A426李林880题数三高数部分做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数三

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拓展题221 解答题221 ·第2页，共222页·高等数学 第一章函数、极限、连续 基础题 一、选择题 (1)函数fx  =xsinxecosx x∈-∞,+∞    是( ). A. 单调函数 B. 周期函数 C. 偶函数 D. 有界函数 (2)设函数fx  =cossinx  ,gx  =sincosx  π ,则当x∈0, 2  时,( ). A. fx  单调增加,gx  单调减少 B. fx  单调减少,gx  单调增加 C. fx  与gx  都单调增加 D. fx  与gx  都单调减少 (3)设函数fx  = 1+x+x2- 1-x+x2,则( ). A. fx  为偶函数 B. fx  为奇函数 C. fx  为无界函数 D. limfx x→∞  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =1 ·第3页，共222页·(4)设当x→+∞时,fx  ,gx  都是无穷大,则当x→+∞时,下列选项中正确的是( ). A. fx  -gx  是无穷小 B. fx  +gx  是无穷大 gx C.  fx  fx →1 D.  +gx  fx  gx  是无穷小 1 1 (5)当x→0时, sin 是( ). x2 x A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大 x2 (6)已知lim -ax-b x→∞ x+1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =0,则( ). A. a=1,b=1 B. a=-1,b=1 C. a=1,b=-1 D. a=-1,b=-1 ·第4页，共222页·(7)设当x→0时,x-sinx  tanx是比ln1+xn  高阶的无穷小,而ln1+xn  是比x2高阶的无穷小,则 n=( ). A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 1+ax2 (8)当x→0时,ex- 与x3是同阶无穷小,则( ). 1+bx 1 1 1 1 A. a= ,b=1 B. a=- ,b=1 C. a= ,b=-1 D. a=- ,b=-1 2 2 2 2 (9)设fx  =ln2x,gx  =x,hx  x =e2x>1  ,则当x充分大时,( ). A. fx  0,已知 limxPax -ax+1 x→+∞  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 存在,则P的取值范围为_____. ·第7页，共222页·ex2 -e2-2cosx (4)lim =_____. x→0 ex4 -1 (5)设fx  =a+bx+cx2+dx3-tanx,当x→0时,fx  是比x3高阶的无穷小,则a+b+c+d=__ ___. 三、解答题 (1)设fx  是定义在(-a,a)内的函数,证明:fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和. ·第8页，共222页·(2)设函数fx  满足afx  1 +bf x  c = ,其中a,b,c均为常数,且a≠b,求fx x  的表达式,并证 明fx  是奇函数. (3)设函数fx  在区间(-a,a)内有定义,其中a>0,且对任意x 1 ,x 2 ∈-a,a  ,有∣fx 1  - fx 2  ≤x 1 -x 2 ∣,证明:Fx  =fx  +x在(-a,a)内单调增加. (4)设数列x n  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 满足limx =limx =a,证明:limx =a. 2k 2k+1 n k→∞ k→∞ n→∞ ·第9页，共222页·(5)求下列极限: 1 1 1 x2-xsinx  ax +bx +cx (I)lim ; (II)lim x→∞x2+xsin1 x→+∞ 3 x  x a,b,c为正数  ; lnsin2x+ex (III)lim x→0  -x lne2x-x2  1+x ; (IV)lim -2x x→0  3 x -e3 ; x etanx-ex 1 1 (V)lim ; (VI)limcotx - x→0 x3 x→0 sinx x  ; (VI)lim1-x2 x→0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 1 1- 1-x2; (III)limxsinx. x→0+ ·第10页，共222页·(6)求下列极限: 1 2 n (I)lim + +⋯+ n→∞ n2+n+1 n2+n+2 n2+n+n  ; (II)lim 1+2+⋯+n- 1+2+⋯+n-1 n→∞    ; n 1 n 1 1 1 (III)lim ; (IV)lim 1+ + +⋯+ ; n→∞ 4k2-1 n→∞ 2 3 n k=1 1+ n3 (V)lim n→∞ 2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 n . ·第11页，共222页·(7)求fx  =1+x  x tanx-π 4  在0,2π  内的间断点,并指出其类型. (8)讨论函数fx  xn+2-x-n =lim 的连续性. n→∞ xn+x-n (9)设fx  在a,b  上连续,且a0  ,x = a+x ,证明:limx 存在,并求其值. n+1 n n n→∞ x +y n n (11)设x 1 =a≥0,y 1 =b≥0,a≤b,x n+1 = x n y n ,y n+1 = 2 n=1,2,⋯  ,证明:limx =limy n n n→∞ n→∞ 综合题 一、选择题 sin1 e x -1 (1)lim x→∞ 1+1 x  k -1+1 x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =a≠0成立的充分必要条件是( ). A. k≠1 B. k>1 C. k>0 D. 与k无关 ·第13页，共222页·2arctanx-ln1+x (2)已知lim 1-x =c≠0,则( ). p x→0 x 4 4 4 4 A. p=3,c=- B. p=-3,c= C. p= ,c=3 D. p=- ,c=-3 3 3 3 3 (3)设当x→0时,αx  =tanx-sinx, βx  = 1+x2- 1-x2, γx  1-cosx = sintdt都是无穷小,将它 0 们关于x的阶数从低到高排列,正确的顺序为( ). A. αx  ,βx  ,γx  B. αx  ,γx  ,βx  C. γx  ,αx  ,βx  D. βx  ,αx  ,γx  (4)设y=yx  是方程y+2y+y=e3x的解,且满足y0  =y 0  =0,则当x→0时,与yx  同为等 价无穷小的是( ). A. sinx2 B. sinx C. ln1+x2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 D. ln 1+x2 ·第14页，共222页·(5)fx  xlnx 1 = ex-1 x-1  x-2  的无穷间断点的个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (6)下列结论中错误的是( ). A. 设lima =a>1,则存在M>1,当n充分大时,有a >M n n n→∞ B. 设a=lima a- n n n→∞ n (7)设x n  与y n  为两个数列,则下列选项中正确的是( ). A. 若x n  与y n  无界,则x n +y n  无界 B. 若x n  与y n  无界,则x n y n  无界 C. 若x n  与y n  中,一个有界,一个无界,则x n y n  无界 D. 若x n  与y n  均为无穷大,则x n y n  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 一定为无穷大 ·第15页，共222页·(8)设数列x n  单调减少,y n  单调增加,且limx n -y n n→∞  =0,则下列选项中正确的是( ). A. limx =0,limy =0 B. limx ,limy 均存在,且limx =limy n n n n n n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ C. limx 存在,limy 不存在 D. limx 与limy 均不存在 n n n n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ (9)设fn  表示方程x1+lnx  =n的正实根,其中x≥1,n为正整数,则下列选项中正确的是( ). A. fn    fn 收敛 B.    n  fn 发散 C.  lnn   n  fn 收敛 D.  lnn   n  发散 (10)设x n  为数列,则下列选项中结论正确的是( ). ①若arctanx n  收敛,则x n  收敛； ②若arctanx n  单调,则x n  收敛； ③若x n ∈-1,1  ,且x n  收敛,则arcsinx n  收敛； ④若x n ∈-1,1  ,且x n  单调,则arcsinx n  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 收敛. A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ ·第16页，共222页·(11)下列选项中极限存在的是( ). 1 sinx A. lim B. lim1+ x→1 1 x→+∞ x 1+21-x  x A. lim n+-1 n→∞  n n+1    1 1 1 B. lim + +⋯+ n→∞ 12 22 n2  1 n (12)设fx  在-∞,+∞  内为连续的奇函数,a为常数,则下列选项中必为偶函数的是( ). x u A.  du tft 0 a  x u dt B.  du ft a 0  x u dt C.  du ft 0 a  x u dt D.  du tft a 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dt ·第17页，共222页·(13)设fx  x+2tx = lim ,则Fx t→+∞1+2tx  x = ft -1  dt在x=0处( ). A. 可导 B. 不连续 C. 不可导但连续 D. 无法判定 (14)设fx  x3-1 =  sinx x1+x2  , x≠0, x∈-∞,+∞ 0, x=0,    ,则( ).    A. fx  在-∞,+∞  内有界 B. 存在X>0,当xX时,fx  无界 C. 存在X>0,当xX时,fx  有界 D. 对任意X>0,当x≤X时,fx  有界,但在-∞,+∞  内无界 二、填空题 cosx-ex2 (1)极限lim x→0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 sinx2 =_____. x2 +1- 1+x2 2 ·第18页，共222页·n (2)设a = 3 n+1 xn-1 1+xndx,则limna =_____. n n 2 0 n→∞ (3)设00;i=1,2,⋯,k i  . 1 (3)(I)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 3x n+1 -x n  n=1,2,⋯  ,求limx ; n n→∞ 1 (II)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 x n +x n+1  ,求limx . n n→∞ (4)设f nx  =1-1-cosx  n n=1,2,⋯  . (I)证明:方程f nx  1 π = 在0, 2 2  内有且仅有一个实根x ; n π (II)设x ∈0, n 2  ,满足f nx n  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 1 1 π π = ,证明:arccos 0,求a,b的值. 1 1 (12)设 0,数列x n  满足x n+1 =lne xn-1  -lnx ,证明:极限limx 存在,并求其值. n n n→∞ (14)求下列极限: (I)当x<1时,求lim1+x n→∞  1+x2  1+x4  ⋯1+x2n  ; x x x (II)当x≠0时,求limcos cos ⋯cos ; n→∞ 2 4 2n 1- sinx (III)lim x→π 2  1- 3sinx  ⋯1- nsinx  1-sinx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . n-1 ·第26页，共222页·(15)求下列极限: ln 1+ fx (I)设lim x→0     sinx  1 = a>0,a≠1 ax-1 2  fx ,求lim x→0  ; x2 (II)设fx  fx 是三次多项式,且有lim x→2a  fx =lim x-2a x→4a  =1a≠0 x-4a  fx ,求lim x→3a  . x-3a π (16)设x ∈0, 1 4  ,数列x n  1 满足x n = 2 x n+1 +tanx n  n=1,2,⋯  . (I)证明limx 存在,并求其值; n n→∞ x (II)求lim n+1 n→∞ x n  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 1 x2 n ·第27页，共222页·拓展题 解答题 (1)设fx  在a,b  上可导,且 f x   <1,当x∈a,b  时,有a0, = x x2⋅φx    其中φx , x≤0,  是有界函数,则fx  在x=0处( ). A. 可导 B. 连续,但不可导 C. 极限存在,但不连续 D. 极限不存在 (2)设f x  fx+aΔx 存在,a,b为任意实数,则lim Δx→0  -fx-bΔx  =( ). Δx A. a+b  f x  B. a-b  f x  C. af x  D. bf x  (3)设fx  f2x-1 为连续函数,且lim x→1  f 1+sint =1,则lim x-1 t→0  2   -f1+sint  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =( ). t 1 A. 0 B. C. 1 D. 2 2 ·第29页，共222页·(4)下列函数中,在x=0处不可导的是( ). A. fx  =xsinx B. fx  =xsin x C. fx  =cosx D. fx  =cos x (5)设f-x  =-fx  ,且在0,+∞  内,f x  >0,f x  >0,则fx  在-∞,0  内必有( ). A. f x  <0,f x  <0 B. f x  <0,f x  >0 C. f x  >0,f x  <0 D. f x  >0,f x  >0 (6)设fx  在-1,1  上二阶可导,且f x  1 >0, fx -1  dx=2,则f0  的取值范围为( ). A. (-∞,0] B. 0,+∞  C. -∞,1  D. 1,+∞  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ·第30页，共222页·(7)设fx  在x=0的某邻域内连续,f0  fx =0,lim x→0  =2,则fx 1-cosx  在x=0处( ). A. 不可导 B. 可导且f 0  ≠0 C. 有极小值 D. 有极大值 (8)y=x-1  2 x-3  2的拐点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (9)设f x 0  =f x 0  =0,f x 0  >0,则下列选项正确的是( ). A. x 0 是fx  的极值点 B. fx 0  是fx  的极大值 C. fx 0  是fx  的极小值 D. x ,fx 0 0    是y=fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的拐点 ·第31页，共222页·(10)设fx  有一阶连续导数,Fx  =fx  1+sinx  ,则f0  =0是Fx  在x=0处可导的( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 (11)设fx  在x=a处连续,则fx  在x=a处可导的一个充分条件是( ). 1 A. limx fa+ x→∞ x  -fa       fa+x3 存在 B. lim x→0  -fa  存在 x2 fa+Δx C. lim Δx→0  -fa-Δx  fa+x3 存在 D. lim 2Δx x→0  -fa  存在 tanx3 (12)设fx  有任意阶导数,且f x  =f2 x  ,则fn  x  =( )n>3  . A. n!fn+1 x  B. nfn+1 x  C. f2n x  D. n!f2n x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ·第32页，共222页·(13)设δ>0,fx  在-δ,δ  内有定义,当x∈-δ,δ  时,有 fx   ≤x2,则x=0是fx  的( ). A. 间断点 B. 连续但不可导点 C. 可导点且f 0  =0 D. 可导点且f 0  ≠0 (14)设fx  连续,且f x 0  >0,则存在δ>0,使得( ). A. 对任意x∈x -δ,x 0 0  ,有fx  >fx 0  B. 对任意x∈x ,x +δ 0 0  ,有fx  >fx 0  C. fx  在x -δ,x 0 0  内单调减少 D. fx  在x ,x +δ 0 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 内单调增加 (15)已知y=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,且与直线y=-3x+3相切于点(1,0),则( ). A. a=1,b=-8,c=6 B. a=-1,b=-8,c=-6 C. a=1,b=8,c=-6 D. a=-1,b=8,c=-6 ·第33页，共222页·1+e-x2 (16)曲线y= 的渐近线条数为( ). 1-e-x2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (17)设fx  为连续函数,且 limex 1+x+fx x→+∞    存在,则曲线y=fx  有斜渐近线( ). A. y=x B. y=-x C. y=x+1 D. y=-x-1 二、填空题 (1)设fx  在x=0处可导,且f 0  =2,f0  f1-cosx =0,则lim x→0  ln1+x2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第34页，共222页·(2)设y=fx  y-x πt 由方程x= sin2 4 1  1 dt确定,则limn f n→∞ n    -1   =_____. (3)设函数fx  sinx fx 有连续导数,且lim + x→0 x2     x  =2,则fx  的一阶麦克劳林展开式为_____. (4)设函数fx  在-∞,+∞  内连续,f x  的图形如图2-1所示,则曲线y=fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的拐点个数为_ ____. ·第35页，共222页·(5)设f 0  存在,f0  1-cosfx =0,且lim 1+ x→0     sinx  1 x =e,则f 0  =_____. (6)当x→0时,ex+ln1-x  -1与xn是同阶无穷小,则n=_____. (7)设fx  x =n2en -1+n  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 x在x=x 处有水平切线,则lime xn=_____. n n→∞ ·第36页，共222页·d (8)设 fx3 dx    1 = ,则f x x  =_____. (9)设fx  =ln 1+x2-x  ,则f5  0  =_____. (10)设lim ax2-x+3-2x x→∞  =b,其中a,b为常数,a>0,则曲线y= ax2-x+3在0,+∞  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 内的斜 渐近线方程为_____. ·第37页，共222页·(11)设fx  =cosx+x2 x在x=0处存在的最高阶导数的阶数为_____. (12)设函数y=yx  dy 二阶可导, =3-y dx  yb b>0  ,若曲线y=yx  有一个拐点为(a,2),则b=_ ____. (13)设fx  在-∞,+∞  内有定义,且对任意的x,y,有fx+y  -fx  = fx   -1  y+αy  ,其中 αy lim y→0  =0,且f0 y  =2,则fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第38页，共222页·(14)设函数y=yx  x x2+y2 π 由方程arctan =ln + x>0,y>0 y 2 4  确定,则yx  的极大值为___ __. 三、解答题 (1)计算下列函数的导数: (I)y= 1 ; (II)y=xaa +axa +aax a>0 3x⋅ 3x  ; (II)y=2sinx; (IV)y=lntanx+secx. (2)求下列函数的导数: (I)y=1+x2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 sinx 1 ; (II)y=ln . x+ x2+1 ·第39页，共222页·(3)求下列函数的微分: 1 (I)设y=φarctan x  ,其中φ可导,求dy; (II)设y=yx  由方程e x+y -ysinx=0确定,求dy. (4)设y=yx  arctan y d2y 由方程 x2+y2=e x 确定,求 . dx2 (5)设fx  1 xksin , x≠0, = x 问: 0, x=0. (I)当k为何值时,fx  在x=0处不可导? (II)当k为何值时,fx  在x=0处可导,但导函数不连续? (III)当k为何值时,fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在x=0处的导函数连续? ·第40页，共222页·(6)设fx  在0,+∞  内满足fxy  =fx  +fy  ,且f 1  =1,证明:fx  在0,+∞  内可导,并求 fx  . (7)设fx  -1 =   e x2, x≠0, 求fn 0, x=0,  0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . (8)设气体以100cm3/s的速率注入球状气球,求当半径为10cm时,气球半径增加的速率.(设气体压力 不变) ·第41页，共222页·(9)一动点P在曲线9y=4x2上运动,已知点P的横坐标变化速率为30cm/s,问:当点P经过点(3,4) 时,从原点到点P的距离S的变化率是多少?(设坐标轴的单位长度为1cm) (10)设fx  二阶可导,f0  =0,f 0  =1,f 0  fx =2,求lim x→0  -x . x2 (11)设函数fx  xfx 在x=0处连续,且lim x→0  -1+x  2x +1 =1.证明:fx x2  在x=0处可导,并求 f 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第42页，共222页·(12)设fx  在a,b  上连续,在(a,b)内可导,01. ·第44页，共222页·(18)设fx  在0,1  上连续,在(0,1)内可导,且f0  =0,f1  =1.证明: (I)存在x 0 ∈0,1  ,使得fx 0  =21-x 0  ; (II)存在两点ξ,η∈0,1  ,且ξ≠η,使得f ξ  1+f η    =2. (19)设fx  在0,1  x +x 上连续,在(0,1)内可导,已知在(0,1)内,对任意x ; 2 π (II)当eba； (III)当x>0时,有x2-1  lnx≥x-1  2 ; fx (IV)若lim x→0  =1,且f x x  >0,则有fx  ≥x. 1 (25)设x>0,证明:1+ 2x  1 1+ x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 >e. ·第48页，共222页·(26)求函数y=x-1  π+arctanx e2 的单调区间和极值,并求其渐近线. (27)设fx  x2x, x>0, = 求fx x+2, x≤0,  的单调区间和极值. 1 (28)求曲线y= 4x2+xln2+ x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的全部渐近线. ·第49页，共222页·x π (29)证明:方程lnx= - 1-cos2xdx在0,+∞ e 0  内有且仅有两个不同实根. (30)讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x交点的个数. 综合题 一、选择题 (1)设fx  在1-δ,1+δ  δ>0  内存在导数,f x  严格单调减少,且f1  =f 1  =1,则( ). A. 在1-δ,1  和1,1+δ  内,均有fx  x C. 在1-δ,1  内,fx  x D. 在1-δ,1  内,fx  >x;在1,1+δ  内,fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 xfa  B. bfx  >xfb  C. xfx  >bfb  D. xfx  >afa  (3)设fx  在a,b  上可导,fx  在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值,则( ). A. f + ′ a  <0且f - ′ b  <0 B. f + ′ a  >0且f - ′ b  <0 C. f + ′ a  ≥0且f - ′ b  ≥0 D. f + ′ a  <0且f - ′ b  >0 (4)设fx  在x=0的某邻域内有定义,则Fx  =fx  sinx在x=0处可导的充分必要条件是( ). A. limfx x→0  存在 B. limfx x→0  =f0  C. fx  在x=0处可导 D. limfx x→0-  和limfx x→0+  均存在,且limfx x→0-  =-limfx x→0+  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ·第51页，共222页·(5)设fx  在-∞,+∞  内是连续的奇函数,Fx  x = ft 0  dt,则下列选项中正确的是( ). A. Fx  是不可导的奇函数 B. Fx  是可导的偶函数 C. Fx  是不可导的偶函数 D. Fx  是可导的奇函数 (6)设fx  fx 在(-1,1)内可导,且lim x→0  =1,则( ). x2 f x A. lim x→0  f x 存在 B. lim x x→0  不存在 x C. f 0  =0,f 0  =2 D. f0  是fx  的极小值 (7)设y=fx  在x 的某邻域内有四阶连续导数,且f x 0 0  =f x 0  =f x 0  =0,f4  x 0  <0,则( ). A. fx  在x 0 处取得极小值 B. fx  在x 处取得极大值 0 C. x ,fx 0 0    是y=fx  的拐点 D. fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在x 的某邻域内单调减少 0 ·第52页，共222页·(8)设fx  在a,b  上可导,fx  在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值.Fx  x = ft 0  dt,x∈ a,b  ,则( ). A. F + ′′ a  >0且F - ′′ b  <0 B. F + ′′ a  ≥0且F - ′′ b  ≥0 C. F + ′′ a  <0且F - ′′ b  <0 D. F + ′′ a  <0且F - ′′ b  >0 (9)设fx  fx 在x 的某邻域内连续,且lim 0 x→x0  -fx 0  x-x 0  =1,则( ). n A. 当n为奇数时,x 0 是fx  的极大值点 B. 当n为奇数时,x 0 是fx  的极小值点 C. 当n为偶数时,x 0 是fx  的极小值点 D. 当n为偶数时,x 0 是fx  的极大值点 (10)设fx  在-∞,+∞  内可导,则下列命题中正确的是( ). A. 若 lim fx x→-∞  =-∞,则必有 lim f x x→-∞  =-∞ B. 若 lim f x x→-∞  =-∞,则必有 lim fx x→-∞  =-∞ C. 若 lim fx x→+∞  =+∞,则必有 lim f x x→+∞  =+∞ D. 若 lim f x x→+∞  =+∞,则必有 lim fx x→+∞  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =+∞ ·第53页，共222页·x (11)设k>0,则方程lnx- +k=0在0,+∞ e  内的不同实根的个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 (12)设当x≠0时,方程kx+ =1有且仅有一个实根,则( ). x2 2 2 2 2 A. k> 3 B. k< 3 C. k= 3 D. k=- 3 9 9 9 9 (13)设可导函数fx  x∈0,1    满足f x  1 ≥M>0,且f 2  ≥0,则在区间( )上,有fx  1 ≥ M. 4 A.  0, 1  4  B.   1 , 1  4 2  C.   1 , 3  2 4  D.   3 ,1  4  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ·第54页，共222页·(14)设f x  在0,4  上连续,曲线y=f x  与x=0,y=0,x=4围成如图2-2所示的三个区域,其 面积S ,S ,S 满足S >S >S ,则下列选项中正确的是( ). 1 2 3 2 1 3 A. f1  >f3  >f4  B. f4  >f3  >f1  C. f3  >f4  >f1  D. f4  >f1  >f3  (15)设fx  在0,1  上二阶可导,且f x  >0,f0  =f1  .当x∈0,1  时,下列选项中结论正确的 是( ). ①1-x  fx  -f0    x f1  -fx    ； ③x fx  -f0    <1-x  f1  -fx    ; ④x fx  -f0    >1-x  f1  -fx    . A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ (16)设在[0,+∞)上的可导函数y=fx  满足y-px  y>0,且f0  ≥0,其中px  在[0,+∞)上 为正值连续函数.当01, β α<0,β>0 0, x≤1    ,若f x  在x=1处连续,则( ). A. α<-1且α+β<-1 B. α<-1且α+β≤-1 C. α≤-1且α+β<-1 D. α≤-1且α+β≤-1 二、填空题 (1)设函数fx  π = tan x 4    -1   π tan x2 4    -2   π ⋯ tan x100 4    -100   ,则f 1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第56页，共222页·(2)设fx  =3x2+kx-3,若对任意x∈0,+∞  ,都有fx  ≥20,则k至少为_____. (3)已知fx  在-∞,+∞  内可导,且limf x x→∞  x+k =e, lim x→∞ x-k  x =lim fx x→∞  -fx-1    ,则k=___ __. (4)设y=fx  在-∞,∞  内连续,且其导函数f x  的图形如图2-3所示,其中x=0和x=x 是 5 f x  的铅直渐近线,则y=fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的极值点个数为_____,拐点个数为_____. ·第57页，共222页·(5)设fx  在x=x 处可导,且fx 0 0  fx +1 ≠0,则lim 0 x x→∞  fx 0       x =_____. (6)设y=fx  在x 处有三阶连续导数,f x 0 0  =1,f x 0  =2,f x 0  =3,y=fx  有反函数x= gy  ,且y =fx 0 0  ,则g y 0  =_____. (7)设fx  为-1,+∞  内的连续函数,fx  x = e -ft 0   dt,若gx  =xfx+1  ,则gn  0  n>2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_ ____. ·第58页，共222页·三、解答题 (1)已知fx  是周期为5的连续函数,fx  在x=1的某邻域内满足f1+sinx  -3f1-sinx  =8x+ αx  ,其中αx  是当x→0时比x高阶的无穷小,且fx  在x=1处可导,求曲线y=fx  .在点 6,f6    处的切线方程. (2)设fx  在0,1  fx 上二阶可导,且lim x→0+  fx =lim x x→1-  =1,证明: x-1 (I)至少存在一点ξ∈0,1  ,使得fξ  =0； (II)至少存在一点η∈0,1  ,使得f η  =fη  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第59页，共222页·(3)设fx  与gx  在a,b  上连续,在(a,b)内可导,且fa  =gb  =0,证明:至少存在一点ξ∈ a,b  ,使得f ξ  b  gt ξ  dt+g ξ  ξ  ft a  dt=0. (4)在x=0的右邻域内,用多项式e+ax+bx2近似表示函数fx  =1+x  1 x,使其误差是比x2高阶 的无穷小x→0+  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ,求a,b的值. ·第60页，共222页·(5)设fx  在a,b  上可导,证明: (I)若f + ′ a  f - ′ b  <0,则存在ξ∈a,b  ,使得f ξ  =0; (II)若f + ′ a  ≠f - ′ b  ,则对介于f + ′ a  和f - ′ b  之间的每个实数μ,都存在ξ∈a,b  ,使得f ξ  =μ. (6)设函数fx  在区间a,b  上有二阶导数,且fa  =fb  =0,f + ′ a  f - ′ b  >0.证明:在(a,b)内存 在两点ξ和η,使得fξ  =0,f η  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =0. ·第61页，共222页·(7)设fx  在[0,+∞)上有二阶导数,f0  =0,f + ′ 0  <0,f x  ≥M>0x>0  .证明:fx  =0在 0,+∞  内有唯一实根. (8)设fx  在0,1  上连续,在(0,1)内可导,fx  fx+1 ≠0,且lim x→0-  存在,证明: x (I)存在ξ∈0,1  1-e ,使得 1 e ft 0  1 =- dt eξfξ  ; (II)存在η∈0,1  1 ,使得e ft 0  dt=e-1  eξ ξ-1  f η  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第62页，共222页·(9)设fx  在0,1  上具有二阶导数,且 fx   ≤a, f x   ≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内 任一点. (I)试写出fx  在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式； (II)证明: f c  b  ≤2a+ . 2 (10)证明下列结论: (I)设fx  = x dt + 1 x dt x>0 0 1+t2 0 1+t2  ,则fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 π = ; 2 1 2x π (II)当x≥1时,arctanx- arccos = . 2 1+x2 4 ·第63页，共222页·(11)设函数fx  有二阶连续导数,且x-1  f x  =1-e1-x+2x-1  f x  ,证明:当x=x 0 是fx  的极值点时,fx  在x 处取得极小值. 0 (12)设fx  =nx1-x  n n为正整数  ,求fx  在0,1  上的最大值Mn  和limMn n→∞  . (13)设fx  =arctanx,求fn  0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第64页，共222页·(14)已知fx  可导,证明:曲线y=fx  fx   >0  与曲线y=fx  sinx在交点处相切. (15)设fx  有二阶连续导数,f0  =f 0  =0,f 0  >0,u=ux  是曲线y=fx  在点 x,fx    处 x 的切线在x轴上的截距,求lim x→0 ux  . (16)设fx  在x 0 的某邻域内有定义,证明:fx  在x 处可导的充分必要条件是存在x=x 处连续的 0 0 函数gx  ,使得fx  -fx 0  =x-x 0  gx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第65页，共222页·(17)设fx  在区间(a,b)内可导,f x  在(a,b)内严格单调增加,对任意的x 1 ,x 2 ∈a,b  ,且x ≠x , 1 2 证明:f λx 1 +1-λ   x 2  <λfx 1  +1-λ  fx 2  ,其中0<λ<1. (18)设函数fx  1 x fx 1 1 在区间(a,b)内可导,行列式A=  1 x fx 2 2  1 x fx 3 3    .证明:导函数f x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在(a,b)内严 格单调增加的充分必要条件是对(a,b)内任意的x 1 0. ·第66页，共222页·(19)设fx  在a,b  上二阶可导, f x   ≤k<1,f x 0  =0,f x 0  ≠0,x 0 ∈a,b  ,且满足fx 0  = x 0 .∀x 1 ∈a,b  ,x n+1 =fx n  n=1,2,⋯  . (I)证明:limx 存在,且limx =x ; n n 0 n→∞ n→∞ x -x (II)求极限lim n+1 0 n→∞ x n -x 0  . 2 (20)设fx  在0,1  上连续,在(0,1)内可导,且f0  =0,f1  =1.证明: (I)存在ξ 与ξ 满足0<ξ <ξ <1,使得f ξ 1 2 1 2 1  +f ξ 2  =2. (II)在(0,1)内存在ξ与η,使得ηf ξ  =fη  f η  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第67页，共222页·拓展题 解答题 (1)已知函数fx  在[0,+∞)上有二阶连续导数,f0  =f 0  =0,且x∈[0,+∞),有f x  >0,设 Fx  是曲线y=fx  上任一点 x,fx    处的切线在x轴上的截距x>0  ,求lim Fx x→0+  +F x    . (2)设fx  在a,b  上有二阶连续导数,且fa  =fb  =0,M=max f x a≤x≤b   .证明: (I)max fx a≤x≤b  1  ≤ Mb-a 8  2； (II)max f x a≤x≤b  1  ≤ Mb-a 2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第68页，共222页·(3)设fx  在a,b  上有连续的导数,且f x  >0,假设f fx    存在,证明:存在ξ∈a,b  ,使得 f fb    -f fa    = f ξ    2 b-a  . (4)设fx  在a,b  上有二阶连续导数, f x   ≥1,记Fx  1 1 1 = a b x fa  fb  fx    , x∈a,b  ,以及 Fx 0   = max x∈a,b  Fx   , x 0 ∈a,b  .证明: Fx 0  b-a  ≥  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 3 . 8 ·第69页，共222页·(5)设不恒为零的函数fx  在0,1  上有二阶连续导数,且f0  =f1  =0,记M= max fx x∈{0,1}     , f x   ≥​​M.证明: (I)至少存在一点ξ∈0,1  ,使得 f ξ   ≥2M； (II) f 0   + f 1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  ≥M. ·第70页，共222页·第三章一元函数积分学及其应用 基础题 一、选择题 (1)设fx  是连续函数,且fx  ≠0,若xfx  dx dx=arcsinx+C,则 fx  =( ). 1 A. 1-x2 3  3 2 2 +C B. 1-x2 3  3 1 2 +C C. - 1-x2 3  3 2 2 +C D. - 1-x2 3  3 2 +C (2)设fx  是连续函数,Fx  是fx  的原函数,则( ). A. 当fx  为奇函数时,Fx  必为偶函数 B. 当fx  为偶函数时,Fx  必为奇函数 C. 当fx  为周期函数时,Fx  必为周期函数 D. 当fx  为单调函数时,Fx  必为单调函数 (3)设Fx  是sinx2的一个原函数,则d Fx2    =( ). A. sinx4dx B. sinx2dx2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 C. 2xsinx2dx D. 2xsinx4dx ·第71页，共222页·(4)设fx  sinx, 0≤x<π, = Fx 2, π≤x≤2π,  x = ft 0    dt,则( ). A. x=π是Fx  的跳跃间断点 B. x=π是Fx  的可去间断点 C. Fx  在x=π处连续但不可导 D. Fx  在x=π处可导 (5)fx  x2+1, x≤0, = 的一个原函数为( ). cosx, x>0 A. Fx  1  x3+x, x≤0 = 3 B. Fx sinx+1, x>0  1  x3+x+1, x≤0 = 3 sinx+2, x>0 C. Fx  1  x3+x+1, x≤0 = 3 D. Fx sinx, x>0  1  x3+x, x≤0 = 3 sinx, x>0 (6)设fx  在0,1  上连续,fx  >0,f x  <0,f x  1 >0,记M= fx 0  dx,N=f1  ,P= 1 f0 2  +f1    公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ,则( ). A. M ufx 0  dx u C. 当00  ,则( ). A. a=e-1,b=e B. a=b=2e-1  C. a=e,b=e-1 D. a=b=2e-1 二、填空题 (1)设Fx  是fx  π 的一个原函数,F 4  π π =0,当 0,Fx  fx  lntanx =  ,则 sinxcosx fx  =_____. (2)设对任意x,有fx+4  =fx  ,且f x  =1+x,x∈-2,2  ,f0  =1,则f9  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第74页，共222页·(3)设fx  在a,b  上连续,若x 0 ∈a,b  ,x∈a,b  1 x ,则极限lim ft+Δx Δx→0Δx x0  -ft     dt=_____. (4)fx  =max1,x2   在-∞,+∞  内满足F0  =1的一个原函数为_____. (5)设Fx  x = tfx2-t2 0  dt,fx  在x=0某邻域内可导,且f0  =0,f 0  Fx =1,则lim x→0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =___ x4 __. ·第75页，共222页·(6)设fx  在[0,+∞)上可导,f0  =0,y=fx  的反函数为gx  x+fx ,若   gt-x x  dt=x2ln1+x  , 则f1  =_____. x u2  arctan1+t 0 0 (7)极限lim x→0    dt     du x1-cosx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. x  sintdt (8)极限 lim 0 =_____. x→+∞ x ·第76页，共222页·(9)函数y= x2 在  1 , 3 1-x2  2 2  上的平均值为_____. (10)设fx  a-x = e t2a-t 0   dta>0  ,x∈0,a  ,则曲线y=fx  与两坐标轴所围成图形的面积为___ __. x (11)曲线y= 绕x轴旋转一周得到一个旋转体,将它在x=0与x=ξξ>0 1+x2  之间部分的体积记 为Vξ  ,且Va  1 = limVξ 2 ξ→+∞  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ,则a=_____. ·第77页，共222页·(12)设D是由曲线y=sinx+1与直线x=0,x=π,y=0所围的平面图形,则D绕x轴旋转一周所得 旋转体的体积V=_____. n-x (13)设n为正数,lim x→0 n+x  2 +∞ x = xe-4xdx,则n=_____. 1 n 三、解答题 (1)求下列积分: 2x⋅3x dx (I) dx; (II) 9x-4x x2 1-x4  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ; ·第78页，共222页·dx (III) x4 1+x2  arctanx ; (IV) x2 1+x2  dx; x+ln1-x (V)  dx. x2 (2)求下列积分: dx (I) x1+ x  xex ; (II) dx; ex-1 x3 dx (III) dx; (IV) 1+x2 2x2+1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ; 1+x2 ·第79页，共222页·arctan x-1 x (V) dx; (VI) dx. x x-1 1-x x (3)求下列积分: dx dx (I) ； (II) ; sin2xcos4x 1+sinx sinx 3sinx+cosx (III) dx; (IV) dx; sinx+cosx sinx+2cosx dx dx (V) ; (VI) a2+b2>0 sin2x+2sinx a2sin2x+b2cos2x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第80页，共222页·(4)求下列积分: lnx (I)arctan xdx; (II) 1-x  dx; 2 x2ex (III) x+2  dx; (IV)sinlnx 2  dx; 1 1-x (V) dx; (VI)e2x 1+tanx x2 1+x  2 dx. (5)求下列积分: π (I) 4 x2ln 1+x -cosx -π 1-x 4  1  dx; (II) 2+sinx -1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  1-x2dx; ·第81页，共222页·2 (III) x+x -2   e -xdx; (IV) 1 2x2+xex+e-x -1   dx. 1+ 1-x2 (6)求下列积分: 2 (I) x-1 0  π  2 2x-x2dx; (II) e-cosx-ecosx 0   dx. (7)求下列积分: 2 (I) min2,x2  -3  x dx; (II) 1-t -1   dtx≥-1  ; 1 (III) x-yexdxy≤1 -1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 π ; (IV) 1-sinxdx. 0 ·第82页，共222页·(8)求下列积分: π (I) 2 x+sin2x -π 2  1  cos2xdx; (II) x1-x4 0  3 2dx; π 1 (III) tsintdt; (IV) 2x-x2+ 1-x2 0 0  3    dx. (9)设fx  在0,π  上有二阶连续导数,f0  =2,fπ  π =1,计算I= fx 0  +f x    公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  sinxdx. ·第83页，共222页·(10)求下列积分: (I) +∞ dx ; (II) 3 2 dx . 1 ex+1+e3-x 1 2 x-x2  (11)设fx  π =2 x-tsintdt,x∈-∞,+∞ 0  ,求fx  的单调区间与极值. (12)设fx  在0,a  上有二阶导数a>0  ,且fx  >0,f x  a >0,证明: fx 0  a dx>af 2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第84页，共222页·(13)设fx  在a,b  b 上连续且单调增加,证明: xfx a  a+b b dx≥  fx 2 a  dx. (14)设fx  在a,b  上连续,且y=fx  a+b 的图形关于直线x= 对称,证明: 2 b  xfx a  a+b b dx=  fx 2 a  dx (15)设fx  在[0,+∞)上连续,且单调增加,证明:当00  1 ,梯形OABC的面积为S,曲边梯形OABC的面积为S ,其曲边由y= +x2 1 2 S 3 确定,证明: < . S 2 1 π (18)设曲线y=sinx0≤x≤ 2  ,直线y=k0≤k≤1  π 与x=0所围的面积为S ,y=sinx0≤x≤ 1 2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 , π y=k与x= 所围的面积为S ,求S=S +S 的最小值. 2 2 1 2 ·第86页，共222页·π (19)设曲线y=sinx0≤x≤ 2  ,y=1及x=0所围的平面图形为D 1 ,y=sinx0≤x≤π  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 及y=0所围 的平面图形为D .求: 2 π (I)D 绕直线x= 旋转一周所得的体积V; 1 2 1 (II)D 绕y轴旋转一周所得的体积V. 2 2 (20)设立体图形的底是介于y=x2-1和y=0之间的平面区域,而它的垂直于x轴的任一截面是等 边三角形,求立体体积V. ·第87页，共222页·综合题 一、选择题 (1)设在(-1,1)内fx  是奇函数,Fx  是fx  在(-1,1)内的一个原函数,则在(-1,1)内fx  + Fx  ( ). A. 是可导的偶函数 B. 是连续的奇函数 C. 存在原函数 D. 存在原函数且原函数为奇函数 (2)设Fx  x+2π = esint⋅sintdt,则下列选项中正确的是( ). x A. Fx  为正的常数 B. Fx  为负的常数 C. Fx  不是常数 D. Fx  恒为零 (3)设δ>0,在-δ,δ  内有 fx   ≤x2,f x  δ >0,I= fx -δ  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx,则( ). A. I=0 B. I>0 C. I<0 D. 不能确定 ·第88页，共222页·π (4)设I 1 =2 sinsinx 0  π dx,I 2 =2 cossinx 0  dx,则( ). A. I <1I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I 2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1 (6)设fx  在0,1  上可导,fx  >0,f x  <0,Fx  x = ft 0  dt,则在x∈0,1  内,有( ). A. xF1  1 >2 Fx 0  dx B. F1  1 >2 Fx 0  dx C. Fx  1 <2 Fx 0  dx D. Fx  1 >2 Fx 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx ·第89页，共222页·(7)设函数fx  在0,a  a>0  上有二阶连续导数,且f0  =0,f x  >0,则下列选项中正确的是(). a A. 3 xfx 0  a dx<2 afx 0  a dx B. 3 xfx 0  a dx>2 afx 0  dx a C. 2 xfx 0  a dx>3 afx 0  a dx D. 2 xfx 0  a dx<3 afx 0  dx 1 (8)设I 1 = ln1+x 0  1arctanx 1 dx,I 2 = 1+x dx,I 3 = ln1+x 0 0   dx,则( ). A. I >I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I 3 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 (9)设fx  二阶可导,则下列选项中结论正确的是( ). ①当f x  π <0时, fx -π  sinxdx<0; ②当f x  π <0时, fx -π  sinxdx>0; ③当f x  π >0时, fx -π  cosxdx>0; ④当f x  π >0时, fx -π  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 cosxdx<0. A. ②③ B. ①② C. ②④ D. ①④ ·第90页，共222页·+∞ -cos1 (10)设反常积分 xke x -e-1 1  dx收敛,则下列选项中正确的是( ). A. k>-1 B. k<-1 C. k>1 D. k<1 (11)设连续函数fx  满足fx  =f2a-x  a≠0  b ,b为常数,则I= fa-x -b  dx=( ). b A. 2 f2a-x 0  b dx B. 2 f2a-x -b  b dx C. 2 fa-x 0  dx D. 0 (12)设φx  x2 x =  ft x-1 1  dt,fx  为连续函数,则limφx x→1  =( ). A. 1 B. f1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 C. 0 D. 不存在 ·第91页，共222页·(13)设fx  有连续导数,f0  =0,f 0  =6,αx  x3 = ft 0  dt,βx  x =  ft 0    dt   3 ,则当x→0时,αx  与βx  是( ). A. 同阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小 (14)下列积分存在且不为零的是( ). 1 1 A. 0 4x-1   dx B.  +∞ x dx C.  1 xln 2+x dx D.  π 2 ex2 sinxdx 3 -∞ 1+x2 -1 2-x -π 2 +∞ln1+x (15)设反常积分 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  dx收敛,则( ). p x A. 01 ·第92页，共222页·+∞ dx (16)设积分I= p>0,q>0 p q 1 x ln x  收敛,则( ). A. p>1且q<1 B. p>1且q>1 C. p<1且q<1 D. p<1且q>1 +∞x 1-p arctanx (17)设积分 dxp>0 p 0 2+x  收敛,则p的取值范围为( ). A. 11,I=ln2 C. a=1,I=ln2 D. a<1,I=ln4 ·第93页，共222页·二、填空题 (1)由曲线y=xx-1  2-x  与x轴围成的平面图形的面积A=_____. (2)设f2  1 = ,f 2 2  2 =0,且 fx 0  1 dx=1,则I= x2f 2x 0  dx=_____. (3)设fx  x π = ecostdt,则I= fx 0 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 cosxdx=_____. ·第94页，共222页·+∞sinx π +∞sin2x (4)设 dx= ,则I= dx=_____. 0 x 2 0 x2 +∞ 1 x+1 (5)反常积分I= ln dx=_____. 1 x x +∞ xlnx (6) 0 1+x2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  dx=_____. 2 ·第95页，共222页·n 1 n+2k (7)lim ln =_____. n→∞ n 3n-2k k=1 (8)已知曲线y=yx  1 上任一点(x,y)处的切线斜率为 ,且曲线通过点(-2,0),则该曲线方 x x2-1 程为y=_____. 三、解答题 (1)求下列积分: (I)设fx  x dt 1 = ,求I= x2fx 1 1+t4 0  dx; (II)设fx  x2 1 = e-t2 dt,求I= xfx 1 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx. ·第96页，共222页·(2)设fsin2x  x x = ,求I= fx sinx 1-x  dx. xcos3x-sinx (3)计算积分I=esinx⋅ dx. cos2x e-sinx⋅sin2x (4)计算积分I= sin4  π - x 4 2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx. ·第97页，共222页·(5)设flnx  ln1+x =  ,求I=fx x  dx. (6)设f x  =arctanx-1  2 ,f0  1 =0,求I= fx 0  dx. (7)设fx  为连续的非负函数,且满足fx  x  fx-t 0  π dt=cos4x+x-1,求2 fx 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx. ·第98页，共222页·2 1 x 4-x2u2du-2x 2 (8)求极限lim 0 . x→0 1+2x3-1 (9)设fx  fx 连续,lim x→0  x  fx =2,求lim 0 x x→0  fx-t  dt x  tfx-t 0  . dt (10)已知 +∞ e-t2 dt= π ,求曲线y=5x+9 2 0  -x  e-t2 dt+7x-3 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 x  e-t2 dt的斜渐近线方程. 0 ·第99页，共222页·(11)设fx  x 在(-∞,0]上连续,且满足 tft2-x2 0  x2 1 dt= - ln1+x2 1+x2 2  ,求函数fx  及其极值. 2x  1- t sintdt x (12)求极限lim 0 . x→0 x2 (13)设fx  在1,2  x 上可导,且 tf2x-t 0  1 dt= arctanx2,f1 2  1 = ,证明:至少存在一点ξ∈1,2 2  , 使得f ξ  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =0. ·第100页，共222页·(14)设fx  x2 x 满足e-x- =1+ ft-x 2 0  dt,求fx  在-∞,+∞  内的最值. 1 xn (15)证明:lim dx=0. n→∞ 0 1+x 1 2 n  2n 2n 2n (16)求极限lim + +⋯+  n→∞  n+1 n+1 n+1 2 n  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第101页，共222页·1 (17)求极限lim nnn+1 n→∞n  n+2  ⋯2n-1  . +∞ (18)设 fx 0  dx收敛,且fx  1 e-x +∞ = -  fx 1+x2 1+ex 0  +∞ dx,求 fx 0  dx. π (19)设a =4 tannxdx,证明: 1 n 0 2n+1  1 0 n  的递推关系； 3x+4 (II)计算I= x2+2x+2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx. 2 ·第103页，共222页·(22)证明:fx  x = t-t2 0   sin2ntdtx>0  的最大值为f1  ,且f1  1 ≤ 2n+2  2n+3  . (23)设fx  在a,b  上有二阶连续导数,且fb  =f b  =0,证明: b  fx a  1 b dx=  f x 2 a  x-a  2 dx. (24)设fx  在a,b  上二阶可导,且f x  a+b >0,证明:f 2  1 b <  fx b-a a  fa dx<  +fb  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . 2 ·第104页，共222页·(25)(I)设fx  与gx  均在a,b  b 上连续,证明:  fx a  gx    dx   2 b ≤ f2 x a  b dx g2 x a  dx; (II)设fx  在a,b  上有连续导数,且fa  =fb  b =0,证明: f2 x a  b-a dx≤  2 b  f′2 x 8 a  dx. (26)设fx  在a,b  aga  , fb  >gb  b , fx a  b dx= gx a  dx.证明: 至少存在一点ξ∈a,b  ,使得f ξ  >g ξ  . (28)设fx  在-a,a  a>0  内连续,且f 0  =A≠0.证明: (I)对x∈0,a  ,存在θ∈0,1  x ,使得 ft 0  -x dt+ ft 0  dt=x fθx  -f-θx    公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ; 1 (II)limθ= . x→0+ 2 ·第106页，共222页·(29)设y=fx  在0,1  上是非负连续函数. (I)证明:存在x 0 ∈0,1  ,使得在0,x 0  上以fx 0  为高的矩形面积等于在x ,1 0  上以y=fx  为曲 边的曲边梯形面积; (II)又设fx  在(0,1)内可导,且f x  2fx >-  ,证明:(I)中的x 是唯一的. x 0 (30)设曲线y=fx  上任一点 x,fx    处的切线斜率为a2x2-4ax+3,且y=fx  在x=1处取得 极小值0. (I)求fx  及fx  的其他极值; 1 (II)证明:0≤ fut 0  2  dt≤ ,u∈0,1 3u  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第107页，共222页·(31)设fx  在-∞,+∞  内连续,且满足fx+T  =fx  ,T>0,f-x  =fx  . nT (I)证明: xfx 0  n2T T dx=  fx 2 0  dx(n为正整数); nπ (II)计算I= xcosxdx. 0 (32)设fx  在-∞,+∞  1 a 内有连续导数,证明:lim ft+a a→0+4a2 -a  -ft-a     dt=f 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第108页，共222页·(33)设曲线y=a xa>0  与y=ln x在点x ,y 0 0  处有公切线.求: (I)常数a及点x ,y 0 0  ； (II)两曲线与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. (34)设fx  在a,b  上可导,fa  >0,f x  >0,S 1x  与S 2x  为如图3-1所示阴影部分的面积,证 明:存在唯一的ξ,使得 S 1ξ  S 2ξ  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =k(k为正的常数). ·第109页，共222页·(35)设y=yx  2 由4y= x 12-x2u2dux≥0 0  3 所确定,求y,并计算I= 1+y′2dx. 0 (36)设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x确定,求图形D绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积. (37)求曲线y=e-x sinxx≥0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 绕x轴旋转所得旋转体的体积. ·第110页，共222页·(38)设fx  =xn 1-x2 x∈0,1    与y=0所围平面区域的面积为S n ,gx  =sin n 2x x∈ 0, π  2    与y =0所围平面区域绕x轴旋转一周所得的体积为V nn=1,2,⋯  πS ,求极限lim n . n→∞ V n (39)设曲线y=sinx在x∈0,nπ  n=1,2,⋯  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 上与x轴所围成的区域为D,D绕y轴旋转一周所得旋 转体的体积为a .求: n (I)a ; n n 2kπ2 kπ (II)极限lim sin . n→∞ k=1 a n 2n ·第111页，共222页·(40)求曲线y=3-x2-1与x轴所围封闭图形绕直线y=3旋转一周得到的旋转体的体积. 1 (41)设D是位于曲线y= xlnx  α>0,2≤x<+∞ α+1  下方及x轴上方的无界区域.求: (I)D的面积Sα  ; (II)Sα  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的最小值. ·第112页，共222页·(42)设fx  在[0,+∞)上连续且单调减少,fx  n ≥0,a n = fk k=1  n - fx 1  dxn=1,2,⋯  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ,证明: lima 存在. n n→∞ 1 π b (43)设a = xn 1-x2dx,b =2 sinnxcosnxdx,求lim n . n n 0 0 n→∞a n ·第113页，共222页·(44)设fx  在a,b  上连续,在(a,b)内可导,f x  >0,证明:存在唯一的ξ∈a,b  ,使得y=fx  与 两直线y=fξ  ,x=a所围图形的面积S 1 ,以及y=fx  与两直线y=fξ  ,x=b所围图形的面积S , 2 满足S =3S . 1 2 (45)设非负函数fx  在区间0,1  上有连续的二阶导数,且f0  =1,f x  <0,证明: (I)当x∈0,1  x 时,有 ft 0  1 dt≥ xfx 2   +x  ; 1 2 (II)  -x 3 0   fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 1 dx≥ . 6 ·第114页，共222页·拓展题 解答题 (1)设y=fx  在[0,+∞)上非负连续,并有曲边梯形Dt  = x,y  ∣0≤x≤t,0≤y≤fx    ,Dt  所 围图形的面积St  =tet,Dt  绕直线x=t旋转一周所得旋转体的体积为Vt  ,求Vt  的表达式. (2)设曲线族y=kx2 k>0  4 π ,对于每个k≥ ,曲线y=kx2与曲线y=sinx0a  上有连续的二阶导数,且f a  =f b  .证明:存在一点ξ∈a,b  ,使得 b  fx a  1 dx= b-a 2  fa  +fb    b-a +  3 f ξ 24  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第117页，共222页·(7)设fx  有连续的二阶导数,f0  =f1  =1,M= max x∈0,1  f x     . (I)证明:当x∈0,1  时,有 f x  1  ≤ M; 2 1 (II)在第(I)问的基础上,证明:  fx 0  M  dx≤1+ . 8 (8)设fx  在[0,+∞)上有连续的二阶导数,且 f x   ≤1. 1 (I)证明:  fx 0  1 dx-f 2  1  ≤ ; 24 (II)若对任意的x∈[0,+∞),有fx  =fx+1  n ,n为正整数.证明:  fx 0  1  dx≤n + f0 6        公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第118页，共222页·(9)设fx  在0,1  上有连续的导数,f0  =0,f1  1 =1,证明:limn  fx n→∞ 0  n 1 k dx-  f n n k=1       1 =- . 2 (10)设fx  在0,1  上有连续的二阶导数,fx  不恒为零,且f0  =f1  =0, fx   在x=x 0 处取得 最大值,x 0 ∈0,1  .证明: (I)至少存在点ξ ∈0,x 1 0  ,ξ ∈x ,1 2 0  ,使得f ξ 2  -f ξ 1  1 = f ξ x 2 0  ; 1 (II) f x 0    dx≥4 fx 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  . ·第119页，共222页·(11)设fx  在a,b  上有连续的二阶导数,且M= max x∈a,b  f x     .证明: b (I)  fx a  dx-b-a  a+b f 2  b-a  ≤  3 M; 24 (II)存在一点ξ∈a,b  b ,使得 fx a  dx=b-a  a+b f 2  b-a +  3 f ξ 24  . (12)设fx  在-1,1  上有连续的二阶导数,证明: (I)存在一点ξ∈-1,1  1 ,使得 xfx -1  1 dx= 2f ξ 3  +ξf ξ    ; (II)若fx  在(-1,1)内取得极值,则存在一点η∈-1,1  ,使得 2f η  +ηf η  1  ≥ f1 2  -f-1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  . ·第120页，共222页·第四章多元函数微分学及其应用 基础题 一、选择题 (1)设fx,y  =arcsin x2+y4,则下列选项中正确的是( ). A. f x ′ 0,0  存在,f y ′ 0,0  存在 B. f x ′ 0,0  不存在,f y ′ 0,0  存在 C. f x ′ 0,0  不存在,f y ′ 0,0  不存在 D. f x ′ 0,0  存在,f y ′ 0,0  不存在 (2)设f x ′ x 0 ,y 0  ,f y ′ x 0 ,y 0  均存在,则下列选项中正确的是( ). A. limfx,y x→x0 y→y0  存在 B. fx,y  在x ,y 0 0  处连续 C. limfx,y 0 x→x0  存在 D. fx,y  ∘ 在Ux ,y 0 0  内有定义 (3)设fx,y  x2+y2 sinxy2 = x2+y4    , x2+y2≠0, 则下列选项中正确的是( ).    0, x2+y2=0, A. f x ′ y ′ 0,0  存在,f y ′′ x0,0  存在 B. f x ′ y ′ 0,0  不存在,f y ′′ x0,0  存在 C. f x ′ y ′ 0,0  存在,f y ′′ x0,0  不存在 D. f x ′ y ′ 0,0  不存在,f y ′′ x0,0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 不存在 ·第121页，共222页·(4)设fx,y  = xy,则( ). A. 当x>0时,f x ′ x,y  1 y =- 2  x  B. 当x<0时,f x ′ x,y  1 y =   2 x C. 当y≠0时,f x ′ 0,y  =0 D. 当y≠0时,f x ′ 0,y  不存在 (5)设方程xy-zlny+exz=1,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程( ). A. 可确定隐函数y=yx,z  和z=zx,y  B. 可确定隐函数x=xy,z  和z=zx,y  C. 可确定隐函数x=xy,z  和y=yx,z  D. 只能确定隐函数z=zx,y  (6)设可微函数fx,y  在点Px ,y 0 0  处取得极大值,则( ). A. fx ,y 0  在y=y 处导数小于零 B. fx ,y 0 0  在y=y 处导数大于零 0 C. fx ,y 0  在y=y 处导数等于零 D. fx ,y 0 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在y=y 处导数不存在 0 ·第122页，共222页·(7)设fx,y  =e2x x+y2+2y  ,则fx,y  1 在点P ,-1 2  处( ). e e A. 取得极小值- B. 取得极大值- C. 取得极大值e D. 不取得极值 2 2 二、填空题 y lnx+e (1)lim x→3 y→0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. x2+y2 x+y (2)lim =_____. x→∞ x2-xy+y2 y→∞ ·第123页，共222页·1 (3)lim1- 2x x→∞ y→0  x2 x+y =_____. (4)设z=1+xy  y ,则dz 1,1  =_____. (5)设函数fx,y  可微,且f1,2  =2,f x ′ 1,2  =3,f y ′ 1,2  =4,Fx  =f x,fx,2x    ,则F 1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =___ __. ·第124页，共222页·(6)设z=zx,y  由方程x=ze y+z确定,则dz e,0  =_____. y=fx,t (7)设  , Fx,y,t   dy  f 和F有一阶连续偏导数,则 =_____. =0, dx (8)设fu,v  有二阶连续偏导数,y=fex,cosx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 d2y ,则  =_____. dx2 x=0 ·第125页，共222页·(9)设z=zx,y  由方程e 2yz +x+y2+z= 7 确定,则dz 4  1,1 2 2  =_____. (10)设fx,y  = xy sint dt,则 ∂2f  0 1+t2 ∂x2 0,2  =_____. (11)设zx,y  的全微分dz=x2+2xy-y2  dx+x2-2xy-y2  dy,则zx,y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第126页，共222页·(12)设z=zx,y  由方程z+lnz- x e-t2 dt=0确定,则 ∂2z =_____. y ∂x∂y x (13)设z=fxy, y  y +g x  ∂2z ,f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,则 =_____. ∂x∂y x+ky (14)设  dx+ydy x+y  为某二元函数ux,y 2  的全微分,则k=_____. 三、解答题 (1)设u=fx,y,z  有连续偏导数,y=yx  ,z=zx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 分别由方程e xy -y=0和ez-xz=0确定,求 du . dx ·第127页，共222页·(2)设y=yx  ,z=zx  x2+y2+z2=3x, dy dz 由方程组  确定,求 , . 2x-3y+5z=4 dx dx (3)设当x≥0,y≥0时,有x2-y2 e -x2-y2 ≤k成立,求k的最小值. (4)设曲面S:x-y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 2 -z2=1,求坐标原点到S的最短距离. ·第128页，共222页·(5)求fx,y  y =1+e  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 cosx-ye y的极值. (6)求函数z=x3-3x2-3y2在闭区域D:x2+y2≤16上的最大值. (7)求u=x2+y2+z2在条件x+y+z=4和z-x2+y2下的最大值和最小值. ·第129页，共222页·(8)在第一象限内,过曲线3x2+2xy+3y2=a上任一点作其切线,若切线与两坐标轴所围成的三角形 1 面积的最小值为 ,求a的值. 4 (9)设ux,y  ∂2u ∂2u ∂2u 有二阶连续偏导数,利用变换ξ=x+ay,η=x+by,将方程 +4 +3 =0 ∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂2u 化为 =0,求a,b的值. ∂ξ∂η (10)设fu  有二阶连续导数,且z=fexsiny  ∂2z ∂2z 满足 + =ze2x,求fu ∂x2 ∂y2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第130页，共222页·综合题 一、选择题 (1)设fx,y  fx,y 在点(0,0)处连续,且lim x→0 y→0  =1,则( ). x2+y2 e -1 A. fx,y  在点(0,0)处取得极小值 B. fx,y  在点(0,0)处取得极大值 C. fx,y  在点(0,0)处不取得极值 D. 不能确定fx,y  在点(0,0)处是否取得极值 (2)设fx,y  fx,y 在点(0,0)的某邻域内连续,且lim x→0 y→0  -f0,0  =-1,则fx,y x+y4  在点(0,0)处( ). A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 无法确定是否取得极值 (3)设fx,y  1 yarctan , x,y = x2+y2  ≠0,0  , 0, x,y  =0,0    则fx,y ,  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在点(0,0)处( ). A. 连续但不可微 B. 偏导数存在但不连续 C. 可微 D. 连续但偏导数不存在 ·第131页，共222页·(4)设函数fx,y  =x+y-1  x arcsin ,则在点(0,1)处( ). y A. f x ′ 0,1  =f y ′ 0,1  =1 B. df 0,1  -dy C. df 0,1  =dx D. df 0,1  不存在 (5)设fx,y  ∂fx,y 可微,对任意的x,y,有  ∂fx,y >0, ∂x  <0,则使fx ,y ∂y 1 1  y B. x >x ,y >y C. x x ,y 0,F x ′ x ′ x 0 ,y 0  <0,则由方程Fx,y  :0确定的隐函数y=yx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在x=x 处( ). 0 A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 不能确定是否取得极值 ·第132页，共222页·(7)设fx,y  有一阶连续偏导数,且fx,y  =1-x-y+o x-1   2 +y2  ,gx,y  =fx+y,xy  ,则全 微分dg 1,0  =( ). A. -2dy B. -dx C. -dx-2dy D. dx-2dy 二、填空题 (1)设z=zx,y  ∂2z 有二阶连续偏导数,且满足 =x+y,zx,0 ∂y∂x  =x,z0,y  =y2,则zx,y  =____ _. (2)设z= 2x ,则 ∂nz  x2-y2 ∂yn 2,1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第133页，共222页·(3)设fx,y  对任意的x,y  ∈R2满足fx,y  x+y-2 =e +oρ  ,其中ρ= x-1  2 +y-1  2 ,则 f1+2h,1 lim h→0  -f1,1-2h  =_____. h 三、解答题 d2z (1)已知x+y-z=ez,xex=tant,y=cost,求  . dt2 t=0 x (2)设f有一阶连续导数,证明:z=f y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ∂z ∂z 的充分必要条件是x +y =0. ∂x ∂y ·第134页，共222页·(3)设z=zx,y  1 1 1 是由方程F - - x y z  1 ∂z ∂z = 确定的隐函数,其中F可微,求x2 +y2 . z ∂x ∂y (4)设y=gx,z  与z=zx,y  是由方程fx-z,xy  dy =0确定的函数,求 . dx (5)求函数fx,y  =1+y  2 +1+x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 2在条件x2+y2+xy=3下的最大值. ·第135页，共222页·(6)设函数fx,y  =3x+4y-ax2-2ay2-2bxy,问:当a,b满足什么条件时,fx,y  有唯一的极大值 和唯一的极小值? (7)设fx,y  =x3+y3-ax2-by2 a>0,b>0  x2 y2 有极小值-8,求a,b的值,使得椭圆 + =1所 a2 b2 围的面积最大. (8)设函数fx,y  =x2+2kxy+y2 k>0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 满足x2+y2=1的最大值与最小值分别为λ 与λ ,求λ +λ . 1 2 1 2 ·第136页，共222页·(9)求fx,y  x2+y2 - =xe 2 的极值. (10)求fx,y  = 1 e - 2 1 y2 x-a y2  2+y-1  2   公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 (y≠0,a为常数)的极值. (11)求u=xy+2xz+2yz在条件xyz=1下的最小值. ·第137页，共222页·(12)设函数z=zx,y  由方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定,求z=zx,y  的极值. (13)已知z=fx,y  的全微分dz=y-x2  dx+x-1  dy,且f1,1  1 =- ,求fx,y 3  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在D:0≤y≤7 -x,0≤x≤7上的最大值. ·第138页，共222页·(14)设函数fx,y  的全微分为dfx,y  =2ax+by  dx+2by+ax  dya,b为常数  ,且f0,0  =-3, f x ′ 1,1  =3.求: (I)fx,y  ; (II)点(-1,-1)到曲线fx,y  =0上的点的距离的最大值. (15)设fx,y  1 xysin , x,y = x2+y2  ≠0,0  , 0, x,y  =0,0    讨论fx,y ,  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ∂f 在点(0,0)处是否可微?偏导数 , ∂x ∂f 在点(0,0)处是否连续? ∂y ·第139页，共222页·(16)设中心在原点的椭圆为x2-4xy+5y2=1,求该椭圆的长半轴和短半轴的长度. (17)设x=xy  ,z=zy  Fy-x,y-z 由方程组  =0, z Gxy, y   dx dz  确定,求 , . =0 dy dy 1 1 (18)设α,β为正数,且 + =1,求fx,y α β  = 1 xα+ 1 y β在条件xy=1x>0,y>0 α β  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 下的最小值. ·第140页，共222页·(19)设可微函数fu,v  ∂f ∂f 满足 + =u+v ∂u ∂v  eu-v,且f0,v  =0,若u=x,v=x+y,求: ∂fx,x+y (I)  ; ∂x (II)fu,v  的极值. (20)设w=xy-z,z=zx,y  ∂2z ∂2z ∂2z 有二阶连续的偏导数,且满足 +2 + =0.作变换u=x+y, ∂x2 ∂x∂y ∂y2 v=x-y. ∂2w (I)求 ; ∂u2 ∂w0,v (II)若  =ve-v,w0,v ∂u  v2 = ,求zx,y 4  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的表达式. ·第141页，共222页·拓展题 一、选择题 当下列选项( )条件成立时,能够推出函数fx,y  在点x ,y 0 0  处可微,且其全微分dfx,y   x 0 ,y 0  =0. A. f x ′ x 0 ,y 0  =f y ′ x 0 ,y 0  =0 B. fx,y  在点x ,y 0 0  ΔxΔy 处的全增量Δf= Δx  2 +Δy  2 C. fx,y  在点x ,y 0 0  sin Δx 处的全增量Δf=  2 +Δy  2   Δx  2 +Δy  2 D. fx,y  在点x ,y 0 0  处的全增量Δf= Δx  2 +Δy  2   1 sin Δx  2 +Δy  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 2 ·第142页，共222页·二、解答题 设fx,y  在点(0,0)的某邻域内有定义,f0,0  fx,y =0,且lim x→0 y→0  =1+kk为常数 x2+y2  .证明: (I)fx,y  在点(0,0)处连续; (II)当k≠-1时,fx,y  在点(0,0)处不可微; (III)当k=-1时,fx,y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 在点(0,0)处可微. ·第143页，共222页·第五章微分方程及其应用 基础题 一、选择题 dy x (1)下列选项(C为任意常数)中,是微分方程 + =0的通解的是( ). dx y A. x2+y2=C2 B. x2-y2=C2 C. x2+y2=C D. x2-y2=C (2)设y+Px  y=0的一个特解为y=cos2x,则该方程满足y0  =2的特解为( ). A. 2cosx B. 2cos2x C. cos2x D. cos2x+1 (3)微分方程y+2y-3y=e-x+x的一个特解形式为( ). A. ae-x+bx+c B. axe-x+xbx+c  C. axe-x+bx+c D. aex+xbx+c  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ·第144页，共222页·(4)设y 1x  ,y 2x  是y+Px  y=0的两个不同特解,其中Px  在-∞,+∞  内连续,且Px  不恒 为0,则下列结论中错误的是( ). A. y 1x  -y 2x  =常数 B. C y 1x  -y 2x    是方程的通解 C. y 1x  -y 2x  在任意一点处不为0 D. y 2x  y 1x  ≡常数 y 1x   ≠0  (5)设y 1x  ,y 2x  ,y 3x  是微分方程y+px  y+qx  y=fx  的三个线性无关的解,fx  ≠0,则该 方程的通解为( ). A. C 1 y 1x  +C 2 y 2x  +y 3x  B. C 1 y 1x  +1-2C 1  y 2x  +C 1 y 3x  C. C -C 1 2  y 1x  +C 2 y 2x  +y 3x  D. C 1 y 1x  +C 2 y 2x  +C 3 y 3x  C +C +C =1 1 2 3  (6)设fx  在[0,+∞)上可导, lim fx x→+∞  =bb≠0  ,yx  为方程y+ay=fx  a>0  的任一解,则y =yx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 有水平渐近线( ). b a A. y=ab B. y=-ab C. y= D. y= a b ·第145页，共222页·二、填空题 (1)微分方程1+y2  dx+2x-1  ydy=0的通解为_____. y y (2)方程y= +tan 满足y1 x x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 π = 的特解为_____. 6 (3)微分方程xy= x2+y2+y的通解为_____. ·第146页，共222页·(4)方程y+2y+y=xex满足y0  =0,y 0  =0的特解为_____. (5)方程y-3y+2y=10e-xsinx满足当x→+∞时,yx  →0的特解为_____. (6)设二阶线性非齐次微分方程y+px  y+qx  y=fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的三个特解分别为x,ex,e-x,则该方程的 通解为_____. ·第147页，共222页·(7)设二阶常系数线性微分方程y+ay+by=cex有特解y*=e-x 1+xe2x  ,则该方程的通解为__ ___. 三、解答题 (1)设fx  是连续函数,且fx  x =cosx- x-t 0   ft  dt,求fx  . (2)设fx  可导,对任何实数x,y满足fx+y  =exfy  y +e fx  ,且f 0  =e,求fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第148页，共222页·(3)设微分方程y+ax  y=x2,ax  1, x≤1,  = 1 求在-∞,+∞ , x>1, x  内的连续函数y=yx  ,使其在 -∞,1  和1,+∞  内均满足微分方程,且y0  =2. (4)求微分方程y-y=0的一条积分曲线,使此积分曲线在原点处有拐点,且以直线y=2x为切线. (5)利用变换u=ex,求微分方程y-2ex+1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 y+e2xy=e3x的通解. ·第149页，共222页·(6)设L是一条平面曲线,其上任意一点Px,y  x>0  到原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的 1 截距,且L过点 ,0 2  .求: (I)曲线L的方程; (II)L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围的面积最小.  (7)设OA是连接O0,0  和A1,1  的一段向上凸的曲线弧,Px,y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分   为OA上任意一点,曲线弧OP与   有向线段OP所围图形的面积为x2,求曲线弧OA的方程. ·第150页，共222页·(8)设y=yx  满足xy-2x2-1  y=x3 x≥1  ,y1  =a. (I)求yx  ; yx (II)若 lim x→+∞  存在,求曲线y=yx x  的斜渐近线方程. (9)设fx  满足xf x  -fx  =a1-lnx  +x2 x>0,a≠0  ,f1  =1-a. (I)求fx  的表达式; (II)若方程fx  =0在x∈0,+∞  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 内有唯一实根,求a的取值范围. ·第151页，共222页·(10)设fx  满足xf x  -3fx  =2x,f1  1 = k-1,k>0.求: 3 (I)fx  的表达式; (II)fx  在x∈ 0, 1  k  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 上的最小值与最大值. 综合题 一、选择题 (1)下列方程中,以y=C ex+C cosx+C sinxC ,C ,C 为任意常数)为通解的是( ). 1 2 3 1 2 3 A. y-y+y-y=0 B. y+y+y-y=0 C. y+y-y-y=0 D. y-y-y-y=0 ·第152页，共222页·(2)若二阶常系数线性齐次微分方程y+py+qy=0的通解为y=C ex+C xex,则非齐次微分方程 1 2 y+py+qy=x满足y0  =2,y 0  =0的特解为y=( ). A. xex-x-2 B. xex-x+2 C. -xex+x+2 D. -xex-x+2 (3)设C为任意常数,则以y=eCx+x2为通解的一阶微分方程为( ). A. xy-ylny=x2y B. xy+ylny=xy2 C. xy-ylny2=xy D. xy+ylny=xy (4)设y 1 ,y 2 是一阶线性非齐次微分方程y+Px  y=Qx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的两个解,若常数λ,μ,使得λy +μy 是该 1 2 方程的解,λy -μy 是对应的齐次微分方程的解,则( ). 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 A. λ=- ,μ=- B. λ= ,μ= C. λ= ,μ= D. λ= ,μ= 2 2 2 2 3 3 3 3 ·第153页，共222页·二、填空题 y (1)微分方程y= x+y+1  (y不为常函数)的通解为_____. 2 (2)微分方程y-y=sinx满足y0  =0,y 0  3 = 的特解为_____. 2 y2-x (3)微分方程y= 2yx+1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的通解为_____. ·第154页，共222页·dy y-x (4)微分方程 = 满足y1 dx y+x  =0的特解为_____ x (5)微分方程ysec2y+ tany=x满足y0 1+x2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =0的特解为_____. (6)微分方程y+y=x+cosx的通解为_____. ·第155页，共222页·(7)微分方程y-y=sin2x的通解为_____. (8)设fx  有连续导数,对任意a满足fx+a  x+att2+1 = x  ft   dt+fx  ,且f1  = 2,则fx  =__ ___. (9)设函数yx  满足y+2ay+b2y=0a>b>0  ,且y0  =1,y 0  +∞ =1,则 yx 0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx=_____. ·第156页，共222页·三、解答题 (1)设fx  满足fx+y  fx =  +fy  1-fx  fy  ,且f 0  存在,求f x  及fx  . (2)利用变量替换x=sint,y=yt  π 00  fx ,且lim x→0+  =0. x (I)求fx  的表达式; (II)若y=fx  在0,nπ  上与x轴所围图形的面积为A nn=1,2,⋯  A ,求lim n n→∞ n+1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . 2 ·第160页，共222页·(10)设ft  有二阶连续导数,f1  =f 1  =1.在x>0的平面区域内,存在函数ux,y  ,使得 dux,y  y2 y = +xf x x       y dx+ y-xf x      dy.求ft  及其极值. (11)设ft  在0,+∞  内有二阶连续导数,记gx,y  y =f x  .若gx,y  满足 ∂2g ∂2g ∂2g x3 +x2y +xy2 =y,且gy,y ∂x2 ∂x∂y ∂y2  ∂g =1,  ∂y y,y  2 = ,求ft y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第161页，共222页·(12)设fx  在0,1  上有连续导数,f0  =1,f + ′ 0  =1,且 f x+y D  dxdy= fx+y D  +x-y  3    dxdy,其中D= x,y   ∣0≤y≤t-x,0≤x≤t  02. 1 2 ·第162页，共222页·(14)(I)设at  +∞ 在[0,+∞)上是非负连续函数,证明:当且仅当 at 0  dx dt发散时,微分方程 + dt at  x=0的每一个解xt  满足 limxt t→+∞  =0; (II)设a>0,ft  dx 在[0,+∞)上连续有界,证明:方程 +ax=ft dt  t≥0  的所有解在[0,+∞)上有 界. (15)设上凸曲线y=yx  y>0  上任意一点Mx,y  处的切线与x轴交于点N,且满足OM=ON, y0  =1,y x  >0,求y=yx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第163页，共222页·拓展题 解答题 (1)设fx  有二阶连续导数,且fx  x = f1-t 0  dt+1,求fx  . (2)设fx  在0,+∞  内有定义,f 1  =1,当x,y∈0,+∞  时,满足fxy  =yfx  +xfy  . (I)证明:fx  在0,+∞  内可导,且f x  fx =  +1; x (II)求函数fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的极值. ·第164页，共222页·(3)设ft  t≥0  有连续导数,且满足ft  1 =  ft- x2+y2 2π x2+y2≤t2  dxdy+​​t.求ft  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 . ·第165页，共222页·第六章微积分在经济学中的应用 基础题 一、填空题 (1)设某商品的需求量Q对价格P的弹性为Pln3,若该商品的市场最大需求量为1500件,则需求函 数为Q=_____. (2)设商品的需求函数为Q=100-5P,其中P为价格,若商品需求对价格的弹性的绝对值大于1,则 商品价格P的取值范围为_____. (3)设边际成本函数为MC=3Q2-118Q+1200,其中Q为产量,固定成本为1500,则总成本函数为 CQ  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第166页，共222页·1 (4)差分方程2y -y =3⋅ t+1 t 2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 t 的通解为_____. 2 2 (5)差分方程y - y = 的通解为_____. t+1 3 t 3 (6)差分方程y -2y =2t的通解为_____. t+1 t ·第167页，共222页·(7)差分方程Δ2y -y =5的通解为_____. t t 二、解答题 Cx (1)设某产品生产x单位,边际单位成本函数为     x   100 =- ,当产量为1单位时,成本为102,若 x2 边际收益函数为R x  x =12- ,且R0 10  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =0,求利润最大时的产量和平均价格. ·第168页，共222页·(2)设某产品的成本函数CQ  m-P =aQ2+bQ+c,需求函数为Q= ,其中Q为需求量(即产量),P n 为单价,a,b,c,m,n均为大于零的常数,且m>b.求: (I)利润最大时的产量及最大利润; (II)需求对价格的弹性ηη>0  ； (III)当η=1时的产量. (3)某公司通过电视和网络两种形式作广告,设销售收入为R(万元),电视广告费为x (万元),网络广 1 告费为x (万元),它们之间有如下关系:Rx ,x 2 1 2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =15+14x +32x -8x x -2x2-10x2. 1 2 1 2 1 2 (I)在广告费用不限的条件下,求最佳广告方案; (II)若广告费用为1.5万元,求相应的广告方案. ·第169页，共222页·(4)设某公司的总成本函数为C=CQ  1 = Q2+36Q+9800,求平均成本最低时的最低平均成本. 2 综合题 一、填空题 (1)设某公司在t时刻的收入为Rt  ,Rt  为连续函数,且R0  =0,从0时刻到t时刻的平均收入为 1 Rt - t+ 2  ,则Rt t  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. (2)已知某产品的生产函数为Q=AKαL β ,其中Q表示产量,K表示资金,L表示劳动力,A,α,β均为正 ∂Q ∂Q 常数,且α+β=1,则K +L =_____. ∂K ∂L ·第170页，共222页·二、解答题 (1)设生产商的总收益函数和总成本函数分别为R=RQ  =30Q-3Q2, C=CQ  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =2+2Q+Q2, 生产商以获取最大利润为目标,税务机关对产品征税.求: (I)生产商纳税前的最大利润,及此时的产量和产品价格； (II)征税收益的最大值及此时的税率t. (2)设生产某种产品的固定成本为C (万元),每生产一件产品,成本增加a(万元),已知该产品需求对 0 P 价格的弹性为η= >0,P为价格,若市场对该产品的最大需求量为c件,其中a,b,c,C 均大于 b-P 0 零. (I)为获得最大利润,问如何定价? (II)若每销售一件产品需纳税t万元,问如何定价可使利润最大？ ·第171页，共222页·公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 (3)设生产某产品的固定成本为40,边际成本和边际收益分别为MC=Q2-14Q+111,MR=100- 2Q,求生产商的最大利润. (4)设某商品的需求函数为Q=100-5P. (I)当P=3时,问涨价会使销售收入增加还是减少？若价格上涨幅度为8.5%,则对销售收入影响的 幅度是多少? (II)当P=12时,问涨价会使销售收入增加还是减少？若价格上涨幅度为5%,则对销售收入影响的 幅度是多少? ·第172页，共222页·(5)为实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型.设Q为该商品的需求量,P为价格,MC为 边际成本,η为需求弹性η>0  . MC (I)证明:定价模型为P= ; 1-1 η (II)若该商品的成本函数为CQ  =1600+Q2,需求函数为Q=40-P,求由(I)中定价模型确定的 此商品价格. (6)(I)设某商品的需求函数为Q=φP  ,P表示价格,φ为严格单调函数,证明:边际收益与需求价格 dR 1 弹性E 有如下关系: =P1+ d dQ E d  P>0,R表示总收益  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ; (II)若Q=8000-8P,求总收益最大时的需求量Q和商品的价格. ·第173页，共222页·公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 (7)在同一市场上销售两种性能有差异的同一类手机A与B,设Q ,Q 分别表示它们的需求量,P ,P A B A B   分别为其价格,且生产这两种手机时每部所需的平均成本分别为C =4.5(百元/件),C =2(百元/ A B 件).已知需求函数分别为Q =9.5-P +2P , Q =7+2P -5P ,试确定其价格,使其利润最大. A A B B A B (8)求差分方程y -2y =sint的通解. t+1 t ·第174页，共222页·公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 1 1 (9)设生产函数为Q=8L2K4,其中L为劳动力投入量,K为资金投入量,产品的价格P=4,设投入两 要素的价格分别为P =4,P =8,求当利润最大时的产出水平和最大利润. L K ·第175页，共222页·第七章二重积分 基础题 一、选择题 1 (1)设D为由直线x+y= 2 ,x+y=1与两坐标轴所围的区域,且I 1 = lnx+y D     9 dxdy, I 2 = x+y D   9 dxdy, I 3 = sinx+y D     9 dxdy,则( ). A. I ≤I ≤I B. I ≤I ≤I C. I ≤I ≤I D. I ≤I ≤I 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2 (2)设D是xOy平面上以A1,1  ,B-1,1  ,C-1,-1  为顶点的三角形区域,D 是D在第一象限的部 1 分,则I= xy+cosxsiny D   dxdy=( ). A. 0 B. 2 xydxdy D1 C. 2 cosxsinydxdy D. 4 xy+cosxsiny D1 D1   dxdy 2 x2 (3)积分I= dx2 fx,y 0 0  2 2 8-x2 dy+ dx fx,y 2 0  dy=( ). 2 8-y2 A.  dy fx,y 0 y  2 8-y2 dx B.  dy fx,y 0 2y  dx 2 8-y2 C.  dy fx,y 0 2y  2 8-y2 dx D.  dy fx,y 0 y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx ·第176页，共222页·(4)设D:x2+y2≤x,则 fx,y D  dxdy=( ). π cosθ A.  dθ frcosθ,rsinθ 0 0  π sinθ rdr B.  dθ frcosθ,rsinθ 0 0  rdr π cosθ C. 2 dθ frcosθ,rsinθ -π 2 0  π sinθ rdr D. 2 dθ frcosθ,rsinθ -π 2 0  rdr π 2sinθ (5)将二重积分I=2 dθ frcosθ,rsinθ π 4 0  rdr化为直角坐标系下的二次积分,则I=( ). 1 x A.  dx fx,y 0 1- 1-x2  1 1-x2 dy B.  dx fx,y 0 x  dy 1 y C.  dy fx,y 0 0  2 2y-y2 dx+ dy fx,y 1 0  1 2y-y2 dx D.  dy fx,y 0 y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dx 二、填空题 1 1 (1)二重积分I= dx siny2dy=_____. 0 x ·第177页，共222页·(2)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx  在[0,+∞)上连续且取正值,则 a fx I= D  +b fy  fx  + fy   dxdy=_____. (3)设fx  在0,1  1 上连续,且 fx 0  1 1 dx=A,则I= dx fx 0 x  fy  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dy=_____. 1+x-y (4)设D:x2+y2≤1,x≥0,y≥0,则I= dxdy=_____. D1+x2+y2 ·第178页，共222页·dxdy (5)设D:2x≤x2+y2,0≤y≤x≤2,则I= =_____. D x2+y2 (6)设D= x,y   ∣0≤y≤1-x,0≤x≤1  x ,则 ex+ydxdy=_____. D x2 y2 (7)设D:x2+y2≤1,则I=  + 4 9 D  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  dxdy=_____. ·第179页，共222页·(8)设区域D由x=- 2y-y2,x=-2,y=0,y=2所围,则I= ydxdy=_____. D (9)设D:x2+y2≤2x,则I= 2x+3y D   dxdy=_____. 三、解答题 (1)计算下列二重积分: (I)设D由x-y=0,x+y=0及x=1所围,求I= xyx-y D  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dxdy; ·第180页，共222页·siny (II)设D由y= x,y=x所围,求I= dxdy; y D (III)设D由y=x2 x≥0  xy ,y=1,x=0所围,求I= dxdy; D 1+y3 (IV)设D:-1≤x≤siny,y≤ π ,求I= xe x2+cosy siny-1 2 D  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dxdy. ·第181页，共222页·(2)设D:x2+y2≤ 2x,0≤y≤x,计算I=  x2+y2-1dxdy. D (3)设D= x,y   ∣0≤x≤2,0≤y≤ 2x-x2   ,计算I= x+y-2dxdy. D y (4)设D:1≤x2+y2≤2x,y≥0,计算I= D 1+x2+y2  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  dxdy. x2+y2 ·第182页，共222页·(5)设D:0≤x≤2,0≤y≤2,计算I= 1+x+y D   dxdy,其中1+x+y  表示不超过1+x+y的最大 整数. (6)设D= x,y   ∣0≤x≤1,0≤y≤1  ,计算I= max 2x-x2,1-y D  2    dxdy. (7)计算I= sgnx2-y2+2 D  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dxdy,其中D:x2+y2≤4. ·第183页，共222页·(8)设fx,y  1 = x2+y2    , 1≤x≤3, 3 x≤y≤x, 2 3 D由x=3,x=1,y=0,y=3所围,    0, 其他, 计算I= fx,y D  dxdy. (9)设D= x,y  x-1   2 +y2≤1,x2+y-1  2  ≤1,x≥0,y≥0   ,计算I= x+2y+x-y D  3    dxdy. 综合题 一、选择题 (1)I 1 = cos x2+y2dxdy,I 2 = cosx2+y2 D D  dxdy,I 3 = cosx2+y2 D  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 2 dxdy,其中D:x2+y2≤1,则( ). A. I >I >I B. I I >I D. I >I >I 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2 ·第184页，共222页·(2)设D= x,y  x  +y    ≤1  ,I 1 = x2+y2tanx D   dxdy,I 2 = x2y+tany2 D   dxdy, I 3 = xy2+siny2 D   dxdy,则( ). A. I 0  的顺序为_____. x2 y2 (7)(选做)设D: + ≤1,则I= y2dxdy=_____. a2 b2 D 三、解答题 (1)设D是由曲线xy+x+y=1与x轴所围成的有界区域,计算I= 2ln1+y D   -y+x  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  dxdy. ·第188页，共222页·(2)设D= x,y  ∣x-1  2 +y-1   2 ≤1,x2+y2≤1   ,计算I= 2x-y2 D   dxdy. (3)设平面曲线x+y  3 =xy在第一象限所围成的区域为D,计算I= x-y D  3  +1   dxdy. 1 2-x (4)计算积分I= dx ex+y 0 1-x  2  sin2x+cos2y  2 2-x dy+ dx ex+y 1 0  2  sin2x+cos2y  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dy. ·第189页，共222页·1 t t (5)求极限lim  dxsinxy t→0+t6 0 x  2 dy. (6)设D= θ,r  π   0≤θ≤ ,0≤r≤1  2  ,计算I= r3er2cos2θsin2θdθdr. D (7)设D= x,y   ∣x2+y2≤1,0≤y≤x   公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 xy ,计算I= dxdy. D1+x2-y2 ·第190页，共222页·(8)设D= x,y   ∣0≤x≤1,0≤y≤x  ,计算I= arcsin2 x-x2 D  dxdy. (9)设可导函数fx  fx 满足lim x→0  t t2-x2 dx f x2+y2 =1,求极限lim 0 - t2-x2 x t→0+   +2y   dy . t3 (10)设Ft  2 F x2+y2  x 1- = x2+y2      x2+y2     dxdy, t>0,  在[0,+∞)上连续,求函数Ft   0, t=0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 的表达式. ·第191页，共222页·(11)设ft  在-∞,+∞  内有连续导数,且ft  =2 x2+y2 D   f x2+y2  dxdy+t4, D:x2+y2≤t2, 求ft  . (12)设fx,y  在区域:0≤x≤1,0≤y≤1上连续,f0,0  =0,且fx,y  在点(0,0)处可微, f y ′ 0,0  x2 t  dt ft,u =1,求lim 0 x x→0+  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 du . -x4 1-e 4 ·第192页，共222页·(13)设D是由y= 1-x2,y= 4-x2与x+y=0及x轴所围,且位于x+y≥0部分的区域,计算I x2+y2 = dxdy. D x2+2y2 (14)设D= x,y   ∣4≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0   ,fx,y  在D上连续,且fx,y  =sinπ x2+y2  + 1 xfx,y π D   dxdy.求I= fx,y x+y D  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dxdy. ·第193页，共222页·(15)设fx  1  xf2 x 是连续正值函数,且单调减少,证明: 0  dx 1  xfx 0  1  f2 x ≤ 0 dx  dx 1  fx 0  . dx (16)设fx  在0,1  上是连续正值函数,且fx  单调减少,D:0≤x≤1,0≤y≤1,证明:  xfx D  fy  fx  -fy    公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 dxdy≤0. ·第194页，共222页·(17)设fu  在-1,1  上连续,D:x+y≤1,证明: fx+y D  1 dxdy= fu -1  du. (18)设D:x2+y2≤2tx,y≥0t>0  ,fu  在u=0处可导,且f0  1 =0,求lim  f x2+y2 t→0+t4 D  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ydxdy. ·第195页，共222页·拓展题 解答题 (1)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx,y  在D上连续,且求fx,y  . fx,y  =x2+y2-x+y-1  + fu,v D  dudv, (2)设ft  在[0,+∞)上连续,且满足ft  =e4πt2 + x2-y2+f 1 x2+y2 x2+y2≤4t2 2       dxdy.求: (I)ft  ; (II)lim ft t→0+    公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 1 t2 . ·第196页，共222页·第八章无穷级数 基础题 一、选择题 ∞ ∞ (1)设级数u n 与v n 均发散,则( ). n=1 n=1 ∞ A. u n +v n n=1  ∞  必发散 B. u n v n 必发散 n=1 ∞ C. u n+v n n=1  ∞  必发散 D. u2 n +v2 n n=1   必发散 (2)下列选项中正确的是( ). ∞ ∞ ∞ A. 若u n v n收敛,则u2 n 与v2 n 都收敛 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ B. 若u2 n 和v2 n 都收敛,则 u n +v n n=1 n=1 n=1   2收敛 ∞ ∞ C. 若v n 收敛且u n ≤v n ,则u n 收敛 n=1 n=1 ∞ D. 若u n 发散u n ≥0 n=1  1 ,则u ≥ n n (3)下列选项中正确的是( ). ∞ ∞ ∞ A. 若u n 与v n 都收敛,则u n v n 必收敛 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ B. 若u n 与v n 都发散,则u n v n 必发散 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ C. 若u n 收敛,v n 发散,则u n v n 必发散 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ D. 若u n 收敛,v nv n >0 n=1 n=1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ∞ 收敛,则u n v n收敛 n=1 ·第197页，共222页·∞ (4)设u n 收敛,则下列级数中收敛的是( ). n=1 ∞ ∞ A. u2 n B. u n +u n+1 n=1 n=1  ∞  C. -1 n=1  ∞ u  n-1 n D. u -u n 2n-1 2n n=1   ∞ (5)设u nu n >0 n=1  收敛,则下列选项中正确的是( ). ∞ ∞ u A. u2 n 收敛 B.  u n 收敛 C. lim n+1 <1 D. limnu n <1 n=1 n=1 n→∞ u n n→∞ (6)下列选项中正确的是( ). ∞ A. 若u nu n >0 n=1  收敛,则limn2u =0 n n→∞ ∞ ∞ B. 若u n 收敛,则 -1 n=1 n=1   n-1 u n 必条件收敛 ∞ C. 若 -1 n=1  n-1  u nu n >0  ∞ 条件收敛,则u n 发散 n=1 ∞ D. 若 u +u 2n-1 2n n=1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ∞  收敛,则u n 必收敛 n=1 ·第198页，共222页·∞ n+1- n-1 (7)级数 sinn+k n n=1  k为常数  ( ). A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与k有关 ∞ (8)设幂级数a nx-1 n=1  ∞ n在x=-1处条件收敛,则a n ( ). n=1 A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法确定敛散性 ∞ ∞ a (9)设级数a n xn在x=2处条件收敛,则 n x-1 n+1 n=0 n=0  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 n在x=-1处( ). A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定 二、填空题 ·第199页，共222页·(1)设fx  ∞ =xn,则将Fx n=0  xfx =  展开为x的幂级数后变为_____. 1-x ∞ (2)设a nx-1 n=0  n的收敛域为-1,3  ∞ ,则a n x2n的收敛域为_____. n=0 (3)将fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 x = e-t2 dt展开为x的幂级数后变为_____. 0 ·第200页，共222页·三、解答题 (1)判别下列级数的敛散性: ∞ n+1 n n (I) n=1 n+1 n  ∞ an  ; (II) a>0,p>0 n p n n=1  ; ∞ 1 ∞ 1 1 (III) ; (IV) an -an+1 n n=1 1+x3 dx n=1 0   a>0  ; ∞ 1 1 (V) -ln1+ n n n=1      ∞ 1  ; (VI)  na- 1+ n n=1   a>0  . (2)判别下列级数的敛散性,若收敛,则判断是条件收敛还是绝对收敛: ∞ (I)设 -1 n=1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ∞  n-1 a n en收敛,判别a n 的敛散性; n=1 ·第201页，共222页·∞ (II) -1 n=1  n-1 1  ln1+n  ∞ -1 ; (II) n=1  n  ; n-lnn ∞ (IV) -1 n=1   n-1  n3-1  . (3)求下列级数的收敛域: ∞ -1 (I) n=1  n xn ∞ x-3  ； (II) 2n n n=1  n  ; n⋅3n ∞ (III) -1 n=1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  n nnxn; (IV) ∞ x2n-1 . 3n n=1 ·第202页，共222页·(4)求下列级数的收敛域: ∞ xn2 ∞ x2n+1 (I) ; (II) ; 2n 3n+n2 n=1 n=1 ∞ 1 (II) 1+ n n=1  -n2 ∞ 1 1  xn; (IV)  + nlnn 2n n=2   xn. (5)求下列幂级数的收敛域及和函数: ∞ xn-1 ∞ n-1 (I) ; (II) n2n n=1 n=0  2  xn; n+1 ∞ n2+1 ∞ -1 (III) xn; (IV) n! n=0 n=0  n n+1  2n+3  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  x2n. ! ·第203页，共222页·(6)将下列函数展开为x的幂级数,并确定收敛域: (I)f 1x  1 = x2-3x+2 ; (II)f 2x  =ln1-x-2x2  ; (III)f 3x  =lnx+ 1+x2  ; (IV)f 4x  =xarctanx-ln 1+x2. (7)将fx  x = 展开为x-5的幂级数. x2-5x+6 (8)将fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 π =sin x在x=-2处进行幂级数展开. 2 ·第204页，共222页·(9)求下列级数的和: ∞ 1 (I) n=2 n2-1  ∞ 2n+1  ; (II) . 2n n! n=0 (10)(I)证明:yx  x3 x6 x9 x3n =1+ + + +⋯+ 3! 6! 9! 3n  +⋯-∞0, 收敛, 发散,则( ). nn na n=1 n=2 1 1 A. a>e B. a=e C. 1 D. p<0 ∞ (12)设级数 -1 n=1  ∞  n-1 1 绝对收敛, -1 2-p n n=2  n 1  p n lnn  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 条件收敛,则( ). 2 A. 0≤p<1 B. 01  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 =_____. ·第211页，共222页·∞ (5)设 -1 n=1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ∞ ∞  n-1 u n =2,u 2n-1 =5,则u n =_____. n=1 n=1 ∞ 1 1+x 1 (6)设 4 ln 1-x + 2 arctanx-x=a 4n+1 x4n+1,x<1,则a 4n+1 =_____ n=1 ∞ n+1 dx (7) =_____. n=1 n x x-1 ·第212页，共222页·∞ n+1arctanx (8) dx=_____. n=1 n x2 三、解答题 (1)已知函数y=yx  满足方程y=x+y,且y0  ∞ 1 =1,讨论级数 y n n=1    -1- 1  n   的敛散性. ∞ xn (2)求 n=1 n 3n+-2  n   公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  的收敛区间,并讨论在端点处的敛散性. ·第213页，共222页·(3)(I)设k>0,x>0,证明:不等式kx<1+k2x2  arctankx; ∞ -1 (II)判别级数 n=1  n arctankn  k>0 n  是绝对收敛,还是条件收敛. (4)设数列a n  满足a n =a 0 +ndn=1,2,⋯  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ,其中a ≠0,d≠0为常数.求: 0 ∞ (I)a n xn的收敛域; n=0 ∞ a n (II) . 2n n=0 ·第214页，共222页·∞ 1 (5)设 =a n xn.证明: 1-x-x2 n=0 (I)a 0 =1,a 1 =1,a n+2 =a n+1 +a nn=0,1,2,⋯  ; ∞ a (II) n+1 收敛,并求其和. a a n=1 n n+2 ∞ (6)设u nu n >0 n=1  发散,S =u +u +⋯+u . n 1 2 n ∞ 1 1 (I)求  - S S n=1 n n+1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分  的和; ∞ u (II)证明: n 收敛. S2 n=1 n ·第215页，共222页·(7)设fx  在a,b  上可导,且满足a≤fx  ≤b, f x   ≤k<1,u 0 ∈a,b  ,u n =fu n-1  u=1,2,⋯  , 证明: ∞ (I) u n+1 -u n n=1   绝对收敛; (II)limu 存在. n n→∞ (8)设fx  可导,且fx  >0, f x   ≤afx  01  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 ∞ ,证明:当x<1时,a n xn收敛,并求其和 n=0 函数. ·第219页，共222页·(17)设fx  ∞ xn = ,证明:fx n2 n=1  +f1-x  +lnxln1-x  ∞ 1 = . n2 n=1 (18)设fx  = ∞ a n xn满足 f x n! n=0  -f x  -2fx  =0, f0  =0,f 0    求fx =1,  及a . n 1 π (19)设a n = xn 1-x2dx,b n =2 sinntdtn=1,2,⋯ 0 0  ∞ ,求级数 -1 n=1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 a  n-1 n 的和. b n ·第220页，共222页·拓展题 解答题 (1)设a 0 =1,a 1 =0,n+1  a n+1 =na n +a n-1n=1,2,⋯  ,Sx  ∞ =a n xn.求: n=0 ∞ (I)lima n ,并计算级数a n xn的收敛半径; n→∞ n=0 (II)Sx  满足的一阶微分方程,并求和函数Sx  . (2)设fx  在-1,1  fx 上有定义,在x=0的某邻域内有二阶连续导数,且lim x→0  =0,证明:级数 x ∞ 1  f n n=1  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 绝对收敛. ·第221页，共222页·(3)设fx  满足f x  +2f x  +fx  =0,且f0  =1, f 0  +∞ =0, a n = fx n  dx.求: (I)fx  公众号：做题本集结地 880·数三·高数部分 及a ; n ∞ (II)级数a n 的和. n=1 ·第222页，共222页·