A426版880数二线代做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数二

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拓展题69 解答题69 第十一章 相似矩阵70 基础题70 一、选择题70 二、填空题72 三、解答题74 综合题82 一、选择题82 二、填空题84 三、解答题85 拓展题95 解答题95 第十二章 二次型97 基础题97 一、选择题97 二、填空题100 三、解答题100 综合题104 一、选择题104 二、填空题108 三、解答题110 拓展题117 解答题117 ·第2页，共120页·线性代数 第七章 行列式 基础题 一、选择题 3 0 4 0   2 2 2 2 (1)设行列式D= ,则D的第4行各元素的余子式之和M +M +M +M = 41 42 43 44 0 -7 0 0 5 3 -2 2 ( ). A. -28 B. 28 C. 14 D. -14 (2)设α ,α ,α ,β ,β 均是4维列向量,且4阶行列式 α ,α ,α ,β 1 2 3 1 2 1 2 3 1   =a, α ,α ,β ,α 1 2 2 3   =b,则行列 式 α ,α ,α ,β +β 3 2 1 1 2   =( ). A. a+b B. a-b C. b-a D. -a+b  (3)设β 1 ,β 2 ,α 1 ,α 2 ,α 3 均是4维列向量,且 A = β 1 ,α 1 ,α 2 ,α 3    =1,B = β 2 ,α 1 ,3α 2 ,α 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分   =3,则 A+B=( ). A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 ·第3页，共120页·(4)设3阶矩阵A=a ij  满足AT=kA* k>0 3×3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,若a =a =a =c>0,则c=( ). 11 12 13 3 3k2 3 A. B. C. 3k2 D. 3k 3 k2 二、填空题 k 0 -1 1   0 k 1 -1 (1) =_____. -1 1 k 0 1 -1 0 k λ-a -1 -1   (2)若 -1 λ-a 1 =0,则λ=_____. -1 1 λ-a ·第4页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 1 0 0 1   0 2 0 1 (3)D = =_____. 4 0 0 3 1 1 1 1 4 0 1 2 0   1 0 0 2 (4)行列式D = =_____. 4 0 3 4 0 3 0 0 4 a -1 0 0   0 a -1 0 (5)行列式D = =_____. 4 0 0 a -1 4 3 2 a+1 ·第5页，共120页·(6)设fx  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 x -2x 1 2   1 x 1 -1 = ,则x3的系数为_____. 3 2 3x 1 1 1 1 x (7)设A是n阶方阵,且AAT=E,A<0,则A+E=_____. (8)设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且A2=A,A≠E,则A=_____. ·第6页，共120页·(9)设A,B均为n阶方阵,且A=B=A-1+B=2,则A+B-1 =_____. (10)设A=2,B=-2,其中A,B均为n阶方阵,则A-1B*-A*B-1 =_____. (11)设3阶方阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,B=3α -α ,3α -2α ,2α -α -2α 1 2 2 1 3 1 2  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,且B=14,则A=_____. ·第7页，共120页·(12)设A=a ij  为n阶方阵,A=1,且A的每列元素之和均为kk≠0 n×n  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则A的代数余子式之和 A +A +⋯+A =_____. 11 12 1n 三、解答题 b a a ⋯ a   a b a ⋯ a (1)计算n阶行列式D = . n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a a ⋯ b ·第8页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 x -1 0 ⋯ 0 0  0 x -1 ⋯ 0 0  n (2)证明:D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ =xn+a i xn-i. 0 0 0 ⋯ x -1 i=1 a a a ⋯ a x+a n n-1 n-2 2 1 2 -1 0 ⋯ 0 0 -1 2 -1 ⋯ 0 0  0 -1 2 ⋯ 0 0 (3)计算n阶行列式D = . n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 -1 0 0 0 ⋯ -1 2 ·第9页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 a 0 0 ⋯ 0 b 1 n a b 0 ⋯ 0 0 1 1  0 a b ⋯ 0 0  b 1 a 2 0 ⋯ 0 0  2 2 0 b a ⋯ 0 0 (4)计算n阶行列式D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + 2 3 ,其中a i ,b i 均 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b n-1 n-1 0 0 0 ⋯ a 0 n-1 b 0 0 ⋯ 0 a n n 0 0 0 ⋯ b a n-1 n 不为0. 综合题 一、选择题 (1)设A是3阶可逆矩阵,A-1的特征值为3,2,1,则A的代数余子式之和A 11 +A 22 +A 33 =( ). 1 1 1 A. B. C. D. 1 6 3 2 ·第10页，共120页·0 0 0 1  1 0 0 0  4 4 (2)A= 的所有代数余子式A ij 之和A ij =( ). 0 1 0 0 i=1j=1 0 0 1 0 A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 1 (3)设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A= ,则 2A 2   -1 -2A*=( ). 1 1 1 1 A. B. - C. - D. 2 2 4 4 (4)设fx  1 x x2 x3   1 2 4 8 = ,则曲线y=fx 1 -1 1 -1 1 1 1 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 在(-1,2)内存在水平切线的条数为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ·第11页，共120页·二、填空题 A 3A* (1)设A,B均为n阶方阵,A=6,B=1,C= B  2     -1 O   ,则C=_____. (2)设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,当m>n时,AB=_____.  1 0 1 (3)设A,B均为3阶方阵,满足A2B-A-B=E,若A=  0 2 0  -2 0 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则B=_____. ·第12页，共120页·(4)设A是3阶方阵,且满足A-E=A+2E=2A+3E=0,则2A*-3E=_____. (5)设A是3阶方阵,α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,且Aα 1 =α 1 +α 2 ,Aα 2 =α 2 +α 3 ,Aα 3 =α 3 +α 1 ,则A=____ _. (6)设α,β,α ,α ,α 均为4维列向量, A= α,α ,α ,α 1 2 3 1 2 3  ,B= β,α ,α ,α 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,且 A =2,B =1,则 A-1+B-1 =_____. ·第13页，共120页·0 1 0 ⋯ 0 0 0 2 ⋯ 0  (7)设n阶行列式A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,则A的第k行元素的代数余子式之和A k1 +A k2 +⋯ 0 0 0 ⋯ n-1 n 0 0 ⋯ 0 +A =_____. kn 三、解答题 b-a2 -a a ⋯ -a a 1 1 2 1 n   -a a b-a2 ⋯ -a a (1)计算n阶行列式D = 2 1 2 2 n . n ⋮ ⋮ ⋮ -a a -a a ⋯ b-a2 n 1 n 2 n a+b a ⋯ a 1  a a+b ⋯ a (2)计算n阶行列式D = 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a a ⋯ a+b n  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 . ·第14页，共120页·a -1 0 ⋯ 0 0 0  a 1 x -1 ⋯ 0 0  a 0 x ⋯ 0 0 (3)计算n阶行列式D = 2 . n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 0 0 ⋯ x -1 n-2 a 0 0 ⋯ 0 x n-1 a b 0 ⋯ 0 0 c a b ⋯ 0 0 0 c a ⋯ 0 0 (4)计算D n = a2-4bc≥0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b 0 0 0 ⋯ c a  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 . ·第15页，共120页·拓展题 解答题 (1)设矩阵A为3阶非零实矩阵,AT=A*,且E+A=E-A=0,计算行列式A2-A-3E. (2)设A为3阶非零实矩阵,且AT=kA*(k为非零常数). (I)证明:A是可逆矩阵; (II)求行列式A-1 + A*  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 -1  . ·第16页，共120页·O A* (3)设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,计算行列式 A⋅ -2E A  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分   . 2 2 2 2   1 a a a 4 4 1 2 3 (4)设行列式A= 1 b b b =1,A ij 是A中元素a ij 的代数余子式,求A ij . 1 2 3 i=1j=1 1 c c c 1 2 3 ·第17页，共120页·第八章 矩阵 基础题 一、选择题 (1)设A=a ij  a 21 a 22 +a 23 a 23  3×3 ,B=a 31 a 32 +a 33 a 33  a a +a a 11 12 13 13  0 1 0  ,P= 0 0 1  1 0 0  1 0 0  ,Q= 0 1 0  0 1 1  ,则B=( ). A. AQP B. PAQ C. QAP D. APQ (2)设A是nn≥3  阶可逆方阵,下列结论正确的是( ). ①A*  -1 =A-1  * ②kA  * =kn-1A* k≠0  ③A*  T =AT  * ④A*  * n-2 =A A A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③④  1 0 1  (3)设A= 2 1 0  -3 2 -5  ,则行列式 E-A  *   公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 -1  =( ). 1 1 1 1 A. B. - C. D. - 4 4 16 16 ·第18页，共120页· 1 1 1  0 1 0 (4)设矩阵A=   2 k 3  k-1 5 1  1 1 1  0 1 -1 与B=  2 3 k  3 5 1  等价,则( ). A. k=1 B. k≠1 C. k=-1 D. k≠-1 1 0 -1  (5)设A= 2 a 1  1 2 1  ,B是3阶矩阵,且rB  =2,rAB  =1,A*与B*分别是A与B的伴随矩阵,则正 确的是( ). A* O A. r  A B       A O =3 B. r  O B*       A* B =3 C. r  O A       A B* =3 D. r  O B       =3 (6)设A,B分别为m×n,n×s矩阵,且AB=C,则正确的是( ). A. 若rC  =m,则rA  ≤m B. 若rC  =s,则rB  ≤s C. 若rA  =n,则rB  ≤rC  D. 若rA  =n,则rB  =rC  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ·第19页，共120页·二、填空题 (1)设α=1,2,3  T 1 1 ,β=1, , 2 3  T ,A=αβT,则An=_____. (2)设α=2,-1,3  T ,β=1,2,0  T ,A=αβT,E是3阶单位矩阵,则A+E  n =_____. 1 0 1  (3)设A= 0 2 0  1 0 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则An=_____. ·第20页，共120页·0 -1 0  (4)设B= 1 0 0  0 0 1  ,A=P-1BP,则A4-2B2=_____. (5)设A是n阶方阵,且A=2,将A的第i行与第j行互换得到B,则行列式B-1B*BT =_____. 1 2 3 4  2 3 4 5 (6)设A=  3 4 5 6  4 5 6 7  ,则rA  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =_____. ·第21页，共120页·(7)若An=O,n为正整数,则E-A  -1 =_____. (8)若An=E,n为正整数,则A*  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 n =_____. (9)设方阵A满足A2-3A-2E=O,则A-1=_____. ·第22页，共120页·(10)设方阵A满足A2=A,则A+E  -1 =_____. (11)设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行和第j行交换得B,则行列式AB-1 =_____. x  (12)设存在3阶矩阵A,对任意的x,y,z有A y  z  z  = x  y  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则A=_____. ·第23页，共120页·(13)设α=k,0,⋯,0,k  T k≠0  1 ,且A=E-ααT,A-1=E+ ααT,则k=_____. k 三、解答题 2 -1 3  (1)设A= a 1 b  4 c 6  ,且BA=O,B是3阶方阵,rB  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 >1,求An. (2)设α,β是n维列向量,且αTβ=2,证明:A=E+αβT可逆,并求A-1. ·第24页，共120页·1 1 1 (3)设A-1=  1 2 1  1 1 3  ,求A*  -1 . 2 1 1  (4)设A= 1 2 1  1 1 2  ,证明:A2=5A-4E,并求A-1. (5)设方阵A,B满足B≠0,A-E  -1 =B-E  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,求A-1(用B表示). ·第25页，共120页·1 0 0  (6)设A= 2 3 0  0 4 5  ,B=E+A  -1 E-A  ,求 E+B  2   -1 . (7)已知方阵A,B,A+B  均可逆,求A-1+B-1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 -1 . (8)设AB=BA,A可逆,证明:A-1B=BA-1. ·第26页，共120页·(9)设A,B都是n阶方阵,且A2=A,B2=B,A+B  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 2 =A+B,证明:AB=BA. (10)设A为2n+1阶正交矩阵,且A=1,证明:A-E不可逆. (11)设n阶方阵A,B,满足A2=E,B2=E,且A+B=0,证明:A+B不可逆. ·第27页，共120页· 1 0 1  (12)设A= 0 2 0  -1 0 1  ,AB+E=A2+B,求B. 0 2 (13)设A= 1 2  ,且ATB-1  T -ABTA  -1 =E-B-1  T ,求B. 1  0 0  3  1 (14)设A= 0 0  4  1 0 0  7  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,A-1BA=6A+BA,求B. ·第28页，共120页·0 1 0  (15)设A= 1 0 0  0 0 1  1 0 0  ,B= 0 0 1  0 1 0  1 -4 3  ,C= 2 0 -1  1 -2 0  ,且AXB=C,求矩阵X. 1 2 (16)设矩阵A满足A 0 1  2 1 = 3 2  A,求矩阵A. 综合题 一、选择题 1 2 k  (1)设A= 1 k+1 1  k 2 1  ,B是3阶非零矩阵,且AB=O,则( ). A. 当k=1时,rB  =1 B. 当k=-3时,rB  =1 C. 当k=1时,rB  =2 D. 当k=-3时,rB  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =2 ·第29页，共120页·a b b  (2)设A= b a b  b b a  a,b均不为0  ,且rA*  =1,则必有( ). A. a=b B. a=b或a+2b≠0 C. a+2b=0 D. a≠b且a+2b≠0 a 11 a 12 a 13  (3)设A=a 21 a 22 a 23  a a a 31 32 33  0 0 1  ,P= 0 1 0  1 0 0  ,且PnAPm=A,则正整数n,m可以为( ). A. n=m=4 B. n=5,m=4 C. n=4,m=5 D. n=m=5 O A (4)设A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,矩阵 B E  A B , O E  A AB , E B  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 的秩分别为r ,r ,r ,则 1 2 3 正确的是( ). A. r ≥r ≥r B. r ≥r =r C. r ≥r ≥r D. r ≥r ≥r 2 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 ·第30页，共120页·(5)下列命题中,正确的是( ). ①若A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,则BCA=CAB； ②若A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆； ③若A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆; ④若n阶矩阵A,B满足AB  2 =E,则BA  2 =E. A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题 A O (1)设A,B是n阶方阵,A=2,B=3,A*,B*分别是A,B的伴随矩阵,C= O B  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则C*=_____. (2)设A是n阶可逆矩阵,A的每行元素之和均为k,则A-1的每行元素之和均为_____. ·第31页，共120页· 1 -1 -1 -1  -1 1 -1 -1 (3)设A=  -1 -1 1 -1  -1 -1 -1 1  ,则An n≥1  =_____. 0 1 0 0  0 0 1 0 (4)设A=  0 0 0 1  0 0 0 0  ,则E+A  -1 =_____. 三、解答题 0 0 0 1  0 0 0 2 (1)设A=  0 0 0 3  3 2 1 0  ,求An n≥1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 . ·第32页，共120页·-1 1 1 -1  1 -1 -1 1 (2)设A=   1 -1 -1 1  -1 1 1 -1  ,证明:A2+4A=O,并求E+A  -1 . 0 1 0  (3)设A= 1 0 0  0 1 1  ,证明:An=An-2+A2-En≥3  ,并计算A100.  1 1 2  (4)设A= 0 -2 -4  -1 -1 -1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,证明:A可逆,并将A表示为初等矩阵的乘积. ·第33页，共120页·1 0 0  (5)设A= 0 -2 0  0 0 1  ,且A*BA=2BA-8E,求B.  1 0 1  (6)设矩阵X满足 2 1 -1  -1 -1 2   0 1  X= 2 0  -2 1  ,求X. A C (7)设分块矩阵P= O B  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 为正交矩阵,A,B分别是m阶和n阶方阵,证明:A与B是正交矩阵. ·第34页，共120页·拓展题 解答题 3 2 2  (1)设A= 0 1 1  0 0 3  1 0 0  ,B= 0 0 0  0 0 -1  ,若矩阵X满足AX+2B=BA+2X,求X2. (2)设列向量α=1,2,1  T 1 ,β=1, ,0 2  T ,γ=0,0,8  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,A=αβT,B=βTα,且2B2A2x=A4x+B4x+γ, 求x. ·第35页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 第九章 向量组 基础题 一、选择题 (1)若α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,则( ). 1 2 3 2 3 4 A. α 可由α ,α 线性表示 B. α 可由α ,α ,α 线性表示 1 2 3 4 1 2 3 C. α 可由α ,α 线性表示 D. α 可由α ,α 线性表示 4 1 3 4 1 2 (2)向量组α ,α ,⋯,α 线性无关等价于( ). 1 2 n A. 存在一组不全为0的数,使其线性组合不为0 B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示 C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示 D. 其中任意两个向量线性无关 (3)设向量组α ,α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线性无关的是( ). 1 2 3 4 A. α +α ,α +α ,α +α ,α +α B. α +α ,α +α ,α +α ,α -α 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 C. α +α ,α -α ,α +α ,α -α D. α -α ,α -α ,α -α ,α -α 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 ·第36页，共120页·(4)设向量组I  β 1 ,β 2 ,⋯,β t ,II  α ,α ,⋯,α ,则下列命题 1 2 s ①若向量组(I)可由(II)线性表示,且s1 D. k=n λx +x +λ2x =0,  1 2 3  (5)设方程组 x +λx +x =0, 的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则必有  1 2 3   x +x +λx =0 1 2 3 ( ). A. λ=-2且B=0 B. λ=-2且B≠0 C. λ=1且B=0 D. λ=1且B≠0 2x -3x +x =b , 1 2 3 1 (6)设方程组 x 1 -2x 2 +x 3 =b 2 ,有解,则     .    2x +kx +3x =b 1 2 3 3 A. 当k≠-5时,b ,b ,b 1 2 3  T 为任意非零列向量 B. 当k=-5时,b ,b ,b 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T 为任意列向量 C. 当k=-5时,b +b =4b 1 3 2 D. 当k≠-5时,b +b =4b 1 3 2 ·第53页，共120页·(7)设矩阵A ,B ,则( ). m×n n×m A. 当m>n时,AB必可逆 B. 当m>n时,必有AB=0 C. 当n>m时,必有rAB  m时,ABx=0必有唯一解 (8)设矩阵A ,B 满足AB=E,其中E是单位矩阵,α与β为非零列向量,则正确的是( ). m×n n×m A. 方程组AX=α有唯一解,方程组BX=β有唯一解 B. 方程组AX=α有无穷多解,方程组BX=β有无穷多解 C. 方程组AX=0仅有零解,方程组BX=β有解 D. 方程组AX=α有解,方程组BX=0仅有零解 二、填空题 x +2x +x =3, 1 2 3 (1)设方程组 2x 1 +k+4  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分    x -5x =6,有无穷多解,则k=_____.  2 3   -x -2x +kx =-3 1 2 3 ·第54页，共120页·1 2 1  (2)设A= 2 3 a+2  1 a -2  ,β 1 =1,3,4  T ,β 2 =0,1,2  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,若方程组AX=β 有解,且AX=β 无解,则a 1 2 =_____. 三、解答题   2x 1 -x 2 +4x 3 -3x 4 =-4, x +x -x =-3, 1 3 4 (1)求方程组 的通解.  3x +x +x =1,  1 2 3  7x +7x -3x =3 1 3 4   2x 1 +λx 2 -x 3 =1,  (2)设方程组 λx -x +x =2, 问:当λ为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当有  1 2 3   4x +5x -5x =-1, 1 2 3 无穷多解时,求其通解. ·第55页，共120页·x +x =0, x -x +x =0,  1 2  1 2 3 (3)设有方程组①  与②  求: x -x =0 x -x +x =0. 2 4 2 3 4 (I)方程组①与②的基础解系; (II)方程组①与②的非零公共解. x +x =0,  1 2 (4) 设有方程组 (I) (II)Ax = 0, 其中 (II) 的基础解系为 α 1 = -1,2,2,1 x -x =0, 2 4  T ,α = 2 0,-1,-1,0  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,求方程组(I)与(II)的非零公共解. ·第56页，共120页·公众号：做题本集结地 880·数二线代部分   x 1 -x 4 =-2,   x 1 +ax 2 -x 3 -x 4 =-5,   (5)设有方程组:① x -x =-4, ② bx -x -2x =-11,  2 4  2 3 4    -4x -x +6x =21,  x -2x =-c+1. 2 3 4 3 4 (I)求方程组①的通解; (II)当a,b,c为何值时,方程组①与②同解? (6)设n阶矩阵A满足A=0,A ij 为A的元素a ij 对应的代数余子式,且A 11 ≠0,求方程组A*x=0的 基础解系和通解. ·第57页，共120页·(7)已知4×3矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,-1  T +k1,-2,3  T ,k为 任意常数,令B=α ,α ,α ,β+α 1 2 3 3  ,求方程组By=α -α 的通解. 1 2 (8)设A是5×4矩阵,rA  =2,已知α ,α ,α 是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且α +α 1 2 3 1 2 =4,6,-8,4  T ,α 3 =1,2,-1,1  T ,又0,1,-3,0  T是Ax=0的解,求Ax=b的通解. 1 0 1  (9)设A,B均为3阶矩阵,A= 2 a 0  1 1 -1  ,rB  =2,rAB  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =1.求a的值,并求方程组Ax=0的通解. ·第58页，共120页·综合题 一、选择题 (1)设A是m×n矩阵,m0,则 下列选项正确的是( ). A. 方程组ABX=α有无穷多解 B. 方程组ABX=α无解 C. 方程组AX=α有唯一解 D. 方程组AX=α无解 二、填空题 (1)设α ,α ,α ,β均为三维列向量,A=β-α -2α -3α ,α ,α ,α 1 2 3 1 2 3 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则方程组Ax=β的一个特解为_ ____. ·第61页，共120页·(2)设A=a ij  3×3 为实矩阵,且A ij =a iji,j=1,2,3  ,其中A ij 为a ij 的代数余子式,a 33 =1,A=1,则 x 1  方程组Ax 2  x 3  0  = 0  1  的解为_____. 3 (3)设A是2阶矩阵,线性方程组AX= 2  的通解为k-2,1  T +3,-4  T .若β=5,-10  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,则βTAβ =_____. (4)设A为3阶矩阵,α为3维非零列向量,向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α+2A2α-3Aα=0,则trA =_____. ·第62页，共120页·三、解答题 (1)设A是m×n矩阵,rA  =n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α ,α ,α 满足α +α = 1 2 3 1 2 1,2,3,4  T ,α 2 +2α 3 =-2,1,5,3  T ,2α 3 +3α 1 =11,5,-6,7  T ,求方程组Ax=b的通解. (2)设A=α ,α ,α ,α 1 2 3 4  是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,2,1  T +k1,-2,4,0  T , k为任意常数,记B=α ,α ,α ,β-α 3 2 1 4  . (I)证明:rB  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =2; (II)求方程组Bx=α -α 的通解. 1 2 ·第63页，共120页·(3)设A为3×4矩阵,rA  =1,若向量组α 1 =1,2,0,2  T ,α 2 =-1,-1,1,a  T ,α 3 =1,-1,a,5  T ,α = 4 2,a,-3,-5  T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解. (4)设A是3阶方阵,A=a ij  ,且a =A ,i,j=1,2,3,其中A 为a 的代数余子式,a ≠0,b= 3×3 ij ij ij ij 33 a ,a ,a 13 23 33  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,求非齐次线性方程组Ax=b的解. ·第64页，共120页·(5)设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解. (6)设A是3阶矩阵,向量β=3,3,3  T ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为k 11,2,-2  T +k 22,1,2  T +1,1,1  T ,k ,k 为任意常数. 1 2 (I)证明:任意3维列向量α可由A的三个特征向量线性表示; (II)若α=1,2,-1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,求Aα. ·第65页，共120页·(7)设n阶方阵 A的行列式 A =0,A有一个代数余子式 A ij ≠0,证明:Ax=0的通解为kA i1 , A ,⋯,A i2 in  T ,k为任意常数. (8)设4维列向量组α ,α ,α ,α ,且α ,α ,α 线性无关,α =α +α +2α ,B= 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 α -α ,α +α ,-α +kα +α 1 2 2 3 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,方程组Bx=α 有无穷多解.求: 4 (I)k的值; (II)方程组的通解. ·第66页，共120页·a-3 -1 2  (9)设A= -1 a-3 2   -1 -1 a  ,且rE-A  =1. (I)求a的值; (II)若非零列向量α,β满足A-E  α=β,A2-E  α=2β,求α,β. -1 0 1 (10)设A= -1 1 a  -1 1  ,B= -1 1   b 2  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 . (I)若方程组AX=0的解均是BTX=0的解,但这两个方程组不同解,求a,b的值； (II)若方程组AX=0与BTX=0有非零公共解,求a,b的值,并求全部非零公共解. ·第67页，共120页·2 0 0 2  (11)设A= 1 1 0 3  0 1 3 5  1 0 1 2  ,B= 0 2 0 4  0 -1 a-1 a-3  2  ,α= 2  1   1  ,β= 2  -1  . (I)证明:方程组AX=α的解均是方程组BX=β的解; (II)若方程组AX=α与方程组BX=β不同解,求a的值. a 1 1  (12)设矩阵A= 0 a-1 0  1 1 a  b  不可逆,β= 1  1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 .已知方程组ATX=0的解均是βTX=0的解. (I)求a,b的值; (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ. ·第68页，共120页·拓展题 解答题  1 -2 3  (1)设A=a 21 a 22 a 23  a a a 31 32 33  有特征向量α 1 =1,2,1  T ,α 2 =-1,1,1  T ,α 3 =-1,3,2  T ,求方程组   x 1 -2x 2 +3x 3 =-1,  a x +a x +a x =3,的通解.  21 1 22 2 23 3   a x +a x +a x =2 31 1 32 2 33 3  1 2a 1 1  (2)设A= -1 2 2b 2   2 2c - 2  . (I)若A是正交矩阵,求a,b,c的值； 1  (II)当A为正交矩阵时,求方程组Ax= 1  1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 的解. ·第69页，共120页·第十一章 相似矩阵 基础题 一、选择题 1 (1)设λ=2是矩阵A的一个特征值,且A≠0,则 A2 3  -1 有一个特征值为( ). 4 3 1 1 A. B. C. D. 3 4 2 4 (2)设4阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,3,则rA  =( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (3)设C=diag1,2,2  2 0 0  ,A= 0 2 1  0 0 1  2 1 0  ,B= 0 2 0  0 0 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则( ). A. A与C相似,B与C不相似 B. A与C相似,B与C相似 C. A与C不相似,B与C相似 D. A与C不相似,B与C不相似 ·第70页，共120页·(4)下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ).  1 -1 3  A. A= -1 2 0   3 0 6  1 0 0  B. B= 0 2 0  5 0 3  0 0 0  C. C= 0 0 0  1 2 3  1 2 0  D. D= 0 0 3  0 0 0  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 (5)设矩阵A与B相似,则必有( ). A. 矩阵λE-A与λE-B相等 B. A,B同时可逆或不可逆 C. A和B有相同的特征向量 D. A和B均与同一个对角矩阵相似 (6)设A为3阶方阵,A的三个特征值为1,1,2,α ,α ,α 分别为对应的三个特征向量,则( ). 1 2 3 A. α ,α ,α 必为2E-A的特征向量 1 2 3 B. α +α 必为2E-A的特征向量 1 3 C. α -α 必为2E-A的特征向量 1 2 D. α ,α 必为2E-A的特征向量,α 不是2E-A的特征向量 1 2 3 ·第71页，共120页·(7)设3阶实矩阵A有三重特征值1,fx  =xE-A-A-1 ,其中E是3阶单位矩阵,x∈R,则至少存 在一点x 0 ∈0,1  ,使得y=fx  在点 x ,fx 0 0    处的切线( ). A. 平行于直线y=1 B. 垂直于直线y=1 C. 平行于直线y=x D. 垂直于直线y=x 1 0 0 (8)设P-1AP=  0 2 0  0 0 2  ,α 是A的特征值λ =1对应的特征向量,α 与α 是A的特征值λ =λ = 1 1 2 3 2 3 2对应的特征向量,则下列选项中关于矩阵P的可能取值错误的是( ). A. P=α ,α ,α 1 3 2  B. P=α ,-2α ,3α 1 2 3  C. P=α ,α -α ,α +2α 1 2 3 2 3  D. P=α +α ,α +α ,α 1 2 1 3 3  二、填空题 1 2 2  (1)已知A= 2 1 2  2 2 1  -1 0 0  与B= 0 5 0   0 0 a  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 相似,则a=_____. ·第72页，共120页·(2)设n阶方阵B=AA*,则B的特征值为_____. (3)设方阵A满足A2+2A+E=O,则A有特征值_____. (4)设A是3阶实对称矩阵,A的特征值为1,1,-2,且λ 3 =-2对应的特征向量为ξ 3 =1,1,-1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,则A =_____. ·第73页，共120页·2 0 0  (5)设A= 0 0 1  0 1 a  2 0 0  与B= 0 3 4  0 -2 b  相似,则a=_____,b=_____. 3 2 -1  (6)设A= a -2 2  3 b -1  有一个特征向量α 1 =1,-2,3  T ,则a=_____,b=_____. 三、解答题 1 2 2  (1)设A= 2 1 2  2 2 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 . (I)求A的全部特征值和特征向量; (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ； (III)求正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ. ·第74页，共120页·(2)判别下列矩阵A与B是否相似.若相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B. 1 1 1  (I)A= 1 1 1  1 1 1  3 0 0  ,B= 0 0 0  0 0 0  ; 2 0 0  (II)A= 0 0 1  0 1 0  1 0 0  ,B= 0 -1 0  0 -6 2  .  2 -1 2  (3)设矩阵A= 5 a 3  -1 b -2  有特征向量α=1,1,-1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T . (I)确定参数a,b及α对应的特征值λ； (II)问A能否相似于对角矩阵,说明理由. ·第75页，共120页· 1 -1 1  (4)设A= x 4y 3  -3 -3 5  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,A∼Λ,且λ=2是A的二重特征值,求x,y的值及可逆矩阵P,使得P-1AP =Λ. (5)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是线性无关的3维列向量,且Aα =α +α +α ,Aα =2α +α ,Aα = 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2α +3α .求: 2 3 (I)A的全部特征值; (II)可逆矩阵P及Λ,使得P-1AP=Λ,并计算A-2E. ·第76页，共120页·-1 0 2  (6)设实矩阵A= a 1 1   1 0 0  有三个线性无关的特征向量.求: (I)a的值; (II)可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵. 1 2 3  (7)设A是3阶实对称矩阵,A∼B,B= 2 4 6  3 6 9  ,A的二重特征值对应的特征向量为α 1 =1,1,0  T , α 2 =0,2,1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T .求: (I)A的特征值与特征向量; (II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ. ·第77页，共120页·1 a -1  (8)已知A∼B,A= 1 5 1  4 12 6  b  ,B= b  c  ,求a,b,c的值. (9)设3阶实对称矩阵A的特征值为λ 1 =λ 2 =1,λ 3 =-1,α 1 =1,1,1  T ,α 2 =2,2,1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T是λ =λ =1对 1 2 应的特征向量.求: (I)A的属于λ =-1的特征向量; 3 (II)矩阵A. ·第78页，共120页·(10)(I)设A是n阶实对称矩阵,且A2=A,rA  =rr1  k 是n维正交单位实列向量组,A=ααT,E是n阶单位矩阵,则行列式 i i i=1 A+E  *  =_____. 三、解答题 1 2 1  (1)设A= 2 4 k  1 k 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 有一个特征值为0,求k的值.并求一个正交矩阵Q,使得QTAQ=Λ. ·第85页，共120页·(2)已知A=α ,α ,α 1 2 3  是3阶可逆矩阵,B是3阶矩阵,且BA=α ,-4α ,-α 1 3 2  .求: (I)B的全部特征值; (II)可逆矩阵P和对角矩阵Λ,使得P-1BP=Λ. (3)设A是nn≥2  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 阶矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,且Aα =α ,Aα =α ,⋯,Aα =α ,Aα =0, 1 2 n 1 2 2 3 n-1 n n α ≠0. n (I)证明:α ,α ,⋯,α 线性无关; 1 2 n (II)求可逆矩阵P及三角矩阵B,使得P-1AP=B. ·第86页，共120页·(4)设A 有三个不同的特征值λ ,λ ,λ ,它们对应的特征向量分别为α ,α ,α ,令β=α +α +α . 3×3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (I)证明:β,Aβ,A2β线性无关; (II)若A3β=Aβ,求rA-E  . 1 a 0 2  0 1 2 0 (5)设A=  0 0 -1 b  0 0 0 -1  有四个线性无关的特征向量.求: (I)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ； (II)2E-A2  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 -1 . ·第87页，共120页·(6)设α=a 1 ,a 2 ,⋯,a n  T ,β=b 1 ,b 2 ,⋯,b n  T 均为非零列向量,A=αβT. (I)求A的全部特征值; (II)问αTβ满足什么条件时,A可以相似于对角矩阵Λ,并求可逆矩阵P,使P-1AP=Λ. (7)设nn≥2  a 1 1 ⋯ 1  1 a 1 ⋯ 1  阶矩阵A=1 1 a ⋯ 1  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  1 1 1 ⋯ a  .求: (I)可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ； (II)rA*  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 . ·第88页，共120页·(8)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=diag1,2,-1  ,且α 1 =1,k+1,2  T ,α = 2 k-1,-k,1  T分别为A的特征值λ =1,λ =2的特征向量,A*的特征值λ 对应的特征向量β= 1 2 0 2,-5k,2k+1  T .求: (I)λ 与k的值; 0 (II)矩阵A-1  * . (9)设α,β为3维单位列向量,且αTβ=0,记A=αβT+βαT. (I)证明:A相似于对角矩阵; (II)若存在3维列向量γ≠0,使得Aγ=0,记P= γ,2α+β   ,β-α  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,求P-1AP. ·第89页，共120页·1 a 12 a 13  (10)设A=1 a 22 a 23  1 a a 32 33  1 2a 12 2a 13  可逆,B是3阶实对称矩阵,且满足BA=1 2a 22 2a 23  1 2a 2a 32 33  .求: (I)B的特征值和对应的特征向量; (II)正交矩阵Q,使得QTBQ=Λ. (11)设向量组i  α 1 =-a,0,1  T ,α 2 =1-a,a,1-a  T ,α 3 =1,0,-a  T ,(ii)β 1 =-1,0,a  T ,β = 2 -1,1,a  T ,β 3 =1,-1,-a  T a≠0  ,向量组(i)与(ii)等价. (I)求a的值; (II)记A=α ,α ,α 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ,并求Q及Λ. ·第90页，共120页·a 0 1  (12)设A= 0 -a 0  1 0 a  -1 1 0  ,B= 1 -1 0   0 0 -a  1  ,β= 1  a  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,a≠0.若方程组AX=β有无穷多解. (I)求a的值,并求方程组AX=β的全部解； (II)当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B?并求正交矩阵Q. (13)设A,B均是n阶矩阵. (I)证明:AB与BA有相同的特征值; (II)若AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明:B相似于对角矩阵. ·第91页，共120页·(14)设A是n阶实对称矩阵,α ,α ,⋯,α 是A的n个单位正交特征向量,对应的特征值为λ ,λ ,⋯, 1 2 n 1 2 λ ,证明:A=λ α αT+λ α αT+⋯+λ α αT. n 1 1 1 2 2 2 n n n (15)设A,B均是3阶方阵,AB=A-B,A有三个不同的特征值λ ,λ ,λ .证明: 1 2 3 (I)λ i ≠-1i=1,2,3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ; (II)存在可逆矩阵P,使P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵. ·第92页，共120页·(16)设A是2阶矩阵,α是非零向量,且α不是A的特征向量. (I)证明:α,Aα线性无关; (II)记P=α,Aα  ,若A2α-2Aα=8α,证明:A相似于对角矩阵,并求P-1AP. (17)设向量β=b,1,1  T可由α 1 =a,0,1  T ,α 2 =1,a-1,1  T ,α 3 =1,0,a  T线性表示,且表示法不唯 一.记A=α ,α ,α 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 .求: (I)a,b的值,并写出β由α ,α ,α 表示的线性表达式. 1 2 3 (II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵). ·第93页，共120页·2 1 0  (18)设A= 1 2 0  0 0 1   a b c  与B= 0 1 0  -1 -2 4  相似. (I)求a,b,c的值; (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B； (III)记A的伴随矩阵为A*,求方程组3E-A*  X=0的通解.  1 -1 0  (19)设B= 1 0 k  -1 1 1-k  不可逆,且满足AB=B,B* AT+E  =O,其中A是3阶矩阵,E是3阶单 位矩阵,B*是B的伴随矩阵. (I)求rB*  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ; (II)证明:A相似于对角矩阵,并求A2. ·第94页，共120页·拓展题 解答题 (1)设A是3阶实对称矩阵,且A2-2A=O,rA  =1.方程组Ax=0的通解为k 11,1,0  T + k 21,0,1  T k ,k 为任意常数). 1 2 (I)求可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ； (II)求矩阵A.  k -2 2  (2)设A= -3 3 -1  -15 8 -6  1 0 2  ,B= 0 2 0  0 4 -1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,且A∼B,求k的值及可逆矩阵P,使得P-1AP=B. ·第95页，共120页·(3)设数列a n  ,b n  满足a 0 =1,b 0 =-1,且   a n =a n-1 +2b n-1 , ,记α n = a n b =-a +4b , b n n-1 n-1 n  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,矩阵A满足Aα = n-1 b α ,求An及lim n . n n→∞a n ·第96页，共120页·第十二章 二次型 基础题 一、选择题 (1)二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x x +x x +x x 的矩阵为( ). 1 2 2 3 1 3 1 0 0  A. 0 1 0  0 0 1  1 1  0  2 2  1 1 B. 0  2 2  1 1 0  2 2  1 1  1  2 2  1 1 C. 1  2 2  1 1 1  2 2  1  1 1  2  1 D. 1 1  2  1 1 1  2  (2)二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x -x 1 2  2 +x -x 2 3  2 +x -x 3 1  2 的标准形为( ). 3 3 A. f=y2+y2+y2 B. f=2y2+ y2 C. f=y2+y2-y2 D. f=2y2+ y2+y2 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1  (3)设A= 2   3  2  与B= 3   1  合同,则合同变换矩阵P=( ). 1 0 0  A. 0 0 1  1 0 0  0 0 1  B. 1 0 0  0 1 0  0 1 0  C. 1 0 0  0 0 1  0 0 1  D. 1 0 0  0 0 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ·第97页，共120页·(4)设A是n阶方阵,将A的第i列与第j列互换,再交换第i行与第j行得到B,则( ). A. A与B等价、相似且合同 B. A与B相似、合同但不等价 C. A与B相似但不合同 D. A与B等价但不相似 (5)二次型fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =x2+4x2+4x2-4x x +4x x -8x x 的规范形为( ). 1 2 3 1 2 1 3 2 3 A. f=z2 B. f=z2-z2 C. f=z2+z2+z2 D. f=z2+z2-z2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (6)设A,B,Λ均为n阶实方阵,则下列命题正确的是( ). A. 若A是实对称矩阵,则存在唯一可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ B. 若A是实对称矩阵,则存在唯一正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ C. 若B是实对称矩阵,则存在唯一实对称矩阵A,使得A2=B D. 若B是正定矩阵,则存在唯一正定矩阵A,使得A2=B ·第98页，共120页·(7)设A,B均为n阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是( ). A. A与B有相同的特征值 B. A与B有相同的特征向量 C. A与B有相同的行列式 D. A与B有相同的秩且有相同的正惯性指数 (8)设E是n阶单位矩阵,则n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ). A. 存在n阶矩阵C,使得A=CTC B. 二次型XTAX的负惯性指数为0 C. 存在可逆矩阵P,使得P-1AP=E D. A的伴随矩阵A*与E合同 1 2 0  (9)设A= 2 0 2  0 2 -1  ,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=Λ,则C可能为( ). 1 -1 -1  1 1 A. 0 2 2  0 0 1  1 2 0  B. 0 2 -1  0 0 1  1 2 0  C. 0 1 2  0 0 1  1 1 1  1 1 D. 0 2 2  0 0 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ·第99页，共120页·二、填空题 (1)已知二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2+4x2+4x2+2ax x -2x x +4x x 正定,则a的取值范围为____ 1 2 3 1 2 1 3 2 3 _. (2)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  在正交变换下的标准形为-2y2+8y2,且E+B=AB,其 1 2 中B为3阶矩阵,则迹trB-1+2E  =_____. 三、解答题 (1)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =2x2+5x2+5x2+4x x -4x x -8x x . 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (I)求一个正交变换x=Qy,将f化为标准形； (II)利用配方法,将f化为标准形. ·第100页，共120页·(2)已知二次型f=2x2 1 +3x2 2 +3x2 3 +2ax 2 x 3a>0  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,经过正交变换化成标准形y2+2y2+5y2,求参数 1 2 3 a及所用的正交变换. (3)证明:n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP. ·第101页，共120页·(4)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,rA  =2,且满足α 1 +2α 2 +α 3 =3,6,3  T ,α -α +α = 1 2 3 -1,1,-1  T . (I)求A； (II)若X=x ,x ,x 1 2 3  T ,求方程XT A+E  X=0的全部解. (5)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x +x 1 2  2 +x -x 2 3  2 +x +ax 1 3  2 . (I)求fx ,x ,x 1 2 3  =0的解; (II)当fx ,x ,x 1 2 3  =0有非零解时,求正交变换X=QY将fx ,x ,x 1 2 3  化为标准形; (III)求fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 的规范形. ·第102页，共120页·(6)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  有二重特征值1,且α +2α -α =0,A*是A的伴随矩阵. 1 2 3 (I)求正交变换X=QY将二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAX化为标准形； (II)求方程组A*X=0的通解. (7)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1  T满足A-2E  α=0,且rA  =1. (I)求方程组AX=0的通解； (II)求A； (III)若X=x ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,求方程XTAX=0的全部解. ·第103页，共120页·2 0 1  (8)设A= 0 2 -1  1 -1 a-1  0 0 0  与B= 0 b 0  0 0 3  合同. (I)求a的值及b的取值范围; (II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b及Q. 综合题 一、选择题 (1)二次型fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =x x +x x 的正、负惯性指数分别为( ). 1 2 2 3 A. p=1,q=1 B. p=1,q=2 C. p=1,q=0 D. p=0,q=2 ·第104页，共120页·(2)A是n阶实对称矩阵,则A合同于矩阵B的充分必要条件是( ). ①rA  =rB  , ②A与B的正惯性指数相等, ③A与B均正定矩阵, ④B是实对称矩阵. A. ①成立 B. ④成立 C. ①②④均成立 D. ③成立 (3)设n元二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =x +a x 1 1 2  2 +x +a x 2 2 3  2 +⋯+x n +a n x 1  2 ,其中a ii=1,2,⋯,n  均为实数,若二次型正定,则( ). A. 1+-1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 B. 1+-1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n C. 1--1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 D. 1--1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n 2 1 (4)设A= -1 0  1 1 ,B= 0 1  1 0 ,C= 1 1  1 0 ,D= 0 1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,则正确的是( ). A. A与B相似,B与C合同 B. A与D相似,B与D合同 C. A与D合同,B与C相似 D. B与D相似,C与D合同 ·第105页，共120页·(5)设A是3阶实对称矩阵,且A=2,A*=A-E,其中A*是A的伴随矩阵,则二次型xTAx的规范形 为( ). A. y2+y2+y2 B. -y2-y2-y2 C. y2+y2-y2 D. -y2-y2+y2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 (6)设A= 2 1  1 4 ,B= 1 1  ,则正确的是( ). A. 必存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B B. 必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B C. 必存在可逆矩阵P,使得PTAP=B D. 必存在可逆矩阵P,使得A=PTP (7)设3阶实矩阵A的特征向量为α 1 =-1,1,0  T ,α 2 =1,1,1  T ,α 3 =-1,-1,2  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,则A必为( ). A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 对称矩阵 D. 正定矩阵 ·第106页，共120页·a a-1 (8)设实矩阵A= a-1 a-1  ,若对任意的二维非零实列向量X,都有XTAX<XTX.则a的取值 范围为( ). 1 A.  ,1 3  1 B. (-1,1) C. (-1,0] D.  ,1 3  (9)设α 1 =1,2  T ,α 2 =a,1  T ,X=x ,x 1 2  T ,若二次型fx ,x 1 2  =α ,X 1  2 +α ,X 2  2 经可逆线性变换 X=PY化为gy ,y 1 2  =by2 1 +by2 2 +2by 1 y 2b≠0  ,则( ). 1 1 1 1 A. a= ,b>0 B. a=- ,b>0 C. a= ,b>-1 D. a=- ,b>-1 2 2 2 2 (10)设α是3维实列向量,且满足αTα=1,A=E-ααT,A*是A的伴随矩阵,则二次型fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 = XTA*X在正交变换X=QY下的标准形为( ). A. y2+y2 B. -y2 C. -y2-y2 D. y2 1 2 1 1 3 1 ·第107页，共120页·(11)设A是2阶实对称矩阵,若对任意的2维非零列向量X,都有XTAX<XTX,X ,X 均为2维列 1 2 X 1 向量,则二次型 X 2  T A+E O  O E-A  X 1  X 2  的规范形为( ). A. y2+y2-y2-y2 B. y2+y2+y2-y2 C. y2+y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2-y2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (12)设A是3阶实矩阵,A=3,且A*=-A+4E,其中A*是A的伴随矩阵,E是3阶单位矩阵,则二次 型XT 2E-A  T 2E-A  X的规范形为( ). A. y2-y2-y2 B. y2+y2-y2 C. y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 二、填空题 1 0 0  (1)若3阶实对称矩阵A与B= 0 0 3  0 3 0  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 合同,则二次型xTAx的规范形为_____. ·第108页，共120页·(2)设A是n阶矩阵,方程组Ax=b有唯一解,则二次型xT ATA  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 x的正惯性指数为_____. (3)设A是3阶实对称矩阵,二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为y2+y2-y2,则二次型 1 2 3 xTA*x的规范形为_____. (4)设3阶实对称矩阵A的特征值为2,3,4,A*是A的伴随矩阵.若对任意3维实列向量X,都有 XTA*X-XTAX≤aXTX,则a的最小取值为_____. ·第109页，共120页·三、解答题 (1)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx=x2+ax2+x2+2x x -2ax x -2x x 的正负惯性指数都是1.求: 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (I)a的值; (II)可逆线性变换x=By,将fx ,x ,x 1 2 3  化为标准形. (2)设3阶实对称矩阵A=a ij  3 3×3 有特征值λ 1 =λ 2 =2,且a ii =1,α=1,0,-2 i=1  T是方程组A*x= 4α的解向量. (I)求矩阵A; (II)求正交变换x=Qy,将二次型fx ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =xTAx化为标准形. ·第110页，共120页·(3)设二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =nx2 1 +nx2 2 +⋯+nx2 n -x 1 +x 2 +⋯+x n  2 . (I)求二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =xTAx的秩; (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ,并求二次型的正惯性指数. k+3 (4)设方程组  x +x +2x =0, 1 2 3 2kx 1 +k-1  x +x =0, 2 3 k-3    3 1 2   ,有非零解,且A= 1 k -2      x -3x +kx =0 2 -2 9 1 2 3  是正定矩阵. (I)求k的值; (II)设x=x ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,求当xTx=1时,xTAx的最大值. ·第111页，共120页·(5)设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ =1和λ ,且A属于λ =1的特征向量仅有 1 2 1 k1,0,⋯,0,1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,其中k≠0. (I)求矩阵A; (II)当λ 满足什么条件时,A是正定矩阵? 2 (6)设A是实对称矩阵,证明:A可逆的充要条件是存在方阵B,使得AB+BTA为正定矩阵. ·第112页，共120页·(7)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =ax2-ax2+ax2+2x x 与gy ,y ,y 1 2 3 1 3 1 2 3  =-y2-y2+a2y2+2y y 的秩相等 1 2 3 1 2 a≠0  .问: (I)当a为何值时,存在可逆(非正交)线性变换x=Py,可将fx ,x ,x 1 2 3  化为gy ,y ,y 1 2 3  ?并求一个 可逆矩阵P; (II)当a为何值时,存在正交变换x=Qy,可将fx ,x ,x 1 2 3  化为gy ,y ,y 1 2 3  ?并说明理由. (8)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx=ax2 1 +ax2 2 +a-1  x2+2x x -2x x (a为常数,AT=A). 3 1 3 2 3 (I)求一个正交变换x=Qy将fx ,x ,x 1 2 3  化为标准形； (II)设x=x ,x ,x 1 2 3  T ,求方程xT aE-A  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 2 x=O的全部解. ·第113页，共120页·(9)设二次型xTAx=ax2+x2+x2 1 2 3  +2x x +2bx x +2x x 在正交变换x=Qy下的标准形为y2+y2 1 2 1 3 2 3 1 2 +4y2,其中AT=A. 3 (I)求a,b的值及正交矩阵Q； (II)若正定矩阵B满足B2=A+A*,其中A*是A的伴随矩阵,求B. (10)设A是3阶矩阵,方程组AX=b的通解为k 1-1,1,0  T +k 22,0,1  T +1,1,-2  T .其中b= 6,6,-12  T ,k ,k 为任意常数. 1 2 (I)求A； (II)若A的列向量组的极大线性无关组为α,求一个3维行向量β,使得A2=αβ； (III)记X=x ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,求方程XTAX=0的全部解. ·第114页，共120页·(11)已知二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2 1 +2x2 2 +2x2 3 +2ax 2 x 3a>0  在正交变换X=QY下化为gy ,y ,y 1 2 3  =2y2+by2+2y2-2y y . 1 2 3 1 3 (I)求a,b的值; (II)求正交矩阵Q. 1 0 1  (12)设A= 0 1 0  1 0 1  1 0 1  ,B= 0 1 0  1 0 2  ,E是3阶单位矩阵. (I)求可逆矩阵C,使得CTBC=E； (II)求一个可逆矩阵P,使得PTAP=diag0,1,1  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 ,且PTBP=E. ·第115页，共120页·(13)已知二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2+2x2+ax2+2x x 经过可逆线性变换X=PY化为y2+y2. 1 2 3 1 3 1 3 (I)求a的值及可逆矩阵P； (II)设X=x ,x ,x 1 2 3  T ,当XTX=1时,求fx ,x ,x 1 2 3  的最大值,并求满足x =x >0的最大值点. 1 2 (14)设3阶矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,且满足α +α ,-α +2α ,α +α 1 3 1 2 2 3  1 1 0  = 0 -2 -1  1 0 -1  . (I)若X=x ,x ,x 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 T ,证明:XTA2X为正定二次型; (II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=AT. ·第116页，共120页· a 0  (15)设A= -1 a  -1 0  -1 0 a ,B= -1 1 a  ,已知方程组ABX=0与BX=0同解. (I)求a的取值范围; (II)当AB为实对称矩阵时,求正交变换X=QY,将二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTABX化为标准形. 拓展题 解答题 (1)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =2x x +3x x +4x x ,求可逆线性变换x=Pz,使得fx ,x ,x 1 2 2 3 1 3 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 化为标准 形,并求二次型的秩及正、负惯性指数. ·第117页，共120页·(2)设A为3阶实对称矩阵,二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为-y2+2y2+ 1 2 1 1 1 ay2,其中Q的第1列为 , , 3 3 3 3  T ,且A=-4. (I)求a的值; (II)求正交矩阵Q. (3)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAxAT=A  经正交变换x=Qy化为by2+c2y2,其中Q= 2 3 1 0 a 1  0 c 0 2  b 0 1  b>0,c>0  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 .求: (I)a,b,c的值及矩阵A； (II)可逆矩阵P,使得A+E=PTP. ·第118页，共120页·(4)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  经过正交变换X=QY化为标准形2y2-y2-y2,又A*α= 1 2 3 α,其中α=1,1,-1  T ,A*是A的伴随矩阵. (I)求正交矩阵Q及实对称矩阵A； (II)若正定矩阵B满足B2=A+2E,求B. (5)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =x2+x2+x2+2ax x +2ax x +2ax x 经过可逆线性变换X=PY化为 1 2 3 1 2 1 3 2 3 gy ,y ,y 1 2 3  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 =y2+y2+3y2+2y y . 1 2 3 1 2 (I)求a的值; (II)求可逆矩阵P. ·第119页，共120页·1 1  a - -  2 2  1 1 (6)设A= - a -  2 2  1 1 - - a  2 2  b 0 0  与B= 0 b 0  0 0 0  b≠0  合同. (I)求a的值; (II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b的值及Q; (III)对于(II)中的Q,若QT A+A*  公众号：做题本集结地 880·数二线代部分 Q=Λ,其中A*是A的伴随矩阵,求对角矩阵Λ. ·第120页，共120页·