(22)--1.12笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

第一章 函数与极限 第八节 函数连续性与间断点 主讲 武忠祥 教授一、函数的连续性 定义（连续）若 l i m  y  0 , 或 lim f (x)  f (x ), 0 x0 xx 0 则称 在 处连续. f ( x) x 0 左连续： lim f (x)  f (x ) 0  xx 0 右连续： lim f (x)  f (x ) 0  xx 0 连续 左连续且右连续  在区间上连续 ； f ( x) 【例1】试证： 在区间 上连续. sin x (,)二、函数的间断点 间断点 在 处连续 在 某去心邻域有定义 f ( x) x f ( x) x 0 0 1） f ( x) 在 x 有定义 0 2） lim f (x) 存在 xx 0 3） lim f (x)  f (x ) 0 xx 0 间断点分类： 第一类间断点： （左、右极限都存在） 1）可去间断点: f (x  0)  f (x  0) 0 0 2）跳跃间断点: f (x  0)  f (x  0) 0 0 第二类间断点 （左、右极限至少有一个不存在）【例2】判断下列函数的间断点 的类型 x  0 sin x （可去） 1) f ( x)  x （跳跃） 2) f (x)  sgn x 1 3) f (x)  sin （振荡） x 1 4) f (x)  （无穷） 2 x内容小结 在点 连续的等价形式 1. f (x) x 0 lim f (x)  f (x ) lim [ f (x  x)  f (x )]  0 0 0 0 xx x0 0   f (x )  f (x )  f (x ) 0 0 0 左连续 右连续 在点 间断的类型 2. f (x) x 0 可去间断点 第一类间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 个不存在 振荡间断点作业 ： ； P61 3; 4; 5 6..