A426版880数二线代做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数二

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
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线性代数 3
第七章 行列式3
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第八章 矩阵18
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第九章 向量组36
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第十章 线性方程组52
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第十一章 相似矩阵70
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第十二章 二次型97
基础题97
一、选择题97
二、填空题100
三、解答题100
综合题104
一、选择题104
二、填空题108
三、解答题110
拓展题117
解答题117
·第2页，共120页·线性代数
第七章 行列式
基础题
一、选择题
3 0 4 0
 
2 2 2 2
(1)设行列式D= ,则D的第4行各元素的余子式之和M +M +M +M =
41 42 43 44
0 -7 0 0
5 3 -2 2
( ).
A. -28 B. 28 C. 14 D. -14
(2)设α ,α ,α ,β ,β 均是4维列向量,且4阶行列式 α ,α ,α ,β
1 2 3 1 2 1 2 3 1
  =a, α ,α ,β ,α
1 2 2 3
  =b,则行列
式 α ,α ,α ,β +β
3 2 1 1 2
  =( ).
A. a+b B. a-b C. b-a D. -a+b 
(3)设β
1
,β
2
,α
1
,α
2
,α
3
均是4维列向量,且 A = β
1
,α
1
,α
2
,α
3
   =1,B = β
2
,α
1
,3α
2
,α
3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
  =3,则
A+B=( ).
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
·第3页，共120页·(4)设3阶矩阵A=a ij  满足AT=kA* k>0 3×3 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,若a =a =a =c>0,则c=( ). 11 12 13
3 3k2 3
A. B. C. 3k2 D.
3k 3 k2
二、填空题
k 0 -1 1
 
0 k 1 -1
(1) =_____.
-1 1 k 0
1 -1 0 k
λ-a -1 -1
 
(2)若 -1 λ-a 1 =0,则λ=_____.
-1 1 λ-a
·第4页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
1 0 0 1
 
0 2 0 1
(3)D = =_____.
4
0 0 3 1
1 1 1 4
0 1 2 0
 
1 0 0 2
(4)行列式D = =_____.
4
0 3 4 0
3 0 0 4
a -1 0 0
 
0 a -1 0
(5)行列式D = =_____.
4
0 0 a -1
4 3 2 a+1
·第5页，共120页·(6)设fx 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
x -2x 1 2
 
1 x 1 -1
= ,则x3的系数为_____.
3 2 3x 1
1 1 1 x
(7)设A是n阶方阵,且AAT=E,A<0,则A+E=_____.
(8)设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且A2=A,A≠E,则A=_____.
·第6页，共120页·(9)设A,B均为n阶方阵,且A=B=A-1+B=2,则A+B-1 =_____.
(10)设A=2,B=-2,其中A,B均为n阶方阵,则A-1B*-A*B-1 =_____.
(11)设3阶方阵A=α ,α ,α
1 2 3
 ,B=3α -α ,3α -2α ,2α -α -2α
1 2 2 1 3 1 2

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,且B=14,则A=_____.
·第7页，共120页·(12)设A=a ij  为n阶方阵,A=1,且A的每列元素之和均为kk≠0 n×n 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则A的代数余子式之和
A +A +⋯+A =_____.
11 12 1n
三、解答题
b a a ⋯ a
 
a b a ⋯ a
(1)计算n阶行列式D = .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a a a ⋯ b
·第8页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
x -1 0 ⋯ 0 0
 0 x -1 ⋯ 0 0 
n
(2)证明:D
n
= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ =xn+a
i
xn-i.
0 0 0 ⋯ x -1 i=1
a a a ⋯ a x+a
n n-1 n-2 2 1
2 -1 0 ⋯ 0 0
-1 2 -1 ⋯ 0 0 
0 -1 2 ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D = .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ 2 -1
0 0 0 ⋯ -1 2
·第9页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
a 0 0 ⋯ 0 b
1 n
a b 0 ⋯ 0 0
1 1
 0 a b ⋯ 0 0  b 1 a 2 0 ⋯ 0 0 
2 2
0 b a ⋯ 0 0
(4)计算n阶行列式D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + 2 3 ,其中a i ,b i 均
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
n-1 n-1
0 0 0 ⋯ a 0
n-1
b 0 0 ⋯ 0 a
n n
0 0 0 ⋯ b a
n-1 n
不为0.
综合题
一、选择题
(1)设A是3阶可逆矩阵,A-1的特征值为3,2,1,则A的代数余子式之和A
11
+A
22
+A
33
=( ).
1 1 1
A. B. C. D. 1
6 3 2
·第10页，共120页·0 0 0 1
 1 0 0 0  4 4
(2)A= 的所有代数余子式A
ij
之和A
ij
=( ).
0 1 0 0
i=1j=1
0 0 1 0
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
1 (3)设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A= ,则 2A
2
  -1 -2A*=( ).
1 1 1 1
A. B. - C. - D.
2 2 4 4
(4)设fx 
1 x x2 x3
 
1 2 4 8
= ,则曲线y=fx
1 -1 1 -1
1 1 1 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
在(-1,2)内存在水平切线的条数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第11页，共120页·二、填空题
A 3A*
(1)设A,B均为n阶方阵,A=6,B=1,C= B

2


  -1
O


,则C=_____.
(2)设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,当m>n时,AB=_____.
 1 0 1
(3)设A,B均为3阶方阵,满足A2B-A-B=E,若A=  0 2 0

-2 0 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则B=_____.
·第12页，共120页·(4)设A是3阶方阵,且满足A-E=A+2E=2A+3E=0,则2A*-3E=_____.
(5)设A是3阶方阵,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,且Aα
1
=α
1
+α
2
,Aα
2
=α
2
+α
3
,Aα
3
=α
3
+α
1
,则A=____
_.
(6)设α,β,α ,α ,α 均为4维列向量, A= α,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3
 ,B= β,α ,α ,α
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,且 A =2,B =1,则
A-1+B-1 =_____.
·第13页，共120页·0 1 0 ⋯ 0
0 0 2 ⋯ 0 
(7)设n阶行列式A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,则A的第k行元素的代数余子式之和A
k1
+A
k2
+⋯
0 0 0 ⋯ n-1
n 0 0 ⋯ 0
+A =_____.
kn
三、解答题
b-a2 -a a ⋯ -a a
1 1 2 1 n
 
-a a b-a2 ⋯ -a a
(1)计算n阶行列式D = 2 1 2 2 n .
n
⋮ ⋮ ⋮
-a a -a a ⋯ b-a2
n 1 n 2 n
a+b a ⋯ a
1

a a+b ⋯ a
(2)计算n阶行列式D = 2
n
⋮ ⋮ ⋮
a a ⋯ a+b
n

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.
·第14页，共120页·a -1 0 ⋯ 0 0
0
 a 1 x -1 ⋯ 0 0 
a 0 x ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D = 2 .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a 0 0 ⋯ x -1
n-2
a 0 0 ⋯ 0 x
n-1
a b 0 ⋯ 0 0
c a b ⋯ 0 0
0 c a ⋯ 0 0
(4)计算D n = a2-4bc≥0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
0 0 0 ⋯ c a

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.
·第15页，共120页·拓展题
解答题
(1)设矩阵A为3阶非零实矩阵,AT=A*,且E+A=E-A=0,计算行列式A2-A-3E.
(2)设A为3阶非零实矩阵,且AT=kA*(k为非零常数).
(I)证明:A是可逆矩阵;
(II)求行列式A-1 + A* 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
-1  .
·第16页，共120页·O A*
(3)设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,计算行列式 A⋅
-2E A

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
  .
2 2 2 2
 
1 a a a 4 4
1 2 3
(4)设行列式A=
1 b b b
=1,A
ij
是A中元素a
ij
的代数余子式,求A
ij
.
1 2 3 i=1j=1
1 c c c
1 2 3
·第17页，共120页·第八章 矩阵
基础题
一、选择题
(1)设A=a ij 
a 21 a 22 +a 23 a 23

3×3 ,B=a 31 a 32 +a 33 a 33 
a a +a a
11 12 13 13
 0 1 0

,P= 0 0 1 
1 0 0
 1 0 0

,Q= 0 1 0 
0 1 1

,则B=( ).
A. AQP B. PAQ C. QAP D. APQ
(2)设A是nn≥3  阶可逆方阵,下列结论正确的是( ).
①A*  -1 =A-1  * ②kA  * =kn-1A* k≠0 
③A*  T =AT  * ④A*  * n-2 =A A
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
 1 0 1
 (3)设A= 2 1 0

-3 2 -5

,则行列式 E-A  *  
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
-1  =( ).
1 1 1 1
A. B. - C. D. -
4 4 16 16
·第18页，共120页· 1 1 1

0 1 0
(4)设矩阵A= 
 2 k 3

k-1 5 1
 1 1 1

0 1 -1
与B= 
2 3 k

3 5 1

等价,则( ).
A. k=1 B. k≠1 C. k=-1 D. k≠-1
1 0 -1
 (5)设A= 2 a 1

1 2 1

,B是3阶矩阵,且rB  =2,rAB  =1,A*与B*分别是A与B的伴随矩阵,则正
确的是( ).
A* O
A. r 
A B



 
 A O
=3 B. r 
O B*



 
 A* B
=3 C. r 
O A



 
 A B*
=3 D. r 
O B



 

=3
(6)设A,B分别为m×n,n×s矩阵,且AB=C,则正确的是( ).
A. 若rC  =m,则rA  ≤m B. 若rC  =s,则rB  ≤s
C. 若rA  =n,则rB  ≤rC  D. 若rA  =n,则rB  =rC 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
·第19页，共120页·二、填空题
(1)设α=1,2,3  T 1 1 ,β=1, ,
2 3
 T ,A=αβT,则An=_____.
(2)设α=2,-1,3  T ,β=1,2,0  T ,A=αβT,E是3阶单位矩阵,则A+E  n =_____.
1 0 1
 (3)设A= 0 2 0

1 0 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则An=_____.
·第20页，共120页·0 -1 0
 (4)设B= 1 0 0

0 0 1

,A=P-1BP,则A4-2B2=_____.
(5)设A是n阶方阵,且A=2,将A的第i行与第j行互换得到B,则行列式B-1B*BT =_____.
1 2 3 4

2 3 4 5
(6)设A= 
3 4 5 6

4 5 6 7

,则rA 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=_____.
·第21页，共120页·(7)若An=O,n为正整数,则E-A  -1 =_____.
(8)若An=E,n为正整数,则A* 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
n =_____.
(9)设方阵A满足A2-3A-2E=O,则A-1=_____.
·第22页，共120页·(10)设方阵A满足A2=A,则A+E  -1 =_____.
(11)设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行和第j行交换得B,则行列式AB-1 =_____.
x

(12)设存在3阶矩阵A,对任意的x,y,z有A y

z
 z

= x

y

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则A=_____.
·第23页，共120页·(13)设α=k,0,⋯,0,k  T k≠0  1 ,且A=E-ααT,A-1=E+ ααT,则k=_____.
k
三、解答题
2 -1 3
 (1)设A= a 1 b

4 c 6

,且BA=O,B是3阶方阵,rB 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
>1,求An.
(2)设α,β是n维列向量,且αTβ=2,证明:A=E+αβT可逆,并求A-1.
·第24页，共120页·1 1 1
(3)设A-1=  1 2 1

1 1 3

,求A*  -1 .
2 1 1
 (4)设A= 1 2 1

1 1 2

,证明:A2=5A-4E,并求A-1.
(5)设方阵A,B满足B≠0,A-E  -1 =B-E 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,求A-1(用B表示).
·第25页，共120页·1 0 0
 (6)设A= 2 3 0

0 4 5

,B=E+A  -1 E-A  ,求 E+B  2   -1 .
(7)已知方阵A,B,A+B  均可逆,求A-1+B-1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
-1 .
(8)设AB=BA,A可逆,证明:A-1B=BA-1.
·第26页，共120页·(9)设A,B都是n阶方阵,且A2=A,B2=B,A+B 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
2 =A+B,证明:AB=BA.
(10)设A为2n+1阶正交矩阵,且A=1,证明:A-E不可逆.
(11)设n阶方阵A,B,满足A2=E,B2=E,且A+B=0,证明:A+B不可逆.
·第27页，共120页· 1 0 1
 (12)设A= 0 2 0

-1 0 1

,AB+E=A2+B,求B.
0 2
(13)设A=
1 2
 ,且ATB-1  T -ABTA  -1 =E-B-1  T ,求B.
1
 0 0
 3
 1 (14)设A= 0 0
 4
 1
0 0
 7

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,A-1BA=6A+BA,求B.
·第28页，共120页·0 1 0

(15)设A= 1 0 0

0 0 1
 1 0 0

,B= 0 0 1

0 1 0
 1 -4 3

,C= 2 0 -1

1 -2 0

,且AXB=C,求矩阵X.
1 2
(16)设矩阵A满足A
0 1

2 1
=
3 2
 A,求矩阵A.
综合题
一、选择题
1 2 k

(1)设A= 1 k+1 1

k 2 1

,B是3阶非零矩阵,且AB=O,则( ).
A. 当k=1时,rB  =1 B. 当k=-3时,rB  =1
C. 当k=1时,rB  =2 D. 当k=-3时,rB 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=2
·第29页，共120页·a b b
 (2)设A= b a b

b b a

a,b均不为0  ,且rA*  =1,则必有( ).
A. a=b B. a=b或a+2b≠0
C. a+2b=0 D. a≠b且a+2b≠0
a 11 a 12 a 13
 (3)设A=a
21
a
22
a
23 
a a a
31 32 33
 0 0 1
 ,P= 0 1 0

1 0 0

,且PnAPm=A,则正整数n,m可以为( ).
A. n=m=4 B. n=5,m=4 C. n=4,m=5 D. n=m=5
O A
(4)设A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,矩阵
B E

A B
,
O E

A AB
,
E B

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
的秩分别为r ,r ,r ,则
1 2 3
正确的是( ).
A. r ≥r ≥r B. r ≥r =r C. r ≥r ≥r D. r ≥r ≥r
2 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1
·第30页，共120页·(5)下列命题中,正确的是( ).
①若A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,则BCA=CAB；
②若A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆；
③若A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆;
④若n阶矩阵A,B满足AB  2 =E,则BA  2 =E.
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题
A O
(1)设A,B是n阶方阵,A=2,B=3,A*,B*分别是A,B的伴随矩阵,C=
O B

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则C*=_____.
(2)设A是n阶可逆矩阵,A的每行元素之和均为k,则A-1的每行元素之和均为_____.
·第31页，共120页· 1 -1 -1 -1

-1 1 -1 -1
(3)设A= 
-1 -1 1 -1

-1 -1 -1 1

,则An n≥1  =_____.
0 1 0 0

0 0 1 0
(4)设A= 
0 0 0 1

0 0 0 0

,则E+A  -1 =_____.
三、解答题
0 0 0 1

0 0 0 2
(1)设A= 
0 0 0 3

3 2 1 0

,求An n≥1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.
·第32页，共120页·-1 1 1 -1

1 -1 -1 1
(2)设A= 
 1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

,证明:A2+4A=O,并求E+A  -1 .
0 1 0
 (3)设A= 1 0 0

0 1 1

,证明:An=An-2+A2-En≥3  ,并计算A100.
 1 1 2

(4)设A= 0 -2 -4

-1 -1 -1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,证明:A可逆,并将A表示为初等矩阵的乘积.
·第33页，共120页·1 0 0
 (5)设A= 0 -2 0

0 0 1

,且A*BA=2BA-8E,求B.
 1 0 1

(6)设矩阵X满足 2 1 -1

-1 -1 2
  0 1

X= 2 0

-2 1

,求X.
A C
(7)设分块矩阵P=
O B

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
为正交矩阵,A,B分别是m阶和n阶方阵,证明:A与B是正交矩阵.
·第34页，共120页·拓展题
解答题
3 2 2
 (1)设A= 0 1 1

0 0 3
 1 0 0
 ,B= 0 0 0

0 0 -1

,若矩阵X满足AX+2B=BA+2X,求X2.
(2)设列向量α=1,2,1  T 1 ,β=1, ,0
2
 T ,γ=0,0,8 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,A=αβT,B=βTα,且2B2A2x=A4x+B4x+γ,
求x.
·第35页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
第九章 向量组
基础题
一、选择题
(1)若α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,则( ).
1 2 3 2 3 4
A. α 可由α ,α 线性表示 B. α 可由α ,α ,α 线性表示
1 2 3 4 1 2 3
C. α 可由α ,α 线性表示 D. α 可由α ,α 线性表示
4 1 3 4 1 2
(2)向量组α ,α ,⋯,α 线性无关等价于( ).
1 2 n
A. 存在一组不全为0的数,使其线性组合不为0
B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示
C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示
D. 其中任意两个向量线性无关
(3)设向量组α ,α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线性无关的是( ).
1 2 3 4
A. α +α ,α +α ,α +α ,α +α B. α +α ,α +α ,α +α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
C. α +α ,α -α ,α +α ,α -α D. α -α ,α -α ,α -α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
·第36页，共120页·(4)设向量组I  β 1 ,β 2 ,⋯,β t ,II  α ,α ,⋯,α ,则下列命题 1 2 s
①若向量组(I)可由(II)线性表示,且s<t,则必有(I)线性相关,
②若向量组(II)可由(I)线性表示,且s<t,则必有(I)线性相关,
③若向量组(I)可由(II)线性表示,且(I)线性无关,则必有s≥t,
④若向量组(II)可由(I)线性表示,且(I)线性无关,则必有s≥t,
正确的是( ).
A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④
(5)设α =a ,a ,a
1 1 2 3
 T ,α =b ,b ,b
2 1 2 3
 T ,α =c ,c ,c
3 1 2 3
 T ,其中a2+b2≠0(i=1,2,3),则三条直线a x
i i i
+b i y+c i =0i=1,2,3  恰好仅交于一点的充要条件是( ).
A. rα ,α ,α
1 2 3
 =3 B. rα ,α ,α
1 2 3
 =1
C. rα ,α ,α
1 2 3
 =rα ,α
1 2
 D. rα ,α ,α
1 2 3
 =rα ,α
1 2

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=2
(6)设α ,α ,α 均为3维向量,则对任意常数k和μ,向量组α +kα ,α +μα 线性无关是向量组α ,α ,
1 2 3 1 3 2 3 1 2
α 线性无关的( ).
3
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
·第37页，共120页·1

0

(7)设α =0
1
0

c
1
 1

2

,α =2
2
0

c
2

-1

2
 ,α =
3  3

 c
3
 -2

1
 ,α =
4  5

 c
4

,其中c ,c ,c ,c 为任意常数,则( ).
1 2 3 4
A. α ,α ,α 线性无关 B. α ,α ,α 线性相关
1 2 3 1 2 3
C. α ,α ,α ,α 线性无关 D. α ,α ,α ,α 线性相关
1 2 3 4 1 2 3 4
(8)设向量组α ,α ,α -2α +α 线性无关,则下列向量组线性无关的是( ).
1 2 1 2 3
A. α +α ,α +α ,α -α B. α ,α ,α
1 2 2 3 3 1 1 2 3
C. α -α ,α -α ,α -2α +α D. α +α ,α +α ,α +2α +α
1 2 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
二、填空题
(1)已知向量α 1 =1,2,3  T ,α 2 =2,-1,1  T ,α 3 =-2,k,4 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T线性相关,则k=_____.
·第38页，共120页·(2)设向量组I  α 1 =1,1,2  T ,α 2 =2,3,3  T ;II  β 1 =2,3,5  T ,β 2 =-1,0,1  T ,则既可由(I)线性表
示,又可由(II)线性表示的非零列向量为_____.
三、解答题
(1)设向量组α 1 =0,4,2  T ,α 2 =1,1,0  T ,α 3 =-2,4,3  T ,α 4 =-1,1,1  T ,求α ,α ,α ,α 的一个极大 1 2 3 4
线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示.
(2)设α 1 =1,0,2,3  T ,α 2 =1,1,3,5  T ,α 3 =1,-1,a,1  T ,β=1,b,4,7 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,问:当a,b为何值时,β不能由
α ,α ,α 线性表示?a,b为何值时,β可由α ,α ,α 线性表示?写出表达式.
1 2 3 1 2 3
·第39页，共120页·(3)设向量组α 1 =1,2,-3  T ,α 2 =3,0,1  T ,α 3 =9,6,-7  T与向量组β 1 =0,1,-1  T ,β 2 =k,2,1  T ,β 3
=μ,1,0  T有相同的秩,且β 可由α ,α ,α 线性表示,求k,μ的值. 3 1 2 3
(4)设有向量组I  α 1 =2,3,5  T ,α 2 =0,1,2  T ,α 3 =1,0,0  T ,II  β 1 =3,1,2  T T ,β =(1,1,1) ,β = 2 3
1,1,-1  T ,β 4 =2,1,0 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,证明:向量组(I)与(II)等价.
(5)设向量组α ,α ,⋯,α 线性无关,且可由向量组β ,β ,⋯,β 线性表示,证明:这两个向量组等价.
1 2 k 1 2 k
·第40页，共120页·(6)设向量组(I)α 1 ,α 2 ,⋯,α s ,(II)β 1 ,β 2 ,⋯,β t ,rI  =rII  ,且向量组(I)可由(II)线性表示.证明:向
量组(I)与(II)等价.
(7)设向量组I  α 1 ,α 2 ,α 3 ,II  α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,II  α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 5 ,且rI  =rII  =3,rIII 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=4,证明:向量组
α ,α ,α ,α -α 的秩为4.
1 2 3 5 4
(8)设A是3阶方阵,α ,α 为A的分别属于特征值-2,1的特征向量,且Aα =α +α ,证明:α ,α ,α
1 2 3 2 3 1 2 3
线性无关.
·第41页，共120页·(9)设矩阵A 5×4 的秩为2,α 1 =1,1,2,3  T ,α 2 =-1,1,4,-1  T ,α 3 =5,-1,-8,9  T是方程组Ax=0的
解向量,求Ax=0的基础解系,并将其正交单位化.
综合题
一、选择题
(1)设A是m×n矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,向量组(I)α ,α ,⋯,α,(II)Aα ,Aα ,⋯,Aα,则正确
1 2 t 1 2 t 1 2 t
的是( ).
A. 若(I)线性无关,则(II)线性无关 B. 若(II)线性相关,则(I)线性相关
C. 若(II)线性无关,则(I)线性无关 D. (I)与(II)具有相同的线性相关性
(2)设三维列向量α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,记β ,β ,β
1 2 3 2 3 4 1 2 3
 =α ,α ,α
1 2 3
 A ,γ ,γ ,γ
3×3 1 2 3
 =
α ,α ,α
2 3 4

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
B ,则( ).
3×3
A. 存在矩阵A ,使得β ,β ,β 线性无关 B. 不存在矩阵A ,使得β ,β ,β 线性相关
3×3 1 2 3 3×3 1 2 3
C. 存在矩阵B ,使得γ ,γ ,γ 线性无关 D. 不存在矩阵B ,使得γ ,γ ,γ 线性相关
3×3 1 2 3 3×3 1 2 3
·第42页，共120页·(3)设向量α ,α ,α 满足k α +k α +k α =0,k ,k ,k 为常数,且k k ≠0,则( ).
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 3
A. α 与α 等价 B. α ,α 与α ,α 等价
1 3 1 2 1 3
C. α ,α 与α ,α 等价 D. α ,α 与α ,α 等价
1 2 2 3 1 3 2 3
(4)设n维向量组I  α 1 ,α 2 ,⋯,α kk<n  线性无关,则n维向量组II  β ,β ,⋯,β 也线性无关的充要 1 2 k
条件是( ).
A. β ,β ,⋯,β 可由α ,α ,⋯,α 线性表示 B. α ,α ,⋯,α 可由β ,β ,⋯,β 线性表示
1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k
C. 向量组(I)与向量组(II)等价 D. 矩阵α ,α ,⋯,α
1 2 k
 与β ,β ,⋯,β
1 2 k
 等价
(5)设4维列向量α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,β ii=1,2,3,4  为非零列向量,且β 与α ,α ,α 均正交,则 i 1 2 3
rβ ,β ,β ,β
1 2 3 4

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第43页，共120页·(6)设A,B均是m×n矩阵,则Ax=0与Bx=0同解的充要条件是( ).
A. A,B的列向量组等价 B. A,B的行向量组等价
C. A,B是等价矩阵 D. ATx=0与BTx=0同解
(7)设A,B为n阶矩阵,P,Q为n阶可逆矩阵,下列选项错误的是( ).
A. 若A=BQ,则B的列向量组与A的列向量组等价
B. 若A=PB,则B的行向量组与A的行向量组等价
C. 若A=PBQ,则矩阵A与B等价
D. 若A=PBQ,则B的行(列)向量组与A的行(列)向量组等价
(8)设A,B分别为m×n与n×s矩阵,且rA 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=n,则正确的是( ).
A. AB的列向量组与B的列向量组等价 B. AB的行向量组与B的行向量组等价
C. AB的列向量组与A的列向量组等价 D. AB的行向量组与A的行向量组等价
·第44页，共120页·二、填空题
(1)设向量组α 1 =1,k+2,3  T ,α 2 =2,-1,1  T ,α 3 =k-1,1,-1  T线性相关,但任意两个向量线性无
关,则k=_____.
三、解答题
1 0 0 0

(1)设A= 1 2 0 0

2 4 3 -3

=α ,α ,α ,α
1 2 3 4

1 0 0 0

,B= 0 2 0 0

0 0 3 0

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.
(I)求向量组α ,α ,α ,α 的一个极大线性无关组；
1 2 3 4
(II)求可逆矩阵P ,Q ,使得PAQ=B.
3×3 4×4
·第45页，共120页·(2)设向量组α 1 =1,0,1  T ,α 2 =0,1,1  T ,α 3 =1,3,5  T不能由向量组β 1 =1,1,1  T ,β 2 =1,2,3  T ,β 3
=3,4,a  T线性表示,求a的值,并将β ,β ,β 用α ,α ,α 线性表示. 1 2 3 1 2 3
(3)设 A = α ,α ,α 1 2 3  ,其中 α 1 = 1,0,1  T ,α 2 = 1,1,2  T ,α 3 = 1,2,a  T ,B = β , β 1 2  ,其中 β = 1
-1,2,1 
T
,β 2 =1,0,b 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T
.
(I)问a,b为何值时,β ,β 不能同时由α ,α ,α 线性表示?
1 2 1 2 3
(II)问a,b为何值时,β ,β 可同时由α ,α ,α 线性表示?并求表达式.
1 2 1 2 3
·第46页，共120页·(4)设n维向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α kk<n  线性无关,且α =λ α +λ α +⋯+λ α ,λ ≠0,i=1,2,⋯,k, k+1 1 1 2 2 k k i
证明:α ,α ,⋯,α ,α 中任何k个向量都线性无关.
1 2 k k+1
(5)设矩阵A=α 1 ,α 2 ,⋯,α m 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,α 为n维列向量,i=1,2,⋯,m,且m≤n,证明:α ,α ,⋯,α 线性无关 i 1 2 m
的充分必要条件是ATA≠0.
·第47页，共120页·(6)设A是3阶方阵,A的特征值为λ 1 =1,λ 2 =2,λ 3 =3,对应的特征向量分别为α 1 =1,1,1  T ,α = 2
1,2,4  T ,α 3 =1,3,9  T ,另一向量β=1,1,3  T .
(I)将β用α ,α ,α 线性表示；
1 2 3
(II)求Anβ(n为正整数).
(7)设A是m×n矩阵,α 与α 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解.
1 2
(I)证明:α ,α -α 线性无关;
1 1 2
(II)若β是Ax=0的一个非零解向量,rA 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=n-1,证明:β,α ,α 线性相关. 1 2
·第48页，共120页·  x 1 -3x 2 +x 3 =2,

(8)设α ,α ,α 是方程组 2x +x -x =-1, 的解向量,证明:α -α ,α -α 线性相关.
1 2 3  1 2 3 1 2 1 3

 7x -2x =-1
1 3
(9)设A是3阶矩阵,α ii=1,2,3  是3维非零列向量,且Aα i =iα ii=1,2,3 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,α=α +α +α ,证明:α, 1 2 3
Aα,A2α线性无关.
·第49页，共120页·1 1 2 5

(10)设矩阵A= 1 2 2 6

1 a 2 5a

的秩为2.
(I)求a的值;
(II)求A的列向量组的一个极大线性无关组α ,α ,并求矩阵H,使得A=GH,其中G=α ,α
1 2 1 2
 .
拓展题
(1)设向量组α 1 =1,1,1,2  T ,α 2 =3,a+4,2a+5,a+7  T ,α 3 =4,6,8,10  T T ,α =(2,3,2a+3,5) ,α= 4
0,1,3,b 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T
.
(I)求向量组α ,α ,α ,α 的秩及其一个极大线性无关组；
1 2 3 4
(II)若α不能由α ,α ,α ,α 线性表示,求a,b的取值.
1 2 3 4
·第50页，共120页·(2)设A=α ,α ,α 1 2 3  ,α 1 =0,3,c  T ,α 2 =a,2,1  T ,α 3 =b,1,0  T ,B=β ,β ,β 1 2 3  ,β 1 =1,2,-3  T ,β = 2
3,0,1  T ,β 3 =9,6,-7  T ,且rA  =rB 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,α ,α 可由β ,β ,β 线性表示. 2 3 1 2 3
(I)求a,b,c的值;
(II)若BX=A,求矩阵X.
·第51页，共120页·第十章 线性方程组
基础题
一、选择题
(1)已知η ,η 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,ξ ,ξ 是对应齐次线性方程组Ax=0的基础
1 2 1 2
解系,k ,k 为任意常数,则Ax=b的通解为( ).
1 2
A. k ξ +k ξ +ξ
1 1 2 1 2

η -η
+ 1 2 B. k ξ +k ξ -ξ
2 1 1 2 1 2

η +η
1 2 +
2
C. k ξ +k η +η
1 1 2 1 2

η -η
+ 1 2 D. k ξ +k η -η
2 1 1 2 1 2

η +η
1 2 +
2
(2)设A是nn≥3 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,线性方程组AX=0有两个线性无关的解,则( ).
A. AX=0与A*X=0同解 B. A*X=0的解均是AX=0的解
C. AX=0的解均是A*X=0的解 D. AX=0与A*X=0没有非零公共解
(3)设A是n阶矩阵,对方程组(I)Ax=0和(II)ATAx=0,必有( ).
A. (II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解
B. (II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解
C. (I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(I)的解
D. (I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解
·第52页，共120页·(4)设A是n阶矩阵,若对任意的n维列向量α,有A*α=0,则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k
满足( ).
A. k=0 B. k=1 C. k>1 D. k=n
λx +x +λ2x =0,
 1 2 3

(5)设方程组 x +λx +x =0, 的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则必有
 1 2 3

 x +x +λx =0
1 2 3
( ).
A. λ=-2且B=0 B. λ=-2且B≠0 C. λ=1且B=0 D. λ=1且B≠0
2x -3x +x =b , 1 2 3 1
(6)设方程组 x 1 -2x 2 +x 3 =b 2 ,有解,则 
 

. 

 2x +kx +3x =b
1 2 3 3
A. 当k≠-5时,b ,b ,b
1 2 3

T
为任意非零列向量
B. 当k=-5时,b ,b ,b
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T
为任意列向量
C. 当k=-5时,b +b =4b
1 3 2
D. 当k≠-5时,b +b =4b
1 3 2
·第53页，共120页·(7)设矩阵A ,B ,则( ).
m×n n×m
A. 当m>n时,AB必可逆 B. 当m>n时,必有AB=0
C. 当n>m时,必有rAB  <m D. 当n>m时,ABx=0必有唯一解
(8)设矩阵A ,B 满足AB=E,其中E是单位矩阵,α与β为非零列向量,则正确的是( ).
m×n n×m
A. 方程组AX=α有唯一解,方程组BX=β有唯一解
B. 方程组AX=α有无穷多解,方程组BX=β有无穷多解
C. 方程组AX=0仅有零解,方程组BX=β有解
D. 方程组AX=α有解,方程组BX=0仅有零解
二、填空题
x +2x +x =3, 1 2 3
(1)设方程组 2x 1 +k+4 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
 

x -5x =6,有无穷多解,则k=_____.  2 3

 -x -2x +kx =-3
1 2 3
·第54页，共120页·1 2 1
 (2)设A= 2 3 a+2 
1 a -2

,β 1 =1,3,4  T ,β 2 =0,1,2 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,若方程组AX=β 有解,且AX=β 无解,则a 1 2
=_____.
三、解答题
  2x 1 -x 2 +4x 3 -3x 4 =-4,
x +x -x =-3,
1 3 4
(1)求方程组 的通解.

3x +x +x =1,
 1 2 3
 7x +7x -3x =3
1 3 4
  2x 1 +λx 2 -x 3 =1,

(2)设方程组 λx -x +x =2, 问:当λ为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当有
 1 2 3

 4x +5x -5x =-1,
1 2 3
无穷多解时,求其通解.
·第55页，共120页·x +x =0, x -x +x =0,
 1 2  1 2 3
(3)设有方程组①

与②

求:
x -x =0 x -x +x =0.
2 4 2 3 4
(I)方程组①与②的基础解系;
(II)方程组①与②的非零公共解.
x +x =0,
 1 2 (4) 设有方程组 (I) (II)Ax = 0, 其中 (II) 的基础解系为 α 1 = -1,2,2,1
x -x =0,
2 4
 T ,α = 2
0,-1,-1,0 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,求方程组(I)与(II)的非零公共解.
·第56页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
  x 1 -x 4 =-2,   x 1 +ax 2 -x 3 -x 4 =-5,
 
(5)设有方程组:① x -x =-4, ② bx -x -2x =-11,
 2 4  2 3 4
 
 -4x -x +6x =21,  x -2x =-c+1.
2 3 4 3 4
(I)求方程组①的通解;
(II)当a,b,c为何值时,方程组①与②同解?
(6)设n阶矩阵A满足A=0,A
ij
为A的元素a
ij
对应的代数余子式,且A
11
≠0,求方程组A*x=0的
基础解系和通解.
·第57页，共120页·(7)已知4×3矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,-1  T +k1,-2,3  T ,k为
任意常数,令B=α ,α ,α ,β+α
1 2 3 3
 ,求方程组By=α -α 的通解.
1 2
(8)设A是5×4矩阵,rA  =2,已知α ,α ,α 是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且α +α 1 2 3 1 2
=4,6,-8,4  T ,α 3 =1,2,-1,1  T ,又0,1,-3,0  T是Ax=0的解,求Ax=b的通解.
1 0 1

(9)设A,B均为3阶矩阵,A= 2 a 0

1 1 -1

,rB  =2,rAB 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=1.求a的值,并求方程组Ax=0的通解.
·第58页，共120页·综合题
一、选择题
(1)设A是m×n矩阵,m<n,且A的行向量组线性无关,b ,b 分别为m维、n维非零列向量,则下列
1 2
选项错误的是( ).
A. ATx=0只有零解 B. ATAx=0必有非零解
C. Ax=b 必有无穷多个解 D. AT=b 必有唯一解
1 2
(2)设A是m×n矩阵,则非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是( ).
A. rA⋮b  <n B. Ax=0有非零解
C. Ax=b有两个不同解 D. A的列向量组线性相关
(3)设AT=α ,α ,⋯,α 1 2 n-1  是n×n-1  矩阵,rAT  =n-1,β ,β 是与α ,α ,⋯,α 都正交的两 1 2 1 2 n-1
个不同的n维列向量,k是任意常数,则方程组Ax=0的通解为( ).
A. kβ -β
1 2
 B. kβ +β
1 2

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C. kβ D. kβ
1 2
·第59页，共120页·(4)设向量组α 1 =1,1,a  T ,α 2 =1,-2,b  T ,α 3 =-2,1,c  T的秩为a,若β=1,2,0  T可由α ,α ,α 线 1 2 3
性表示,且表示法不唯一,则( ).
A. a=2,b=8,c=-10 B. a=2,b=8,c=10
C. a=1,b=-8,c=10 D. a=1,b=-8,c=-10
(5)设n维实列向量α满足αTα=2,A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,且AE-2ααT  =B.则( ).
A. 方程组BX=0与方程组E-2ααT  X=0同解
B. 方程组BTX=0与方程组E-2ααT  X=0同解
C. 方程组BX=0与方程组AX=0同解
D. 方程组BTX=0与方程组ATX=0同解
(6)设A为n阶矩阵,下列命题中正确的是( ).
①AnX=0与An+1X=0同解; ②An+1X=0的解不一定是AnX=0的解;
③AnX=0与AT

n AnX=0同解; ④AT

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n AnX=0的解不一定是AnX=0的解.
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
·第60页，共120页·(7)设n阶非零实矩阵A满足AT+A=O,X为n维实列向量,则下列选项正确的是( ).
A. 方程组AX=X有无穷多解 B. 方程组AX=-X有无穷多解
C. 方程组AX=X只有零解 D. 方程组AX=-X无解
(8)设A是n阶实对称矩阵,B是n阶实矩阵,若对任意n维非零列向量α,都有αT AB+BTA  α>0,则
下列选项正确的是( ).
A. 方程组ABX=α有无穷多解 B. 方程组ABX=α无解
C. 方程组AX=α有唯一解 D. 方程组AX=α无解
二、填空题
(1)设α ,α ,α ,β均为三维列向量,A=β-α -2α -3α ,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3 1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则方程组Ax=β的一个特解为_
____.
·第61页，共120页·(2)设A=a ij  3×3 为实矩阵,且A ij =a iji,j=1,2,3  ,其中A ij 为a ij 的代数余子式,a 33 =1,A=1,则
x 1

方程组Ax
2 
x
3
 0

= 0

1

的解为_____.
3
(3)设A是2阶矩阵,线性方程组AX=
2
 的通解为k-2,1  T +3,-4  T .若β=5,-10 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,则βTAβ
=_____.
(4)设A为3阶矩阵,α为3维非零列向量,向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α+2A2α-3Aα=0,则trA
=_____.
·第62页，共120页·三、解答题
(1)设A是m×n矩阵,rA  =n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α ,α ,α 满足α +α = 1 2 3 1 2
1,2,3,4  T ,α 2 +2α 3 =-2,1,5,3  T ,2α 3 +3α 1 =11,5,-6,7  T ,求方程组Ax=b的通解.
(2)设A=α ,α ,α ,α 1 2 3 4  是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,2,1  T +k1,-2,4,0  T ,
k为任意常数,记B=α ,α ,α ,β-α
3 2 1 4
 .
(I)证明:rB 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=2;
(II)求方程组Bx=α -α 的通解.
1 2
·第63页，共120页·(3)设A为3×4矩阵,rA  =1,若向量组α 1 =1,2,0,2  T ,α 2 =-1,-1,1,a  T ,α 3 =1,-1,a,5  T ,α = 4
2,a,-3,-5 
T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解.
(4)设A是3阶方阵,A=a
ij
 ,且a =A ,i,j=1,2,3,其中A 为a 的代数余子式,a ≠0,b=
3×3 ij ij ij ij 33
a ,a ,a
13 23 33

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T
,求非齐次线性方程组Ax=b的解.
·第64页，共120页·(5)设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解.
(6)设A是3阶矩阵,向量β=3,3,3  T ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为k 11,2,-2  T +k 22,1,2  T
+1,1,1  T ,k ,k 为任意常数. 1 2
(I)证明:任意3维列向量α可由A的三个特征向量线性表示;
(II)若α=1,2,-1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,求Aα.
·第65页，共120页·(7)设n阶方阵 A的行列式 A =0,A有一个代数余子式 A
ij
≠0,证明:Ax=0的通解为kA
i1
,
A ,⋯,A
i2 in

T
,k为任意常数.
(8)设4维列向量组α ,α ,α ,α ,且α ,α ,α 线性无关,α =α +α +2α ,B=
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
α -α ,α +α ,-α +kα +α
1 2 2 3 1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,方程组Bx=α 有无穷多解.求:
4
(I)k的值;
(II)方程组的通解.
·第66页，共120页·a-3 -1 2

(9)设A= -1 a-3 2

 -1 -1 a

,且rE-A  =1.
(I)求a的值;
(II)若非零列向量α,β满足A-E  α=β,A2-E  α=2β,求α,β.
-1 0 1
(10)设A=
-1 1 a

-1 1
 ,B= -1 1

 b 2

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.
(I)若方程组AX=0的解均是BTX=0的解,但这两个方程组不同解,求a,b的值；
(II)若方程组AX=0与BTX=0有非零公共解,求a,b的值,并求全部非零公共解.
·第67页，共120页·2 0 0 2

(11)设A= 1 1 0 3

0 1 3 5
 1 0 1 2

,B= 0 2 0 4

0 -1 a-1 a-3
 2

,α= 2

1
  1

,β= 2

-1

.
(I)证明:方程组AX=α的解均是方程组BX=β的解;
(II)若方程组AX=α与方程组BX=β不同解,求a的值.
a 1 1
 (12)设矩阵A= 0 a-1 0

1 1 a
 b
 不可逆,β= 1

1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.已知方程组ATX=0的解均是βTX=0的解.
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第68页，共120页·拓展题
解答题
 1 -2 3
 (1)设A=a 21 a 22 a 23

a a a
31 32 33

有特征向量α 1 =1,2,1  T ,α 2 =-1,1,1  T ,α 3 =-1,3,2  T ,求方程组
  x 1 -2x 2 +3x 3 =-1,

a x +a x +a x =3,的通解.
 21 1 22 2 23 3

 a x +a x +a x =2
31 1 32 2 33 3
 1 2a 1
1 
(2)设A= -1 2 2b
2 
 2 2c - 2

.
(I)若A是正交矩阵,求a,b,c的值；
1

(II)当A为正交矩阵时,求方程组Ax= 1

1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
的解.
·第69页，共120页·第十一章 相似矩阵
基础题
一、选择题
1
(1)设λ=2是矩阵A的一个特征值,且A≠0,则 A2
3

-1
有一个特征值为( ).
4 3 1 1
A. B. C. D.
3 4 2 4
(2)设4阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,3,则rA  =( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(3)设C=diag1,2,2 
2 0 0

,A= 0 2 1

0 0 1
 2 1 0

,B= 0 2 0

0 0 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则( ).
A. A与C相似,B与C不相似 B. A与C相似,B与C相似
C. A与C不相似,B与C相似 D. A与C不相似,B与C不相似
·第70页，共120页·(4)下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ).
 1 -1 3

A. A= -1 2 0

 3 0 6
 1 0 0

B. B= 0 2 0

5 0 3

0 0 0

C. C= 0 0 0

1 2 3
 1 2 0

D. D= 0 0 3

0 0 0

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
(5)设矩阵A与B相似,则必有( ).
A. 矩阵λE-A与λE-B相等 B. A,B同时可逆或不可逆
C. A和B有相同的特征向量 D. A和B均与同一个对角矩阵相似
(6)设A为3阶方阵,A的三个特征值为1,1,2,α ,α ,α 分别为对应的三个特征向量,则( ).
1 2 3
A. α ,α ,α 必为2E-A的特征向量
1 2 3
B. α +α 必为2E-A的特征向量
1 3
C. α -α 必为2E-A的特征向量
1 2
D. α ,α 必为2E-A的特征向量,α 不是2E-A的特征向量
1 2 3
·第71页，共120页·(7)设3阶实矩阵A有三重特征值1,fx  =xE-A-A-1 ,其中E是3阶单位矩阵,x∈R,则至少存
在一点x 0 ∈0,1  ,使得y=fx  在点 x ,fx 0 0    处的切线( ).
A. 平行于直线y=1 B. 垂直于直线y=1 C. 平行于直线y=x D. 垂直于直线y=x
1 0 0
(8)设P-1AP=  0 2 0

0 0 2

,α 是A的特征值λ =1对应的特征向量,α 与α 是A的特征值λ =λ =
1 1 2 3 2 3
2对应的特征向量,则下列选项中关于矩阵P的可能取值错误的是( ).
A. P=α ,α ,α
1 3 2
 B. P=α ,-2α ,3α
1 2 3

C. P=α ,α -α ,α +2α
1 2 3 2 3
 D. P=α +α ,α +α ,α
1 2 1 3 3

二、填空题
1 2 2

(1)已知A= 2 1 2

2 2 1
 -1 0 0

与B= 0 5 0

 0 0 a

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
相似,则a=_____.
·第72页，共120页·(2)设n阶方阵B=AA*,则B的特征值为_____.
(3)设方阵A满足A2+2A+E=O,则A有特征值_____.
(4)设A是3阶实对称矩阵,A的特征值为1,1,-2,且λ 3 =-2对应的特征向量为ξ 3 =1,1,-1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,则A
=_____.
·第73页，共120页·2 0 0

(5)设A= 0 0 1

0 1 a
 2 0 0

与B= 0 3 4

0 -2 b

相似,则a=_____,b=_____.
3 2 -1
 (6)设A= a -2 2 
3 b -1

有一个特征向量α 1 =1,-2,3  T ,则a=_____,b=_____.
三、解答题
1 2 2

(1)设A= 2 1 2

2 2 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.
(I)求A的全部特征值和特征向量;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ；
(III)求正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ.
·第74页，共120页·(2)判别下列矩阵A与B是否相似.若相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
1 1 1

(I)A= 1 1 1

1 1 1
 3 0 0

,B= 0 0 0

0 0 0

;
2 0 0

(II)A= 0 0 1

0 1 0
 1 0 0

,B= 0 -1 0

0 -6 2

.
 2 -1 2
 (3)设矩阵A= 5 a 3

-1 b -2

有特征向量α=1,1,-1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T .
(I)确定参数a,b及α对应的特征值λ；
(II)问A能否相似于对角矩阵,说明理由.
·第75页，共120页· 1 -1 1
 (4)设A= x 4y 3

-3 -3 5

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,A∼Λ,且λ=2是A的二重特征值,求x,y的值及可逆矩阵P,使得P-1AP
=Λ.
(5)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是线性无关的3维列向量,且Aα =α +α +α ,Aα =2α +α ,Aα =
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3
2α +3α .求:
2 3
(I)A的全部特征值;
(II)可逆矩阵P及Λ,使得P-1AP=Λ,并计算A-2E.
·第76页，共120页·-1 0 2

(6)设实矩阵A= a 1 1

 1 0 0

有三个线性无关的特征向量.求:
(I)a的值;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
1 2 3
 (7)设A是3阶实对称矩阵,A∼B,B= 2 4 6 
3 6 9

,A的二重特征值对应的特征向量为α 1 =1,1,0  T ,
α 2 =0,2,1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T .求:
(I)A的特征值与特征向量;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第77页，共120页·1 a -1

(8)已知A∼B,A= 1 5 1

4 12 6
 b

,B= b
 c

,求a,b,c的值.
(9)设3阶实对称矩阵A的特征值为λ 1 =λ 2 =1,λ 3 =-1,α 1 =1,1,1  T ,α 2 =2,2,1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T是λ =λ =1对 1 2
应的特征向量.求:
(I)A的属于λ =-1的特征向量;
3
(II)矩阵A.
·第78页，共120页·(10)(I)设A是n阶实对称矩阵,且A2=A,rA  =rr<n  ,计算3E-A;
(II)设A是n阶矩阵,且A2=A,rA  =rr<n  ,计算3E-A.
2 0 4 0

0 6 0 0
(11)设A= 
4 0 a 0

0 0 0 -2
 6 0 0 0

0 6 0 0
与Λ= 
0 0 b 0

0 0 0 -2

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
相似.求:
(I)a,b的值;
(II)一个正交矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第79页，共120页·(12)(I)设A与B是n阶方阵,A可逆,且A∼B,证明:A*∼B*；
(II)若A∼B,证明:存在可逆矩阵P(非数量矩阵),使得AP∼BP.
 1 1 1
 (13)设矩阵A=a 21 a 22 a 23

a a a
31 32 33

有3个特征向量α 1 =1,1,1  T ,α 2 =1,1,0  T ,α 3 =1,0,0 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T .
(I)求A；
(II)求一个可逆矩阵P,使得P-1AP=AT.
·第80页，共120页· 0 0 1

(14)设A= a-1 1 a+1

 1 0 0
  1 0 0

有三个线性无关的特征向量,B= 0 1 0

-1 0 -1

.
(I)求可逆矩阵P及Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)求可逆矩阵Q,使得AQ=B.
1 1 a

(15)设A= 1 a 1

a 1 1
  1

,b= 1

-2

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.方程组AX=b有无穷多解.
(I)求a的值及AX=b的通解；
(II)求正交矩阵Q及对角矩阵Λ,使得QTAQ=Λ.
·第81页，共120页·综合题
一、选择题
(1)设A,B是n阶可逆矩阵,且A-1∼B-1,则下列结果
①AB∼BA ②A∼B ③A2∼B2 ④AT∼BT
中正确的个数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 1 0 0

1 1 0 0
(2)设矩阵B相似于A=  0 0 2 2

0 0 2 2

,则r 1 =rB  ,r 2 =rB-E  ,r 3 =rB-2E  满足( ).
A. r <r <r B. r <r <r C. r <r <r D. r <r <r
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
0

(3)与Λ= 1

 1

既相似又合同的矩阵是( ).
1 0 0

A. A= 0 1 -1

0 2 -2
 1 0 0

B. B= 0 -1 -2

0 -2 -4

1 0 0
 1 1
C. C=
0 -
2 2

 1 1
0 -
 2 2

1 0 0

D. D= 0 -1 2

0 2 2

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
·第82页，共120页·1 1 0

(4)下列矩阵中,与矩阵 0 1 1

0 0 1

相似的是( ).
1 1 -1

A. 0 1 1

0 0 1
 1 0 -1

B. 0 1 1

0 0 1
 1 1 -1

C. 0 1 0

0 0 1
 1 0 -1

D. 0 1 0

0 0 1

(5)设n阶矩阵A有特征值λ =1,λ =-1,对应的特征向量为α ,α ,k为任意常数,则下列选项中正确
1 2 1 2
的是( ).
A. kα 必是A的特征向量 B. α -α 必是A的特征向量
1 1 2
C. α +α 必是A的特征向量 D. α +α 必是A2的特征向量
1 2 1 2
(6)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1  T满足A-2E  α=0,且rA  =1.k ,k 为任意常数,则方程 1 2
组AX=0的通解为( ).
A. k 11,1,0  T +k 21,-1,0  T B. k 11,1,0  T +k 21,0,1  T
C. k 11,1,0  T +k 21,1,1  T D. k 11,1,0  T +k 21,0,-1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T
·第83页，共120页·(7)设3维列向量α ,α ,α 线性无关,A=a
1 2 3 ij
 满足Aα =α ,Aα =α +α ,Aα =α +α ,A 是a
3×3 1 1 2 2 3 3 1 3 ij ij
的代数余子式,则A +A +A =( ).
11 22 33
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
(1)设A是3阶方阵,α为3维列向量,P=α,Aα,A2α

为可逆矩阵,B=P-1AP,且A3α+2A2α=3Aα,
则A+E=_____.
(2)设A 3×3 是秩为1的实对称矩阵,λ 1 =2是A的一个特征值,对应的特征向量为α 1 =-1,1,1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,则
方程组Ax=0的基础解系为_____.
·第84页，共120页·(3)设3阶矩阵A的特征值为0,1,2,B=A3-2A2,则rB  =_____.
(4)设α 1 ,α 2 ,⋯,α kk>1 
k
是n维正交单位实列向量组,A=ααT,E是n阶单位矩阵,则行列式 i i
i=1
A+E 
*
 =_____.
三、解答题
1 2 1
 (1)设A= 2 4 k

1 k 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
有一个特征值为0,求k的值.并求一个正交矩阵Q,使得QTAQ=Λ.
·第85页，共120页·(2)已知A=α ,α ,α
1 2 3
 是3阶可逆矩阵,B是3阶矩阵,且BA=α ,-4α ,-α
1 3 2
 .求:
(I)B的全部特征值;
(II)可逆矩阵P和对角矩阵Λ,使得P-1BP=Λ.
(3)设A是nn≥2 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
阶矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,且Aα =α ,Aα =α ,⋯,Aα =α ,Aα =0, 1 2 n 1 2 2 3 n-1 n n
α ≠0.
n
(I)证明:α ,α ,⋯,α 线性无关;
1 2 n
(II)求可逆矩阵P及三角矩阵B,使得P-1AP=B.
·第86页，共120页·(4)设A 有三个不同的特征值λ ,λ ,λ ,它们对应的特征向量分别为α ,α ,α ,令β=α +α +α .
3×3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
(I)证明:β,Aβ,A2β线性无关;
(II)若A3β=Aβ,求rA-E  .
1 a 0 2

0 1 2 0
(5)设A= 
0 0 -1 b

0 0 0 -1

有四个线性无关的特征向量.求:
(I)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ；
(II)2E-A2 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
-1 .
·第87页，共120页·(6)设α=a 1 ,a 2 ,⋯,a n  T ,β=b 1 ,b 2 ,⋯,b n  T 均为非零列向量,A=αβT.
(I)求A的全部特征值;
(II)问αTβ满足什么条件时,A可以相似于对角矩阵Λ,并求可逆矩阵P,使P-1AP=Λ.
(7)设nn≥2 
a 1 1 ⋯ 1

1 a 1 ⋯ 1

阶矩阵A=1 1 a ⋯ 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

1 1 1 ⋯ a

.求:
(I)可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)rA* 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.
·第88页，共120页·(8)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=diag1,2,-1  ,且α 1 =1,k+1,2  T ,α = 2
k-1,-k,1  T分别为A的特征值λ =1,λ =2的特征向量,A*的特征值λ 对应的特征向量β= 1 2 0
2,-5k,2k+1  T .求:
(I)λ 与k的值;
0
(II)矩阵A-1  * .
(9)设α,β为3维单位列向量,且αTβ=0,记A=αβT+βαT.
(I)证明:A相似于对角矩阵;
(II)若存在3维列向量γ≠0,使得Aγ=0,记P= γ,2α+β   ,β-α 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,求P-1AP.
·第89页，共120页·1 a 12 a 13

(10)设A=1 a
22
a
23

1 a a
32 33
 1 2a 12 2a 13

可逆,B是3阶实对称矩阵,且满足BA=1 2a
22
2a
23

1 2a 2a
32 33

.求:
(I)B的特征值和对应的特征向量;
(II)正交矩阵Q,使得QTBQ=Λ.
(11)设向量组i  α 1 =-a,0,1  T ,α 2 =1-a,a,1-a  T ,α 3 =1,0,-a  T ,(ii)β 1 =-1,0,a  T ,β = 2
-1,1,a  T ,β 3 =1,-1,-a  T a≠0  ,向量组(i)与(ii)等价.
(I)求a的值;
(II)记A=α ,α ,α
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ,并求Q及Λ.
·第90页，共120页·a 0 1

(12)设A= 0 -a 0

1 0 a
 -1 1 0

,B= 1 -1 0

 0 0 -a
 1

,β= 1

a

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,a≠0.若方程组AX=β有无穷多解.
(I)求a的值,并求方程组AX=β的全部解；
(II)当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B?并求正交矩阵Q.
(13)设A,B均是n阶矩阵.
(I)证明:AB与BA有相同的特征值;
(II)若AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明:B相似于对角矩阵.
·第91页，共120页·(14)设A是n阶实对称矩阵,α ,α ,⋯,α 是A的n个单位正交特征向量,对应的特征值为λ ,λ ,⋯,
1 2 n 1 2
λ ,证明:A=λ α αT+λ α αT+⋯+λ α αT.
n 1 1 1 2 2 2 n n n
(15)设A,B均是3阶方阵,AB=A-B,A有三个不同的特征值λ ,λ ,λ .证明:
1 2 3
(I)λ i ≠-1i=1,2,3 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
;
(II)存在可逆矩阵P,使P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.
·第92页，共120页·(16)设A是2阶矩阵,α是非零向量,且α不是A的特征向量.
(I)证明:α,Aα线性无关;
(II)记P=α,Aα  ,若A2α-2Aα=8α,证明:A相似于对角矩阵,并求P-1AP.
(17)设向量β=b,1,1  T可由α 1 =a,0,1  T ,α 2 =1,a-1,1  T ,α 3 =1,0,a  T线性表示,且表示法不唯
一.记A=α ,α ,α
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.求:
(I)a,b的值,并写出β由α ,α ,α 表示的线性表达式.
1 2 3
(II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵).
·第93页，共120页·2 1 0

(18)设A= 1 2 0

0 0 1
  a b c

与B= 0 1 0

-1 -2 4

相似.
(I)求a,b,c的值;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B；
(III)记A的伴随矩阵为A*,求方程组3E-A*  X=0的通解.
 1 -1 0
 (19)设B= 1 0 k

-1 1 1-k

不可逆,且满足AB=B,B* AT+E  =O,其中A是3阶矩阵,E是3阶单
位矩阵,B*是B的伴随矩阵.
(I)求rB* 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
;
(II)证明:A相似于对角矩阵,并求A2.
·第94页，共120页·拓展题
解答题
(1)设A是3阶实对称矩阵,且A2-2A=O,rA  =1.方程组Ax=0的通解为k 11,1,0  T +
k 21,0,1  T k ,k 为任意常数). 1 2
(I)求可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)求矩阵A.
 k -2 2
 (2)设A= -3 3 -1

-15 8 -6
 1 0 2
 ,B= 0 2 0

0 4 -1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,且A∼B,求k的值及可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
·第95页，共120页·(3)设数列a n  ,b n  满足a 0 =1,b 0 =-1,且   a n =a n-1 +2b n-1 , ,记α n = a n
b =-a +4b , b
n n-1 n-1 n

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,矩阵A满足Aα = n-1
b
α ,求An及lim n .
n
n→∞a
n
·第96页，共120页·第十二章 二次型
基础题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x x +x x +x x 的矩阵为( ).
1 2 2 3 1 3
1 0 0

A. 0 1 0

0 0 1

1 1
 0
 2 2
 1 1
B. 0
 2 2
 1 1
0
 2 2

1 1
 1
 2 2
 1 1
C. 1
 2 2
 1 1
1
 2 2

1
 1 1
 2
 1
D. 1 1
 2
 1
1 1
 2

(2)二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x -x
1 2

2
+x -x
2 3

2
+x -x
3 1

2
的标准形为( ).
3 3
A. f=y2+y2+y2 B. f=2y2+ y2 C. f=y2+y2-y2 D. f=2y2+ y2+y2
1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3
1

(3)设A= 2

 3
 2

与B= 3

 1

合同,则合同变换矩阵P=( ).
1 0 0

A. 0 0 1

1 0 0
 0 0 1

B. 1 0 0

0 1 0
 0 1 0

C. 1 0 0

0 0 1
 0 0 1

D. 1 0 0

0 0 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
·第97页，共120页·(4)设A是n阶方阵,将A的第i列与第j列互换,再交换第i行与第j行得到B,则( ).
A. A与B等价、相似且合同 B. A与B相似、合同但不等价
C. A与B相似但不合同 D. A与B等价但不相似
(5)二次型fx ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=x2+4x2+4x2-4x x +4x x -8x x 的规范形为( ).
1 2 3 1 2 1 3 2 3
A. f=z2 B. f=z2-z2 C. f=z2+z2+z2 D. f=z2+z2-z2
1 1 2 1 2 3 1 2 3
(6)设A,B,Λ均为n阶实方阵,则下列命题正确的是( ).
A. 若A是实对称矩阵,则存在唯一可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ
B. 若A是实对称矩阵,则存在唯一正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ
C. 若B是实对称矩阵,则存在唯一实对称矩阵A,使得A2=B
D. 若B是正定矩阵,则存在唯一正定矩阵A,使得A2=B
·第98页，共120页·(7)设A,B均为n阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是( ).
A. A与B有相同的特征值 B. A与B有相同的特征向量
C. A与B有相同的行列式 D. A与B有相同的秩且有相同的正惯性指数
(8)设E是n阶单位矩阵,则n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ).
A. 存在n阶矩阵C,使得A=CTC B. 二次型XTAX的负惯性指数为0
C. 存在可逆矩阵P,使得P-1AP=E D. A的伴随矩阵A*与E合同
1 2 0
 (9)设A= 2 0 2

0 2 -1

,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=Λ,则C可能为( ).
1 -1 -1
 1 1
A. 0
2 2

0 0 1
 1 2 0

B. 0 2 -1

0 0 1
 1 2 0

C. 0 1 2

0 0 1
 1 1 1
 1 1
D. 0
2 2

0 0 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
·第99页，共120页·二、填空题
(1)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+4x2+4x2+2ax x -2x x +4x x 正定,则a的取值范围为____
1 2 3 1 2 1 3 2 3
_.
(2)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  在正交变换下的标准形为-2y2+8y2,且E+B=AB,其 1 2
中B为3阶矩阵,则迹trB-1+2E  =_____.
三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=2x2+5x2+5x2+4x x -4x x -8x x .
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy,将f化为标准形；
(II)利用配方法,将f化为标准形.
·第100页，共120页·(2)已知二次型f=2x2 1 +3x2 2 +3x2 3 +2ax 2 x 3a>0 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,经过正交变换化成标准形y2+2y2+5y2,求参数 1 2 3
a及所用的正交变换.
(3)证明:n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP.
·第101页，共120页·(4)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,rA  =2,且满足α 1 +2α 2 +α 3 =3,6,3  T ,α -α +α = 1 2 3
-1,1,-1 
T
.
(I)求A；
(II)若X=x ,x ,x 1 2 3  T ,求方程XT A+E  X=0的全部解.
(5)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x +x
1 2

2
+x -x
2 3

2
+x +ax
1 3

2
.
(I)求fx ,x ,x
1 2 3
 =0的解;
(II)当fx ,x ,x
1 2 3
 =0有非零解时,求正交变换X=QY将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形;
(III)求fx ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
的规范形.
·第102页，共120页·(6)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α
1 2 3
 有二重特征值1,且α +2α -α =0,A*是A的伴随矩阵.
1 2 3
(I)求正交变换X=QY将二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =XTAX化为标准形；
(II)求方程组A*X=0的通解.
(7)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1  T满足A-2E  α=0,且rA  =1.
(I)求方程组AX=0的通解；
(II)求A；
(III)若X=x ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,求方程XTAX=0的全部解.
·第103页，共120页·2 0 1

(8)设A= 0 2 -1

1 -1 a-1
 0 0 0

与B= 0 b 0

0 0 3

合同.
(I)求a的值及b的取值范围;
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b及Q.
综合题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=x x +x x 的正、负惯性指数分别为( ).
1 2 2 3
A. p=1,q=1 B. p=1,q=2 C. p=1,q=0 D. p=0,q=2
·第104页，共120页·(2)A是n阶实对称矩阵,则A合同于矩阵B的充分必要条件是( ).
①rA  =rB  , ②A与B的正惯性指数相等,
③A与B均正定矩阵, ④B是实对称矩阵.
A. ①成立 B. ④成立 C. ①②④均成立 D. ③成立
(3)设n元二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =x +a x 1 1 2 
2
+x +a x 2 2 3 
2
+⋯+x n +a n x 1 
2
,其中a ii=1,2,⋯,n 
均为实数,若二次型正定,则( ).
A. 1+-1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 B. 1+-1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
C. 1--1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 D. 1--1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
2 1
(4)设A=
-1 0

1 1
,B=
0 1

1 0
,C=
1 1

1 0
,D=
0 1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,则正确的是( ).
A. A与B相似,B与C合同 B. A与D相似,B与D合同
C. A与D合同,B与C相似 D. B与D相似,C与D合同
·第105页，共120页·(5)设A是3阶实对称矩阵,且A=2,A*=A-E,其中A*是A的伴随矩阵,则二次型xTAx的规范形
为( ).
A. y2+y2+y2 B. -y2-y2-y2 C. y2+y2-y2 D. -y2-y2+y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2
(6)设A=
2 1

1 4
,B=
1 1
 ,则正确的是( ).
A. 必存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B B. 必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B
C. 必存在可逆矩阵P,使得PTAP=B D. 必存在可逆矩阵P,使得A=PTP
(7)设3阶实矩阵A的特征向量为α 1 =-1,1,0  T ,α 2 =1,1,1  T ,α 3 =-1,-1,2 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,则A必为( ).
A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 对称矩阵 D. 正定矩阵
·第106页，共120页·a a-1
(8)设实矩阵A=
a-1 a-1
 ,若对任意的二维非零实列向量X,都有XTAX<XTX.则a的取值
范围为( ).
1 A.  ,1
3
 1 B. (-1,1) C. (-1,0] D.  ,1
3

(9)设α 1 =1,2  T ,α 2 =a,1  T ,X=x ,x 1 2  T ,若二次型fx ,x 1 2  =α ,X 1  2 +α ,X 2  2 经可逆线性变换
X=PY化为gy ,y 1 2  =by2 1 +by2 2 +2by 1 y 2b≠0  ,则( ).
1 1 1 1
A. a= ,b>0 B. a=- ,b>0 C. a= ,b>-1 D. a=- ,b>-1
2 2 2 2
(10)设α是3维实列向量,且满足αTα=1,A=E-ααT,A*是A的伴随矩阵,则二次型fx ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=
XTA*X在正交变换X=QY下的标准形为( ).
A. y2+y2 B. -y2 C. -y2-y2 D. y2
1 2 1 1 3 1
·第107页，共120页·(11)设A是2阶实对称矩阵,若对任意的2维非零列向量X,都有XTAX<XTX,X ,X 均为2维列
1 2
X 1 向量,则二次型
X
2
 T A+E O 
O E-A
 X 1 
X
2
 的规范形为( ).
A. y2+y2-y2-y2 B. y2+y2+y2-y2 C. y2+y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2-y2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
(12)设A是3阶实矩阵,A=3,且A*=-A+4E,其中A*是A的伴随矩阵,E是3阶单位矩阵,则二次
型XT 2E-A  T 2E-A  X的规范形为( ).
A. y2-y2-y2 B. y2+y2-y2 C. y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
二、填空题
1 0 0
 (1)若3阶实对称矩阵A与B= 0 0 3

0 3 0

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
合同,则二次型xTAx的规范形为_____.
·第108页，共120页·(2)设A是n阶矩阵,方程组Ax=b有唯一解,则二次型xT ATA 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
x的正惯性指数为_____.
(3)设A是3阶实对称矩阵,二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为y2+y2-y2,则二次型
1 2 3
xTA*x的规范形为_____.
(4)设3阶实对称矩阵A的特征值为2,3,4,A*是A的伴随矩阵.若对任意3维实列向量X,都有
XTA*X-XTAX≤aXTX,则a的最小取值为_____.
·第109页，共120页·三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =xTAx=x2+ax2+x2+2x x -2ax x -2x x 的正负惯性指数都是1.求:
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)a的值;
(II)可逆线性变换x=By,将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形.
(2)设3阶实对称矩阵A=a ij 
3
3×3 有特征值λ 1 =λ 2 =2,且a ii =1,α=1,0,-2
i=1
 T是方程组A*x=
4α的解向量.
(I)求矩阵A;
(II)求正交变换x=Qy,将二次型fx ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=xTAx化为标准形.
·第110页，共120页·(3)设二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =nx2 1 +nx2 2 +⋯+nx2 n -x 1 +x 2 +⋯+x n  2 .
(I)求二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =xTAx的秩;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ,并求二次型的正惯性指数.
k+3
(4)设方程组
 x +x +2x =0, 1 2 3
2kx 1 +k-1  x +x =0, 2 3
k-3 
  3 1 2


,有非零解,且A= 1 k -2  

  x -3x +kx =0 2 -2 9 1 2 3

是正定矩阵.
(I)求k的值;
(II)设x=x ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,求当xTx=1时,xTAx的最大值.
·第111页，共120页·(5)设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ =1和λ ,且A属于λ =1的特征向量仅有
1 2 1
k1,0,⋯,0,1 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,其中k≠0.
(I)求矩阵A;
(II)当λ 满足什么条件时,A是正定矩阵?
2
(6)设A是实对称矩阵,证明:A可逆的充要条件是存在方阵B,使得AB+BTA为正定矩阵.
·第112页，共120页·(7)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =ax2-ax2+ax2+2x x 与gy ,y ,y
1 2 3 1 3 1 2 3
 =-y2-y2+a2y2+2y y 的秩相等
1 2 3 1 2
a≠0  .问:
(I)当a为何值时,存在可逆(非正交)线性变换x=Py,可将fx ,x ,x
1 2 3
 化为gy ,y ,y
1 2 3
 ?并求一个
可逆矩阵P;
(II)当a为何值时,存在正交变换x=Qy,可将fx ,x ,x
1 2 3
 化为gy ,y ,y
1 2 3
 ?并说明理由.
(8)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx=ax2 1 +ax2 2 +a-1  x2+2x x -2x x (a为常数,AT=A). 3 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形；
(II)设x=x ,x ,x 1 2 3  T ,求方程xT aE-A 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
2 x=O的全部解.
·第113页，共120页·(9)设二次型xTAx=ax2+x2+x2
1 2 3
 +2x x +2bx x +2x x 在正交变换x=Qy下的标准形为y2+y2
1 2 1 3 2 3 1 2
+4y2,其中AT=A.
3
(I)求a,b的值及正交矩阵Q；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+A*,其中A*是A的伴随矩阵,求B.
(10)设A是3阶矩阵,方程组AX=b的通解为k 1-1,1,0  T +k 22,0,1  T +1,1,-2  T .其中b=
6,6,-12  T ,k ,k 为任意常数. 1 2
(I)求A；
(II)若A的列向量组的极大线性无关组为α,求一个3维行向量β,使得A2=αβ；
(III)记X=x ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,求方程XTAX=0的全部解.
·第114页，共120页·(11)已知二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2 1 +2x2 2 +2x2 3 +2ax 2 x 3a>0  在正交变换X=QY下化为gy ,y ,y 1 2 3 
=2y2+by2+2y2-2y y .
1 2 3 1 3
(I)求a,b的值;
(II)求正交矩阵Q.
1 0 1

(12)设A= 0 1 0

1 0 1
 1 0 1

,B= 0 1 0

1 0 2

,E是3阶单位矩阵.
(I)求可逆矩阵C,使得CTBC=E；
(II)求一个可逆矩阵P,使得PTAP=diag0,1,1

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
,且PTBP=E.
·第115页，共120页·(13)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+2x2+ax2+2x x 经过可逆线性变换X=PY化为y2+y2.
1 2 3 1 3 1 3
(I)求a的值及可逆矩阵P；
(II)设X=x ,x ,x
1 2 3
 T ,当XTX=1时,求fx ,x ,x
1 2 3
 的最大值,并求满足x =x >0的最大值点.
1 2
(14)设3阶矩阵A=α ,α ,α
1 2 3
 ,且满足α +α ,-α +2α ,α +α
1 3 1 2 2 3

1 1 0

= 0 -2 -1

1 0 -1

.
(I)若X=x ,x ,x
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
T ,证明:XTA2X为正定二次型;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=AT.
·第116页，共120页· a 0
 (15)设A= -1 a

-1 0

-1 0 a
,B=
-1 1 a
 ,已知方程组ABX=0与BX=0同解.
(I)求a的取值范围;
(II)当AB为实对称矩阵时,求正交变换X=QY,将二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =XTABX化为标准形.
拓展题
解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =2x x +3x x +4x x ,求可逆线性变换x=Pz,使得fx ,x ,x
1 2 2 3 1 3 1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
化为标准
形,并求二次型的秩及正、负惯性指数.
·第117页，共120页·(2)设A为3阶实对称矩阵,二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为-y2+2y2+
1 2
1 1 1
ay2,其中Q的第1列为 , ,
3
3 3 3

T
,且A=-4.
(I)求a的值;
(II)求正交矩阵Q.
(3)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAxAT=A  经正交变换x=Qy化为by2+c2y2,其中Q= 2 3
1 0 a
1 
0 c 0
2 
b 0 1

b>0,c>0 
公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
.求:
(I)a,b,c的值及矩阵A；
(II)可逆矩阵P,使得A+E=PTP.
·第118页，共120页·(4)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  经过正交变换X=QY化为标准形2y2-y2-y2,又A*α= 1 2 3
α,其中α=1,1,-1  T ,A*是A的伴随矩阵.
(I)求正交矩阵Q及实对称矩阵A；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+2E,求B.
(5)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+x2+x2+2ax x +2ax x +2ax x 经过可逆线性变换X=PY化为
1 2 3 1 2 1 3 2 3
gy ,y ,y
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
=y2+y2+3y2+2y y .
1 2 3 1 2
(I)求a的值;
(II)求可逆矩阵P.
·第119页，共120页·1 1
 a - -
 2 2
 1 1
(6)设A= - a -
 2 2
 1 1
- - a
 2 2

b 0 0

与B= 0 b 0

0 0 0

b≠0  合同.
(I)求a的值;
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b的值及Q;
(III)对于(II)中的Q,若QT A+A*

公众号：做题本集结地 880·数二线代部分
Q=Λ,其中A*是A的伴随矩阵,求对角矩阵Λ.
·第120页，共120页·