
D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
【答案】D
【解析】
【分析】根据简单事件的概率计算即可对A作出判断；根据概率的含义即可对B作出判断；根据方差反映
了数据的波动程度这一特征即可对C作出判断；根据普查的适用范围即可对D作出判断．
【详解】A、由题意知，从中任意摸出一个球共有5种可能的结果数，摸出的一个球是红球有2种可能的
结果数，所以从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，故A选项错误；
B、一个抽奖活动的中奖概率为 ，只能说抽奖2次，可能有一次中奖，也可能一次不中甚至2次都中，
故B选项错误；
C、方差的大小反映了一组数据的波动程度，方差越小，数据的波动程度越小，由于 且 ，所以乙的波动程度更小，说明乙的成绩更稳定，故C选项错误；
D、由于一个班的学生人数不多，可以用普查的方法来调查，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了统计与概率部分中的有关知识，包括概率的含义及计算，数据收集中的普查，反映一
组数据特征的方差，熟悉这些知识是解决本题的关键．
9. 若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，先将方程 的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜
边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】解方程 得 ，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ；
则该直角三角形的面积是6或 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练
掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
10. 如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G．若 ． ．
则 的值为（ ）.
A 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知
条件即可求得△CEG的面积．
【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键．
11. 如图，四边形 为⊙ 的内接四边形，若四边形 为菱形， 为（ ）．A. 45° B. 60° C. 72° D. 36°
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形性质，得 ；连接 ，根据圆的对称性，得 ；
根据等边三角形的性质，得 ，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵四边形 为菱形
∴
连接
∵四边形 为⊙ 的内接四边形
∴
∴ ， 为等边三角形
∴
∴
∴
故选：B．【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边
三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．
12. 定义： ，若函数 ，则该函数的最大值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】令 ,
当 时，即 时， ，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 时， ，
∴ （ ），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时， ；
当 时，即 时， ，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当 时， 或 ，
∴ （ 或 ），
∵ 的对称轴为x=1，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时， =3，
∴当 时，y<3；当 ，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时， =0；
∴当 时，y<0；
综上， 的最大值为3．
故选C．
【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．
二、填空题（本大题共5个小题，将答案直接填写在答题卡相应的横线上）
13. 从-1， ，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是______．
【答案】
【解析】
【分析】三个数中任取两个不同的数作积，共有三个积，把这三个积按从小到大排列，则中间的数便是中
位数．
【详解】从-1， ，2三个数中任取两个不同 数作积，分别是 ， ， ，
的
把 ，-2，1这三个数按大小排列，则中间的数为 ，则中位数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反映一组数据集中趋势的统计量：中位数，掌握中位数的概念是本题的关键．
14. 已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完
成求解．
15. 如图， 为正六边形， 为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵ABDEF是正六边形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵∴
故答案为：
【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公
式是解题的关键．
16. 若关于x的分式方程 的解是正数，则k的取值范围是______．
【答案】 且
【解析】
【分析】根据题意，将分式方程的解 用含 的表达式进行表示，进而令 ，再因分式方程要有意义
则 ，进而计算出 的取值范围即可．
【详解】解：
根据题意 且
∴
∴
∴k的取值范围是 且 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相
关计算方法是解决本题的关键．
17. 如图，在矩形 中， 和 相交于点O，过点B作 于点M，交 于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接 ， ．有下列结论：①四边形 为平行四边形，
② ；③ 为等边三角形；④当 时，四边形DEBF是菱形．正确结论的序
号______．
【答案】①②④．
【解析】
【分析】通过全等三角形的判定和性质，证明 EN=FM，EN∥FM，判断结论①；通过证明
△AMB∽△BMC，然后利用全等三角形和相似三角形的性质判断结论②；假设结论成立，找出与题意的矛
盾之处，判断结论③，结合等腰三角形的判定和性质求得DE=BE，可得结论④
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△ADN和△CBM中，
∴△ADN≌△CBM，
∴DN=BM，
又∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，
∵NE∥FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠ABM=∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴ ，
∵DN=BM，AM=CN，
∴DN2=CM•CN，故②正确，
若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，
即∠ACD=30°，不符合题意，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等
是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
18. （1）计算：（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）2；（2） ；
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂、0指数幂、实数的绝对值和特殊角的三角函数值进行计算即可得解；
（2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再将 代入计算即可求得原式的值．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
将 代入，
原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及实数的计算，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
19. 为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛
成绩进行统计．组别 成绩范围 频数
A 60～70 2
B 70～80 m
C 80～90 9
D 90～100 n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均
成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
【答案】（1）5,4；（2） 分；（3）
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图、频数的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据加权平均值、用样本估计总体的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意画出树状图，即可完成求解．
【详解】（1）根据题意，得
∴ ；
（2）根据题意，得从A组和D组的中间值分别为：65，75，85，95
∴全校学生的平均成绩为 分
（3）根据题意，树状图如下
总共有：30种情况，其中2名学生都在D组的情况有12种
∴2名学生都在D组的概率为： ．【点睛】本题考查了抽样调查和概率的知识；解题的关键是熟练掌握扇形统计图、频数、加权平均数、用
样本估计总体、树状图法求概率的性质，从而完成求解．
20. 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之
间存在一次函数关系（其中 ，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90
瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液
每天销售利润最大．
【答案】（1） ；（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，
最大为500元．
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式 ，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意得出每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式，利用二次函数的性质
即可求解．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式 ，由题意可得，
，
解得， ，
∴y与x之间的函数关系式 ；
（2）由题意可得，
为
w=（x-10）（-5x+150）= （ ，且x 整数），
当 时， ，
∴当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确求得每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式是解决问题的关键．
21. 如图， 为等腰直角三角形，延长 至点B使 ，其对角线 ， 交于点E．
（1）求证： ；
（2）求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 通 过 是 等 腰 直 角 三 角 形 可 知 ， 再 由 ，
即可证明 ；
（2）设 ，则 ， ，再根据 即可得到用含
的表达式表示的DF，进而即可求得 的值．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形
∴E为BD中点
∵
∴
∴
又∵ 为等腰直角三角形
∴ ，∴
∴
∵
∴
在 与 中
∴ ；
（2）解：设
∵ 为等腰直角三角形
∴ ， ，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵E是DB中点
∴
∴∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等 的判定，三角形相似的性质与判定，还涉及了等腰直角三角形的性质，
勾股定理，三线合一，矩形的性质等相关内容，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键．
22. 已知反比例函数 的图象经过点 ．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数 的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG
交直线 于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D
三点共线；
②若 ，求证： ．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 ；（2）①证明见详解；②证明见详解．
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数 的图象经过点 ，可得 即可；
（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO= ，tan∠DBC= 相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；
②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC= ，由 ，
可得AO=AK，由∠AKO为 AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK
即可． △
【详解】解：（1）∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴该反比例函数的表达式为 ；
（2）①设点C（ ），则B（2， ），D（ ），
∴OE= ，BE=2，CD=3- ，BC= ，
∴tan∠EBO= ，tan∠DBC= ，
∴∠EBO=∠DBC，
∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，
∴点O，点B，点D三点共线；
②设AC与OD交于K，
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥BC∥x轴，
∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AF⊥x轴，AD∥x轴，
∴AF⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC= ，
∵ ，
∴AO=AK，
∴∠AOD=∠AKO，
又∵∠AKO为△AKD的外角，
∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，
∵AD∥OH ，
∴∠DOH=∠ADK，
∴∠AOD=2∠DOH．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三
角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，
平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
23. 如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点
, 连接 ．
（1）求证： 为⊙ 的切线；（2）若⊙ 半径为3， ，求 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 、 ，由题意可以得到 ，再利用 ，即可得
出 即可；
（2）过点 作 于点 ，在 中， ，由（1）得 ，在
和 中，设 ，根据勾股定理建立方程求出 ，再求出 即可．
【详解】解：（1）证：连接 、
∵ 为 的切线
∴
∵ 是直径，
∴ ，
又∵
∴∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 为⊙ 的切线；
（2）过点 作 于点 ，如下图：
由（1）得
在 中， ， ，∴
∴ （等面积法）
∴
设 ，则
在 和 中，
，
∴解得
∴
【点睛】此题考查了圆的切线证明、勾股定理的应用、三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握圆的有关
性质、勾股定理的应用和三角函数的有关概念．
24. 已知二次函数 ．
（1）当该二次函数的图象经过点 时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发
在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位
长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足 的任意实数x，都使得 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）-3≤b≤1．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ= t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设 ，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况： 或
，进而即可求解．
【详解】解：（1）把 代入 ，
得： ，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为： ；
（2）令y=0代入 ，
得： ，
解得： 或 ，
令x=0代入 得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴MQ= BQ= t，
∴△BPQ的面积= = ，∴当t=1时，△BPQ面积的最大值= ；
（3）抛物线 的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设 ，
∵对 的任意实数x，都使得 成立，
∴ 或 ，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出
不等式组，是解题的关键．
